輪式移動(dòng)機(jī)器人定點(diǎn)目標(biāo)控制問題及線性分解方法?

宿 浩， 唐麗娜， 唐功友

(中國海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266100)

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輪式移動(dòng)機(jī)器人定點(diǎn)目標(biāo)控制問題及線性分解方法?

宿 浩， 唐麗娜， 唐功友

(中國海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266100)

提出輪式移動(dòng)機(jī)器人在給定時(shí)間內(nèi)的定點(diǎn)目標(biāo)控制問題并提出一種解決該類問題的線性分解控制方法。根據(jù)輪式移動(dòng)機(jī)器人的非完整性非線性動(dòng)力學(xué)模型的結(jié)構(gòu)特性，將機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)分解為原地旋轉(zhuǎn)和直線運(yùn)動(dòng)。按不同時(shí)間段分別設(shè)計(jì)移動(dòng)機(jī)器人的原地旋轉(zhuǎn)和直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從而實(shí)現(xiàn)了非線性系統(tǒng)的線性解耦分解。利用線性分解控制方法，將輪式移動(dòng)機(jī)器人的原地旋轉(zhuǎn)和直線運(yùn)動(dòng)按勻加速起步、勻速行駛和勻減速停車運(yùn)動(dòng)規(guī)律控制，實(shí)現(xiàn)了在給定時(shí)間內(nèi)的定點(diǎn)目標(biāo)控制。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出方法的有效性。

移動(dòng)機(jī)器人；非線性系統(tǒng)；定點(diǎn)目標(biāo)控制；線性分解；解耦

輪式移動(dòng)機(jī)器人位置控制問題是移動(dòng)機(jī)器人控制的基本問題。近年來，國際上關(guān)于位置控制問題的主要研究成果為點(diǎn)鎮(zhèn)定研究，提出了若干解決移動(dòng)機(jī)器人點(diǎn)鎮(zhèn)定控制的方法。例如文獻(xiàn)[1]利用反饋線性化實(shí)現(xiàn)輪式移動(dòng)機(jī)器人獨(dú)立驅(qū)動(dòng)的點(diǎn)鎮(zhèn)定控制；文獻(xiàn)[2]提出了一種兩輪輪式機(jī)器人點(diǎn)鎮(zhèn)定的分段比例智能控制、文獻(xiàn)[3]利用分段連續(xù)控制律保證了非完整移動(dòng)機(jī)器人位置逐步收斂于期望的目標(biāo)，并保證了閉環(huán)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性；針對非完整運(yùn)動(dòng)學(xué)系統(tǒng)的不確定模型，文獻(xiàn)[4]提出了一種動(dòng)態(tài)反饋控制律，使得移動(dòng)機(jī)器人的姿勢和方向收斂到期望值，并證明了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性；利用蟻群優(yōu)化算法，文獻(xiàn)[5]提出了一種具有四個(gè)獨(dú)立驅(qū)動(dòng)車輪的四輪移動(dòng)機(jī)器人全方位智能運(yùn)動(dòng)控制器；對一類具有飽和輸入的非完整運(yùn)動(dòng)約束的移動(dòng)機(jī)器人，文獻(xiàn)[6]提出了半全局實(shí)用鎮(zhèn)定控制方案；文獻(xiàn)[7]通過使用高階的擴(kuò)展，控制移動(dòng)機(jī)器人的速度和方向，控制策略保證了移動(dòng)機(jī)器人能漸近收斂到給定的目標(biāo)點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)軌跡；針對模型的質(zhì)心與幾何中心不重合的情況,文獻(xiàn)[8]利用時(shí)變連續(xù)控制律解決了移動(dòng)機(jī)器人的鎮(zhèn)定控制問題,并且利用自適應(yīng)技術(shù)解決了兩者之間距離未知時(shí)的鎮(zhèn)定控制問題。

點(diǎn)鎮(zhèn)定問題是當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí)，使移動(dòng)機(jī)器人無限接近于預(yù)先給定的位置。然而，在實(shí)際問題中，我們往往希望在有限時(shí)間內(nèi)。針對這一問題，文獻(xiàn)[9]研究了非線性參數(shù)化系統(tǒng)的自適應(yīng)有限時(shí)間鎮(zhèn)定問題，并設(shè)計(jì)了能保證系統(tǒng)狀態(tài)全局有限時(shí)間收斂到原點(diǎn)的控制算法；文獻(xiàn)[10]針對移動(dòng)機(jī)器人定點(diǎn)目標(biāo)控制問題提出了一種非線性系統(tǒng)的線性分解方法，實(shí)現(xiàn)了在給定的有限時(shí)間內(nèi)機(jī)器人到達(dá)原點(diǎn)的控制算法；文獻(xiàn)[11]將控制目標(biāo)拓寬到了給定停車區(qū)域，并設(shè)計(jì)了有限時(shí)間的控制律。

