求解流線曲率法反命題的一種新型有限差分方法

宮武旗,伍儒康

(西安交通大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,710049,西安)

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求解流線曲率法反命題的一種新型有限差分方法

宮武旗,伍儒康

(西安交通大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,710049,西安)

針對(duì)全三元離心葉輪流線曲率法反命題設(shè)計(jì),提出了一種求解S2m流面速度梯度方程的新型有限差分解法。該方法將相對(duì)速度沿準(zhǔn)正交線的方向?qū)?shù)采用前向差分格式,將相對(duì)速度沿流線的方向?qū)?shù)分解為兩項(xiàng),一項(xiàng)采用前向差分,另一項(xiàng)采用后向差分格式,其他各參量沿準(zhǔn)正交線或流線的方向?qū)?shù)統(tǒng)一采用前向差分格式。這樣便解決了簡(jiǎn)單采用前向差分格式或后向差分格式難以保證求解速度場(chǎng)的矩陣主對(duì)角線元素占優(yōu)問(wèn)題,使求解格式具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性和收斂性。新型有限差分求解方法應(yīng)用于Krain葉輪的改型設(shè)計(jì),經(jīng)計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)(CFD)分析得,改型葉輪效率提高約0.3%,壓比提高約0.2,表明利用新型有限差分法求解S2m流面速度梯度方程是可行的。

有限差分法;S2m流面;流線曲率法;反命題;全三元葉輪

流線曲率法是葉輪機(jī)械領(lǐng)域中一種重要的葉輪葉片設(shè)計(jì)方法,其通過(guò)求解S2m流面的速度梯度方程求得流面上的速度分布,根據(jù)給定的設(shè)計(jì)參數(shù)變化規(guī)律設(shè)計(jì)出符合要求的葉片幾何形狀。該方法簡(jiǎn)單、緊湊、物理意義明確,在流體機(jī)械葉輪設(shè)計(jì)中得到了廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[1]應(yīng)用流線曲率法進(jìn)行了軸流壓縮機(jī)和離心壓縮機(jī)的一體化設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[2]研究了流線曲率法在渦輪設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[3]研究了不同角動(dòng)量對(duì)葉片載荷的影響。文獻(xiàn)[4]在流線曲率法中加入了摻混模型,以模擬二次流的作用。

工程中,通常采用三次樣條曲線擬合方法來(lái)求解流線曲率法的反命題問(wèn)題。三次樣條曲線擬合方法求解簡(jiǎn)單、實(shí)用,且在比較粗的網(wǎng)格時(shí)能獲得比較滿意的求解精度。但是,采用三次樣條擬合方法對(duì)求解算法的穩(wěn)定性和收斂性進(jìn)行分析比較困難,有時(shí)無(wú)法得到滿意的解。

本文采用有限差分法對(duì)流線曲率法的反命題進(jìn)行了求解,同時(shí)給出了相應(yīng)的速度梯度方程的離散格式,從而發(fā)展了一種收斂性和穩(wěn)定性良好的求解方法。

1 速度梯度方程的差分格式

通過(guò)求解S2m流面速度梯度方程進(jìn)行三元葉片的設(shè)計(jì),根據(jù)葉輪內(nèi)的歐拉方程、熱力學(xué)焓熵關(guān)系式以及柱坐標(biāo)系下的定常無(wú)黏相,對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)量方程組進(jìn)行化簡(jiǎn)可得到S2m流面內(nèi)的速度梯度方程[5]

上述方程是通過(guò)無(wú)黏理想流動(dòng)方程推導(dǎo)得到的速度梯度方程,適用于葉輪內(nèi)主流流動(dòng)未出現(xiàn)邊界層分離時(shí)的流場(chǎng)計(jì)算,而邊界層對(duì)流場(chǎng)的影響則可通過(guò)給定設(shè)計(jì)效率沿著整個(gè)流道內(nèi)的分布來(lái)考慮。利用設(shè)計(jì)效率分布可以改變上述方程中熵值沿著準(zhǔn)正交線梯度的分布,從而考慮黏性和邊界層的影響。

通過(guò)分析可知,上述方程是一個(gè)關(guān)于θ和Wm的二元微分方程組,求解該方程組即可得到符合設(shè)計(jì)要求的三元葉片。方程組中各項(xiàng)的離散格式如下所述。

(1)dWm/dq。該項(xiàng)采用前向差分格式,即

(2)dWm/dm。該項(xiàng)的系數(shù)是sin(α-ψ),在流道中該系數(shù)可能為正數(shù),也可能為負(fù)數(shù),因此對(duì)于dWm/dm,無(wú)論采用前向差分格式還是后向差分格式,都難以保證求解速度場(chǎng)的矩陣主對(duì)角線元素占優(yōu)。為了保證對(duì)角線元素占優(yōu),將dWm/dm展開(kāi)為

在離心葉輪流道中,α和ψ的取值在[0,π/2]范圍內(nèi),對(duì)展開(kāi)式的右邊一項(xiàng)采用前向差分,另一項(xiàng)采用后項(xiàng)差分,即可保證對(duì)角線元素占優(yōu)。具體為

