系泊型浮體運動的無網(wǎng)格法數(shù)值模型

曹文瑾,孫中國,席光

(西安交通大學能源與動力工程學院,710049,西安)

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系泊型浮體運動的無網(wǎng)格法數(shù)值模型

曹文瑾,孫中國,席光

(西安交通大學能源與動力工程學院,710049,西安)

針對系泊型浮體在運動中可能出現(xiàn)的繩索保持繃緊、由繃緊變松弛、保持松弛和由松弛變繃緊等4種狀態(tài),基于移動粒子半隱式法基本流固耦合模型,提出了一種剛體運動狀態(tài)判定機制。對浮體受到繩索牽引而運動受限的情況提出了一種處理方法:按體積分的形式計算流體對浮體的壓力、重力和它們的力矩,求解剛體動量方程和轉動量方程得到浮體的速度和角速度,浮體因受到繩索作用而徑向速度降為零,浮體以切向速度繞繩索固定端旋轉。對用單繩系泊的二維浮體在孤立波中的運動進行了數(shù)值模擬,捕捉到了上述4種運動狀態(tài),可以觀測到繩索保持繃緊時繩索與浮體的固連點的軌跡為一段圓弧。同時,浮體在水平、豎直和轉動方向3個自由度的運動信息均可以從計算結果中提取研究。數(shù)值模擬結果符合物理原理,模型的建立擴展了移動粒子半隱式法的應用范圍,為模擬固體運動受限制的流固耦合問題提供了思路。

系泊;浮體;移動粒子半隱式法;流固耦合

浮式防波堤、海上風電平臺和船舶等都是常見的浮體。在有風浪的時候,浮體發(fā)生運動,實際生產(chǎn)生活和工業(yè)實際中通常使用繩索來限制浮體的運動范圍,繩索的一端固定,另一端固連在浮體上。由于繩索具有抗拉而不抗壓的被動性力學特性,當浮體有越出繩長范圍的運動趨勢時,繩索中將產(chǎn)生作用力來限制浮體的運動范圍不超過繩長,而當浮體在繩長范圍內(nèi)運動時,繩索內(nèi)不會產(chǎn)生作用力,浮體運動完全自由。

已有學者對完全自由漂浮的浮體做了研究:Lee等用移動粒子半隱式法(Moving Particle Semi-implicit Method, MPS)模擬了方形物塊沉入水中的過程,并計算了板狀物體落入水中時的沖擊載荷[1];Bogner等用玻爾茲曼方法(Lattice Boltzmann Method, LBM)模擬了剛性浮體的漂浮現(xiàn)象[2];Omidvar等用變粒子尺度的光滑粒子水動力學方法(Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH)模擬了三維浮體對波浪的運動響應[3]。

也有學者對系泊的浮體進行了研究:Mays等研究了浸沒的系泊型三維圓柱形浮體的運動[4];Diamantoulaki等研究了繩索數(shù)量和繩索與浮體的連接點數(shù)量對浮體運動的影響[5];Peng等用改進的流體體積法(Volume of Fluid, VOF)模擬了由兩根繩系泊的浮體在波浪中的運動并與實驗數(shù)據(jù)做了對比[6];Ferreras等研究了浮體在彈性不同的繩索作用下的運動并實驗測量了繩索中的應力[7]。

已有的研究都只是針對繩索保持繃緊或繩索保持松弛這兩種單一狀態(tài)下的浮體進行的,然而真實的物理現(xiàn)象還包括繩索在繃緊和松弛兩個狀態(tài)之間發(fā)生轉變的過程。由于浮體現(xiàn)象中存在運動的物質界面,自由液面也會發(fā)生大變形,采用無網(wǎng)格法模擬可以避免網(wǎng)格法中網(wǎng)格重構帶來的困難。因此,為了真實地模擬出繩索保持繃緊、由繃緊變松弛、保持松弛和由松弛變繃緊4種狀態(tài)下的浮體運動,本文在移動粒子半隱式法[8]的基礎上構建了一種浮體運動判定機制,對浮體在上述4種狀態(tài)下的運動進行了系統(tǒng)的建模并通過算例進行了驗證。

1 加入流固耦合模型的MPS法

在處理有大變形、自由面、固液界面或物質界面存在運動的流動問題時,網(wǎng)格法由于受到網(wǎng)格調(diào)整甚至重構等復雜過程的限制而較難實施。MPS法是一種無網(wǎng)格粒子方法,粒子之間沒有固定的拓撲關系,而是在拉格朗日觀點下隨時間運動并在當?shù)嘏c周圍粒子構建新的作用關系。這一特性保證了MPS法可以求解上述復雜流動。MPS法已被應用在自由表面流動、表面張力、氣液兩相流和流固耦合等多種流動問題中并驗證了其正確性[8-13]。

