在分組數(shù)據(jù)情形下對(duì)廣義指數(shù)分布的參數(shù)估計(jì)

張 莉

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川 南充 637009)

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在分組數(shù)據(jù)情形下對(duì)廣義指數(shù)分布的參數(shù)估計(jì)

張 莉

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川 南充 637009)

由于種種原因，人們無法隨時(shí)跟蹤所有產(chǎn)品，獲悉其精確失效時(shí)刻．于是，在預(yù)先設(shè)定的時(shí)刻，對(duì)試驗(yàn)產(chǎn)品進(jìn)行定時(shí)觀察，就能獲得部分產(chǎn)品的失效信息，這樣得到的失效數(shù)據(jù)即分組數(shù)據(jù)．本文應(yīng)用TFR模型，討論了當(dāng)失效數(shù)據(jù)為分組數(shù)據(jù)時(shí)，廣義指數(shù)分布在多步步加試驗(yàn)下的參數(shù)估計(jì)，并通過數(shù)據(jù)模擬說明了方法的有效性．

廣義指數(shù)分布；TFR模型；多步步加試驗(yàn)；分組數(shù)據(jù)

廣義指數(shù)分布于1999年被Gupta和Kundu提出[1]，隨即被作為Gamma分布、Welbull分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布的替代分布，其各種性質(zhì)得以廣泛研究。如今，廣義指數(shù)分布在可靠性領(lǐng)域中已經(jīng)占有一席之地，并被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域．近幾年，常規(guī)壽命試驗(yàn)中廣義指數(shù)分布的點(diǎn)估計(jì)方法成為學(xué)術(shù)界的研究重點(diǎn)。例如，文獻(xiàn)[2]利用EM算法對(duì)分組和右截尾數(shù)據(jù)下廣義指數(shù)分布的參數(shù)估計(jì)進(jìn)行了探討；文獻(xiàn)[3]研究了廣義指數(shù)分布的極大似然估計(jì)并得到其漸進(jìn)分布；文獻(xiàn)[4]、[5]采用逆矩法探討了廣義指數(shù)分布的未知參數(shù)估計(jì)，并提出了參數(shù)區(qū)間估計(jì)的構(gòu)造方法；文獻(xiàn)[6]給出了在恒加試驗(yàn)下參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)．然而，基于分組數(shù)據(jù)的情形應(yīng)用TFR模型來探討廣義指數(shù)分布在步加試驗(yàn)中的參數(shù)估計(jì)的研究目前還不多見．本文試圖討論應(yīng)用TFR模型的多步步加試驗(yàn)中不完全樣本情況下的參數(shù)估計(jì)．

1 試驗(yàn)安排

由于種種原因，人們無法隨時(shí)跟蹤所有產(chǎn)品，獲悉其精確失效時(shí)刻．于是，本文假設(shè)對(duì)產(chǎn)品的觀察為間隔觀察，即給定各個(gè)應(yīng)力條件下的觀察時(shí)刻，進(jìn)行定時(shí)轉(zhuǎn)換試驗(yàn)．

將n個(gè)相互獨(dú)立的元件在t1,0時(shí)刻投入到加速應(yīng)力水平S1下做壽命試驗(yàn)，到t1，m1時(shí)刻為止共有R1個(gè)失效，同時(shí)將應(yīng)力水平上升到S2，余下的未失效元件在S2下繼續(xù)做試驗(yàn)，到t2，m2時(shí)觀測(cè)到有R2個(gè)失效，并將應(yīng)力提高到S3，…，這樣繼續(xù)做下去，直到在應(yīng)力水平Sk下的時(shí)刻tk，mk，才停止整個(gè)試驗(yàn)，此時(shí)有Rk個(gè)元件失效．記

t0=t1，0=0，tk=tk，mk，ti=ti，mi=ti+1，0，i=1，2…，k-1.

2 基本假定

假定1 各個(gè)應(yīng)力下的壽命數(shù)據(jù)服從廣義指數(shù)分布，其密度函數(shù)、分布函數(shù)分別為

f(x)=βλ(1-e-λx)β-1e-λx，x≥0

F(x)=(1-e-λx)β，x≥0.

其中，β>0稱為模型的形狀參數(shù)，λ>0稱為模型的尺度參數(shù)．當(dāng)形狀參數(shù)β=1時(shí)，模型即為一般的指數(shù)分布模型．

假定2 不同應(yīng)力水平Si，Sj下產(chǎn)品的失效機(jī)理與正常應(yīng)力水平S0下的失效機(jī)理相同，反映在分布參數(shù)上即形狀參數(shù)β不隨應(yīng)力水平的變化而變化．

假定3 (TFR模型) 在步加試驗(yàn)中，當(dāng)應(yīng)力從Si-1提高到Si，可靠度函數(shù)之間存在如下關(guān)系：

(1)

其中，可靠度函數(shù)的下標(biāo)對(duì)應(yīng)各個(gè)應(yīng)力水平的下標(biāo)，t0=0，α-1=α0=1，因子αi>1，i=1，…，k-1，值將由應(yīng)力Si和Si+1確定，而且有可能與時(shí)間變點(diǎn)ti有關(guān)．

3 參數(shù)的極大似然估計(jì)

在做原有參數(shù)(α1，α2，…，αk-1，β，λ)的估計(jì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)估計(jì)誤差大，且形式復(fù)雜，故做以下替換：

(2)

為求參數(shù)的極大似然估計(jì)，首先給出其對(duì)數(shù)似然函數(shù)：

為簡(jiǎn)潔，作以下符號(hào)約定：

其次，為得到參數(shù)估計(jì)，將對(duì)數(shù)似然函數(shù)關(guān)于各參數(shù)求偏導(dǎo)，并令等于0.