然而，文獻(xiàn)[10-11]僅針對移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型設(shè)計(jì)定點(diǎn)目標(biāo)控制算法，而沒有考慮移動(dòng)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)特性在實(shí)際系統(tǒng)中的實(shí)現(xiàn)問題。本文針對輪式移動(dòng)機(jī)器人位置控制的需求提出輪式移動(dòng)機(jī)器人在給定時(shí)間內(nèi)的定點(diǎn)目標(biāo)控制問題，并根據(jù)針對移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型提出一種解決定點(diǎn)目標(biāo)控制問題線性分解控制方法。首先根據(jù)輪式移動(dòng)機(jī)器人的非完整性非線性動(dòng)力學(xué)模型的結(jié)構(gòu)特性，將機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)分解為原地旋轉(zhuǎn)和直線運(yùn)動(dòng)。然后按不同時(shí)間段分別設(shè)計(jì)了移動(dòng)機(jī)器人的原地旋轉(zhuǎn)速度和直線運(yùn)動(dòng)速度控制策略，從而實(shí)現(xiàn)了非線性系統(tǒng)的線性解耦分解。利用線性分解控制方法，將輪式移動(dòng)機(jī)器人的原地旋轉(zhuǎn)和直線運(yùn)動(dòng)按勻加速起步、勻速行駛和勻減速停車運(yùn)動(dòng)規(guī)律控制，實(shí)現(xiàn)了在給定時(shí)間內(nèi)的定點(diǎn)目標(biāo)控制。

1 問題描述

輪式移動(dòng)機(jī)器人通過調(diào)節(jié)速度和航向?qū)崿F(xiàn)從某一原始位置到給定目標(biāo)位置的控制目的。假設(shè)移動(dòng)機(jī)器人的位置用笛卡爾直角坐標(biāo)系描述(見圖1)。機(jī)器人狀態(tài)由其質(zhì)心在坐標(biāo)系下的位置及姿態(tài)(即航向)來表示。

機(jī)器人當(dāng)前位置由直角坐標(biāo)(x(t),y(t))表示，機(jī)器人當(dāng)前的姿態(tài)用前進(jìn)方向和x軸正方向的夾角θ(t)

圖1 移動(dòng)機(jī)器人的位置和姿態(tài)坐標(biāo)

(即航向角坐標(biāo))表示。令v(t)和ω(t)分別表示機(jī)器人當(dāng)前的線速度和角速度。并假設(shè)線速度v(t)和角速度ω(t)是獨(dú)立的，即線速度v(t)和角速度ω(t)分別由兩個(gè)電動(dòng)機(jī)單獨(dú)驅(qū)動(dòng)。這一假設(shè)說明，移動(dòng)機(jī)器人可以在運(yùn)動(dòng)中可以原地轉(zhuǎn)圈。

令α(t)為當(dāng)前機(jī)器人質(zhì)心位置與x軸正方向的夾角。不失一般性，在本文中我們只討論機(jī)器人在(x,y)坐標(biāo)系的第一象限中。從而有0≤α(t)≤π/2，令航向角-π+α≤θ(t)≤π+α。

如圖1所示的移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以描述為：

(1)

由牛頓第二定律易知，機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程可以描述為：

(2)

f(v)=cvv(t)，
g(ω)=cωω(t)。

(3)

其中cv和cω是已知的阻尼系數(shù)。將(3)帶入(2)，得到

(4)

由系統(tǒng)(1)知，滿足約束條件

(5)

從系統(tǒng)模型(1)，(4)和(5)知，移動(dòng)機(jī)器人的位置和運(yùn)動(dòng)軌跡控制是一類非完整性非線性系統(tǒng)。我們知道，通常非完整性非線性系統(tǒng)的控制策略設(shè)計(jì)問題是較難解決的研究課題。