(3)d(rCθ)/dm、dθ/dq、d(rCθ)/dq、dθ/dm和dSe/dq。對(duì)于這幾項(xiàng),在迭代求解Wm的內(nèi)迭代過(guò)程中不會(huì)影響迭代算法的收斂性,只有對(duì)θ進(jìn)行更新后才會(huì)影響算法的收斂性,此時(shí)可以考慮統(tǒng)一使用前向差分格式進(jìn)行離散。將上述離散格式代入速度梯度方程,得

ai,j(Wm)i,j=ai-1,j(Wm)i-1,j+ai+1,j(Wm)i+1,j+

ai-1,j=-sinαcosψ/(mi,j-mi-1,j)

ai+1,j=-cosαsinψ(mi+1,j-mi,j)

ai,j+1=-1/(qi,j+1-qi,j)

ai,j=ai-1,j+ai+1,j+ai,j+1-A

(1)

(2)

實(shí)際計(jì)算中,C系數(shù)對(duì)收斂性影響較小,可忽略,則有

可見(jiàn),迭代求解過(guò)程穩(wěn)定收斂。具體的流線曲率法反命題求解流程如圖1所示。

圖1 反命題求解流程

2 設(shè)計(jì)算例

為了驗(yàn)證上述算法的可行性,本文對(duì)Krain葉輪[6-7]進(jìn)行了改型設(shè)計(jì)。Krain葉輪的設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示。改型設(shè)計(jì)時(shí)給定的沿流線方向的環(huán)量變化規(guī)律如圖2所示。Krain葉輪設(shè)計(jì)計(jì)算的子午速度如圖3所示。采用dWm/dm=0作為葉輪進(jìn)口邊界條件。新設(shè)計(jì)葉輪與Krain葉輪對(duì)比如圖4所示,新設(shè)計(jì)葉輪為全三元葉片結(jié)構(gòu)。

表1 Krain葉輪設(shè)計(jì)參數(shù)

圖2 環(huán)量變化規(guī)律

圖3 Krain葉輪子午速度

(a)新設(shè)計(jì)葉輪 (b)Krain葉輪圖4 2種葉輪對(duì)比

3 計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)分析對(duì)比

使用CFX軟件對(duì)Krain葉輪和新設(shè)計(jì)葉輪進(jìn)行了計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)(CFD)分析計(jì)算,性能參數(shù)如圖5和圖6所示。

圖5 葉輪效率曲線

由圖5、圖6可知,2種葉輪的性能曲線差別較小,新設(shè)計(jì)葉輪的效率提高了約0.3%,壓比提高了約0.2。可見(jiàn),本文有限差分法是一種可行的三元葉輪設(shè)計(jì)方法。

圖6 葉輪壓比曲線

4 結(jié) 論

本文提出了一種求解S2m流面速度梯度方程的有限差分法,它是一種穩(wěn)定的收斂差分格式,同時(shí)給出了相應(yīng)的求解流程。采用本文的反命題求解算法重新設(shè)計(jì)了Krain葉輪,性能參數(shù)比Krain葉輪略有提高,效率最高提高了約0.3%,壓比最高提高了約0.2。這表明,本文的有限差分求解反命題方法是一種可行的三元葉輪設(shè)計(jì)方法。

[1] 楊小賀, 單鵬. 風(fēng)扇與軸流離心壓氣機(jī)一體化通流設(shè)計(jì)方法 [J]. 航空動(dòng)力學(xué)報(bào), 2010, 25(2): 443-450. YANG Xiaohe, SHAN Peng. Integrative design method of fan and axial-centrifugal compressor [J]. Journal of Aerospace Power, 2010, 25(2): 443-450.

[2] 弓升. 基于S2流面的渦輪葉片設(shè)計(jì)方法研究 [D]. 南京: 南京航空航天大學(xué), 2008.

[3] 李園園. 面向透平壓縮機(jī)氣動(dòng)設(shè)計(jì)的可壓縮流動(dòng)數(shù)值計(jì)算方法 [D]. 西安: 西安交通大學(xué), 2012.

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(編輯 苗凌)

New Finite Difference Scheme for Solving Inverse Proposition of Streamline Curvature Method

GONG Wuqi,WU Rukang

(School of Energy and Power Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

For the streamline curvature inverse proposition design of a full three-dimensional centrifugal impeller, a new finite difference method is put forward to solve the S2m stream surface velocity gradient equation. In the difference scheme, forward difference is chosen for the relative velocity derivative along the quasi orthogonal curve; that along the streamline direction is decomposed into two items, forward difference is used for first item, backward difference for another, and forward difference for all other parameter derivatives. The scheme solves the difficulty to guarantee the matrix main diagonal elements being dominant in solving velocity field with simple forward difference or backward difference scheme, and has higher stability and convergence. The new finite difference scheme is taken to redesign Krain impeller. The CFD analysis shows that modified impeller efficiency is increased by 0.3%, and compression ratio is heightened 0.2.

finite difference; S2m stream surface; streamline curvature; inverse proposition; full three-dimensional centrifugal impeller

2014-08-27。 作者簡(jiǎn)介:宮武旗(1968—),男,副教授。 基金項(xiàng)目:陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013JM7006)。

時(shí)間: 2015-01-05

網(wǎng)絡(luò)出版地址: http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150105.0853.004.html

10.7652/xjtuxb201503002

TH452

A

0253-987X(2015)03-0011-03