1.1 基本MPS法

MPS法適用于不可壓縮流動,控制方程為

(1)

(2)

式中:ρ是密度;μ是動力黏性系數(shù);u是速度;p是壓力;f是體積力;t是時間。

以配點法思想將求解區(qū)域離散成粒子,每個粒子都攜帶有物性參數(shù)(密度、黏性系數(shù)等)、運動學參數(shù)(坐標、速度等)和熱力學參數(shù)(壓力等)。粒子之間相互影響的強弱程度由核函數(shù)衡量,控制方程中的各項微分算子也基于核函數(shù)進行離散求解。本文采用的核函數(shù)如下

(3)

式中:r=|rj-ri|是任意兩個粒子i和j之間的距離;re是核函數(shù)的截斷半徑。離散形式的梯度算子和拉普拉斯算子如下

(4)

(5)

計算中,首先顯式計算動量方程中的黏性項和源項,得到粒子速度和坐標的估算值,然后隱式求解壓力泊松方程得到壓力,最后根據(jù)壓力梯度修正粒子的速度和坐標。以時間推進的方式追蹤粒子在各時間層的運動,從而得到整場的流動信息。

1.2 流固耦合模型

本文采用一種結合剛體動力學理論的MPS法求解流固耦合問題。關于這種改進的MPS法的具體實現(xiàn)和應用可參考文獻[13],本文只作簡要介紹。

剛體運動滿足的控制方程為

(6)

(7)

式中:m是剛體質量;u和ω是剛體的速度和角速度;F和M是剛體受到的外力和外力矩;下標ls表示流體對剛體的作用,other表示其他外力對剛體的作用。

算法的流程如圖1所示:先對固體粒子和流體粒子一起利用基本MPS法求解顯式步和隱式步,得到所有粒子的壓力。對于流體粒子,計算其壓力梯度并代回流體的動量方程修正坐標與速度值;對于固體粒子,按式(8)、(9),利用高斯公式將流體對固體的壓力和壓力的力矩轉化成固體區(qū)域內(nèi)的體積分進行求值

Fls=-?SpdS=-?VpdV

(8)

Mls=-?Srral×pdS=-?Vrral×pdV

(9)

式中:rral表示固體粒子相對于剛體質心的坐標。將合外力和合外力矩代入剛體運動的動量方程和角動量方程求得剛體的質心速度uc、質心坐標rc和角速度ωc,再由相對坐標可以得到每個固體粒子的速度ui和坐標ri

ui=uc+ωc×rral,i

(10)

ri=rc+Δt(ωc×rral,i)

(11)

圖1 加入流固耦合模型的MPS法流程圖

2 系泊型浮體問題的數(shù)值算法

系泊型浮體在水中運動的系統(tǒng)由剛性浮體、柔性繩索和水這3部分組成。本文假設繩索是極細的輕質繩索,浮體被限定在以繩索固定端為圓心、繩長為半徑的圓內(nèi)。不考慮繩索本身的變形,僅將繩索對剛體的作用轉變?yōu)閯傮w運動的限制條件,從而將剛體、柔性固體和液體相互作用的復雜問題簡化為剛體在液體中做運動范圍受限的運動問題。

繩索具有獨特的力學特性:①抗拉伸,當繩索被拉緊時,繩索內(nèi)將被動地產(chǎn)生作用力,本文假設這一過程所需的時間非常短暫且繩索沒有彈性,不會伸長,也不會發(fā)生斷裂;②不抗壓縮,當繩索松弛時,其內(nèi)部不產(chǎn)生作用力,自由端可以自由運動。相應地,系泊型浮體在運動中會出現(xiàn)4種狀態(tài):繩索保持松弛(狀態(tài)Ⅰ)、繩索由松弛變?yōu)榭嚲o(狀態(tài)Ⅱ)、繩索保持繃緊(狀態(tài)Ⅲ)和繩索由繃緊變?yōu)樗沙?狀態(tài)Ⅳ)。

2.1 坐標系布置

如圖2所示,定義3個坐標系:①絕對坐標系oxy,所有粒子的坐標和速度均在絕對坐標系下表示;②以繩索固定端為原點的坐標系o′x′y′,用來記錄連接浮體的繩索自由端的運動;③固連在浮體上的相對坐標系o″x″y″,用來記錄代表浮體的固體粒子相對于基點o″的運動。