2 線性分解控制策略

本文根據(jù)系統(tǒng)模型(1)，(4)和(5)的特點(diǎn)，提出一種線性分解控制策略。線性分解控制策略的思路是將n階系統(tǒng)的n個(gè)狀態(tài)變量按順序分解為N(N≤n)組，按分組順序?qū)⒖刂七^程分為N個(gè)階段完成控制任務(wù)，在每個(gè)階段完成一組狀態(tài)變量的控制。從而實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的線性解耦控制。

首先將系統(tǒng)(1)，(4)分解為2個(gè)子系統(tǒng)。為此，令

(6)

則系統(tǒng)(1)，(4)可以由以下2個(gè)子系統(tǒng)描述：

(7)

其中:

(8)

由(7)可知，子系統(tǒng)∑1是線性定常系統(tǒng)，其響應(yīng)對子系統(tǒng)∑2有影響，但不受子系統(tǒng)∑2的影響。而子系統(tǒng)∑2是一個(gè)放射非線性系統(tǒng)，其非線性系數(shù)矩陣A2(z1)僅與θ(t)有關(guān)。

(9)

其中α0=α(0),定義

(10)

經(jīng)過以上線性分解控制策略，將一個(gè)非線性控制系統(tǒng)分解為兩個(gè)線性定常系統(tǒng)。

3 定點(diǎn)目標(biāo)控制律設(shè)計(jì)

現(xiàn)在，研究經(jīng)線性分解后的2個(gè)線性定常子系統(tǒng)(7)的控制律設(shè)計(jì)問題。

F(t)=0, 0

(11)

證明 在非線性系統(tǒng)(7)中，先考慮子系統(tǒng)∑1。將(11)代入子系統(tǒng)∑1的第2個(gè)方程，得到

(12)

(12)的解表達(dá)式為

(13)

再將(13)代入子系統(tǒng)∑1的第一個(gè)方程，得到

(14)

(14)的解表達(dá)式為

(15)

由(13)和(15)得到：

ω(T1)=0，

θ(T1)=α0+πsgn+(θ0-α0)。

即(9)成立。再考慮子系統(tǒng)∑2。將F(t)=0代入子系統(tǒng)∑2的第2個(gè)方程，得到：

從而有z2(t)=z2(0)(0

假設(shè)已經(jīng)按定理1設(shè)計(jì)的控制律，在時(shí)刻T1將系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移至

(16)

M(t)=0, T1

(17)

則z2(T)=0成立。

θ(T1)=α0+πsgn+(θ0-α0)；ω(T1)=0。

(18)

(12)的解表達(dá)式為

θ(t)=α0+πsgn+(θ0-α0)；

ω(t)=0；T1

(19)

再考慮子系統(tǒng)∑2。將(17)代入子系統(tǒng)∑2的第3個(gè)方程并由(16)，得到：

(20)

(20)的解表達(dá)式為

(21)

(22)

及約束條件

(23)

令

(24)

并注意到

(25)

由(16)，(21)，(22)，(23)，(24)和(25)得到

(26)

(26)的解表達(dá)式為

(27)

由(21)和(27)得到：

v(T)=0, x(T)=0, y(T)=0。

即

從而有z2(t)=z2(0)(0

綜合(11)和(17)，得到移動(dòng)機(jī)器人的定點(diǎn)控制律：

(28)

和

(29)

4 實(shí)例仿真

為驗(yàn)證所提出方法的有效性，基于Matlab編寫程序進(jìn)行仿真。以一個(gè)兩輪移動(dòng)機(jī)器人為研究對象，其質(zhì)量m=30 kg，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=15 kg·m2，阻尼系數(shù)cv=20 kg·s-1和cω=10 kg·m2·s-1。為了驗(yàn)證定點(diǎn)目標(biāo)控制律(24)和(25)的有效性，選取起始位姿為

要求

控制律(24)和(25)分別將移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)分解為原地旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和直線運(yùn)動(dòng)，示意圖見圖2。

該點(diǎn)到原點(diǎn)的鎮(zhèn)定仿真如圖3～6所示．如圖3為移動(dòng)機(jī)器人的角速度曲線；圖4為移動(dòng)機(jī)器人的直線運(yùn)動(dòng)速度曲線；圖5為移動(dòng)機(jī)器人的航向角曲線；圖6表示移動(dòng)機(jī)器人的位置曲線．