4 數(shù)據(jù)模擬

例 假定做兩步步加試驗(yàn)，樣本容量分別為n=50，n=200，n=1000，真值λ=2，β=1，α1=3，t1，1=0.3，t1,2=0.5，t2，1=,0.6，t2，2=0.7．通過蒙特卡羅方法進(jìn)行數(shù)據(jù)模擬，得到以下數(shù)據(jù)(見表1)：

表1 數(shù)據(jù)模擬結(jié)果

觀察表格可得如下結(jié)論：

(1)在樣本容量較小(n=50，n=200)時(shí)，參數(shù)估計(jì)值的相對(duì)誤差非常大，估計(jì)精度差；

(2)在樣本容量較大(n=1000)時(shí)，參數(shù)估計(jì)值的相對(duì)誤差較小，估計(jì)精度高．

由此可見，本文討論的方法更加適用于大樣本情況下的參數(shù)估計(jì)．

綜上所述，筆者在前人研究成果的基礎(chǔ)上，對(duì)廣義指數(shù)分布的參數(shù)估計(jì)做了以下創(chuàng)新工作：

第一，本文考慮的失效數(shù)據(jù)為分組數(shù)據(jù)．以往學(xué)者大多討論完全樣本條件下的參數(shù)估計(jì)，而本文將重點(diǎn)放在了分組數(shù)據(jù)來進(jìn)行研究．第二，本文探討的是多步步加試驗(yàn)．很多文章對(duì)廣義指數(shù)分布的研究通常停留在常規(guī)壽命試驗(yàn)，而極少涉及步加試驗(yàn)．第三，本文應(yīng)用的折算模型是TFR模型．一旦談到步加試驗(yàn)，許多研究者考慮的折算模型是Nelson模型而非TFR模型．

當(dāng)然，除了本文給出的結(jié)果，廣義指數(shù)分布尚有進(jìn)一步探討的空間．

[1] GUPTA R．D．,KUNDU D．Generalized Exponengtial Distribution[J]．Australian and New Zealand Journal of statistics,1999,41(2),173-188．

[2] 田玉柱，田茂再，陳平．?dāng)?shù)據(jù)分組和右截尾數(shù)據(jù)情形下廣義指數(shù)分布的參數(shù)估計(jì)及應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)進(jìn)展，2012,6(12):755-762．

[3] 沈作斌．廣義指數(shù)分布下區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)[J]．教育教學(xué)，2010,2:20．

[4] 唐玉娜，施瑞，王炳興．廣義指數(shù)分布的統(tǒng)計(jì)推斷[J]．統(tǒng)計(jì)與決策，2008,17:18-19．

[5] 唐玉娜 ．廣義指數(shù)分布基于加速壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析[D]．浙江：浙江工商大學(xué)，2008,12:18-31．

[6] 張莉．廣義指數(shù)分布在恒加試驗(yàn)中的參數(shù)估計(jì)[J]．內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2013,12:4-7．

[7] 張莉，鄭宇棠．指數(shù)分布TFR模型多步步加試驗(yàn)下的參數(shù)估計(jì)[J]．西華師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012,33(4):371-373．

[8] 茆詩松，王玲玲．加速壽命試驗(yàn)[M]．北京：科學(xué)出版社，2000．

[9] 茆詩松，王玲玲．可靠性統(tǒng)計(jì)[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，1984．

[10] 戴樹森，費(fèi)鶴良，王玲玲．可靠性試驗(yàn)及其統(tǒng)計(jì)分析[M]．北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1983．

The Parameter Estimation of Generalized Exponential Distribution on Grouped Data

ZHANG LI

(The department of math and information, China West Normal University, Nanchong Sichuan, 637009)

Due to various reasons,people cannot keep track of all products and get the exact time of their expiration date.So,at a predetermined time,we can obtain the expiration information of some products by observing products.These expiration data were grouped data.Based on grouped data, this article discussed parameter estimation of generalized exponential distribution by the multi-step-stress accelerated life tests. The analysis of the data was made by the TFR Model. Then, the estimation method was proved rightly by Monte Carlo stimulation.

generalized exponential distribution; TFR Model; the multi-step-stress accelerated life tests; grouped data

1673-5072(2015)01-0041-04

2014-11-16

西華師范大學(xué)科研啟動(dòng)基金(08b025)

張莉(1982-)，女，四川自貢人，西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院講師，主要從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用的研究．

O213

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