由圖3可知，機(jī)器人在5.0s時(shí)鎮(zhèn)定，此刻位姿收斂到零。由圖4～6可看出，速度、角速度和力矩起始為零，而且最終收斂到零．

圖2 移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)分解

圖3 移動(dòng)機(jī)器人的角速度曲線

圖4 移動(dòng)機(jī)器人的直線運(yùn)動(dòng)速度曲線

圖5 移動(dòng)機(jī)器人的航向角曲線

圖6 移動(dòng)機(jī)器人的位置曲線

5 結(jié)語

本文針對移動(dòng)機(jī)器人的定點(diǎn)目標(biāo)控制問題，提出一種線性分解方法。線性分解方法在時(shí)間上將具有非完整約束移動(dòng)機(jī)器人模型分解為兩個(gè)線性系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了非線性系統(tǒng)的線性解耦分解。利用線性分解方法簡化了移動(dòng)機(jī)器人的定點(diǎn)目標(biāo)控制設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了移動(dòng)機(jī)器人的有限時(shí)間定點(diǎn)目標(biāo)控制。

[1] Sun S, Cui P. Path tracking and a practical point stabilization of mobile robot[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 2004, 20(1): 29-34.

[2] 王牛， 李祖樞.一種兩輪輪式機(jī)器人點(diǎn)鎮(zhèn)定智能控制實(shí)現(xiàn) [J]. 控制理論與應(yīng)用， 2010， 17(4)： 437-443.

[3] Farzad P. Exponential stabilization of nonholonomic mobile robots [J]. Computers and Electrical Engineering, 2002, 28(5): 349-359.

[4] Wang C, Liang Z, Jia Q. Dynamic feedback robust stabilization of nonholonomic mobile robots based on visual servoing [J]. Journal of Control Theory and Applications, 2010, 8(2): 139-144.

[5] Huang H C. Intelligent motion control for four-wheeled omnidirectional mobile robots using ant colony optimization [J]. Next Wave in Robotics: Communications in Computer and Information Science, 2011, 212: 94-106.

[6] Wang C. Semiglobal practical stabilization of nonholonomic wheeled mobile robots with saturated inputs[J]. Automatica, 2008, 44(3): 816-822.

[7] Buccieri D, Mullhaupt P, Jiang Z P, et al. Velocity-scheduling control for a unicycle mobile robot: Theory and experiments [J]. IEEE Transactions on Robotics, 2009, 25(2): 451-458.

[8] 李勝， 馬國梁， 胡維禮. 一類不確定非完整移動(dòng)機(jī)器人的時(shí)變自適應(yīng)鎮(zhèn)定 [J]. 機(jī)器人， 2005, 27(1)： 10-13.

[9] Gao F, Shang Y, Yuan F. Robust adaptive finite-time stabilization of nonlinearly parameterized nonholonomic systems [J]. Acta Applicandae Mathematicae, 2013, 123(1): 157-173.

[10] 唐麗娜， 宿浩， 郭忠文. 移動(dòng)機(jī)器人定點(diǎn)目標(biāo)控制的線性分解方法 [J]. 中國海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013， 44(11):114-117.

[11] 楊雪, 唐功友, 蓋紹婷. 自主式智能體有限時(shí)間停車問題及控制策略設(shè)計(jì) [J]. 控制與決策, 2013, 28(6): 953-956.

責(zé)任編輯 陳呈超

Position Target Control and Linear Decomposition Approach for Wheeled Mobile Robots

SU Hao, TANG Li-Na, TANG Gong-You

(College of Information Science and Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

The problem of position target control in a given period of time for wheeled mobile robots is presented. A linear decomposition approach to solve this kind of problem is proposed. According to the structural characteristics of the nonholonomic nonlinear dynamic model of the wheeled mobile robot, the robot motion can be decomposed into in-situ rotary and rectilinear motion. The in-situ rotary and rectilinear motion law of the mobile robot are designed respectively, which realizes the decoupling decomposition of the nonlinear system. Using the linear decomposition control approach, in-situ rotary and rectilinear motion for wheeled mobile robot are designed as uniformly accelerated starting, uniformly moving and uniform deceleration parking processes, to achieve the position target control in a given period of time. Simulation results verify the effectiveness of the proposed method.

mobile robot; nonlinear systems; position target control; linear decomposition; decoupling

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61074092)；山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2010FM019)資助

2013-11-09；

2014-05-20

宿 浩(1982-)，男，博士生。E-mail: asfreedom@163.com

P13

A

1672-5174(2015)09-116-06

10.16441/j.cnki.hdxb.20130414