根據(jù)剛體動力學理論,剛體的平面運動可以看作是平動和轉動的合成運動。其中,剛體隨基點的平動部分與基點的選擇有關,相對基點的轉動部分與基點的選擇無關。由于浮體上與繩索的連接點是一個特征位置,故將其選為基點,即平動系o″x″y″的原點。相應地,在應用式(8)～(11)時需要將下標c表示的量定義為o″的相應值,rral定義為固體粒子相對于o″的坐標。

o″(xc,yc)在坐標系o′x′y′中的坐標為(xc′,yc′),其到o′點的距離r表示繩索兩端連線的長度,φ表示連線與o′x′軸正向的夾角。

圖2 坐標系設置

2.2 剛體運動狀態(tài)判定機制

由于系泊型浮體的運動存在4種狀態(tài),因此計算中需要引入剛體運動狀態(tài)判定機制。如圖3所示,固體粒子和流體粒子一起參與壓力求解,液體粒子直接根據(jù)壓力梯度修正速度和坐標。對于浮體,求解剛體運動的動量方程可以得到o″點坐標和速度的估算值,由于o″固連在繩索的自由端上,r的估算值可由o″到o′的距離求得。此時,比較r值和繩長l的大小,再結合上一時間步n內(nèi)浮體的狀態(tài),就可以得到下一時間步n+1內(nèi)的浮體狀態(tài),具體判斷結果如表1所示。例如,n時間步內(nèi)浮體處于狀態(tài)Ⅰ,即繩索保持松弛,而在n+1時間步中r的估算值大于l,則可判定n+1時間步的浮體應處于狀態(tài)Ⅱ,即繩索由松弛變?yōu)榭嚲o。

表1 n+1時間步浮體狀態(tài)的判定結果

若r不大于l,則表明繩索處于松弛狀態(tài),繩內(nèi)無作用力,固體粒子按式(10)、(11)更新坐標和速度。若r大于l,則表明繩索已處于繃緊狀態(tài),o″只能在以o′為圓心、以l為半徑的圓周上運動。因此,消除浮體速度估算值的徑向部分,保留切向部分得到o″繞o′旋轉的角速度ωo″,并以此修正o″的坐標

(12)

圖3 加入剛體運動狀態(tài)判定機制的MPS法流程圖

式中:e是o′o″連線的方向向量。最后,按式(10)、(11)更新每個固體粒子的坐標和速度。

3 算 例

利用上述算法對由單根繩索系泊的浮體在孤立波中的運動響應進行了數(shù)值模擬,算例的幾何布置如圖4所示:寬500 mm的二維水槽中盛有100 mm深的水;左端水面上設置了一段寬120 mm、高100 mm的液柱,其倒塌后將產(chǎn)生一個孤立波;一個寬20 mm、高40 mm的剛性浮體淹沒于水中,其左端距水槽左端240 mm,底部距水槽底20 mm,浮體密度是水的一半;浮體由一根長340 mm的細繩系泊,繩的固定端固定在水槽的左下角,自由端固連在浮體的右下角;初始時刻繩處于松弛狀態(tài),開始運動后繩索將浮體限制在雙點劃線的范圍內(nèi)。

圖4 幾何布置示意圖

如圖5所示,追蹤o″的坐標可以得到浮體的運動軌跡,顏色由深及淺表示時間推進。由圖5可以看到,右側有一段圓弧,表明繩索在此階段處于繃緊狀態(tài),浮體上o″被嚴格限制在圓周上運動。如圖6所示,監(jiān)測r隨時間t的變化,可以具體判斷繩索處于松弛或繃緊狀態(tài)。

圖5 基點o″的移動軌跡

圖6 r隨時間t的變化

結合圖5和圖6,可以得到浮體運動的不同階段:①初始時刻r=260.77 mm,繩索松弛,隨著左端液柱發(fā)生潰壩并向右推進,浮體在水流的帶動下向右漂動并在浮力的作用下向上浮起,r逐漸增大但不超過l,此時浮體處于狀態(tài)Ⅰ,取t1=0.1 s作為特征時間;②直到t2=0.294 s,r增大到l=340 mm,繩中產(chǎn)生作用力,限制浮體不再在徑向向外運動,此時浮體處于狀態(tài)Ⅱ;③水流帶動浮體繼續(xù)向右運動,但由于繩索的限制,所以浮體只能繞繩索固定端旋轉,繩索一直保持繃緊,浮體處于狀態(tài)Ⅲ,取t3=0.4 s作為特征時間;④t4=0.521 s時,水流撞擊到水槽右壁面并向左回流,帶動浮體向左漂動,繩索轉變?yōu)樗沙跔顟B(tài),此時浮體處于狀態(tài)Ⅳ;⑤水流來回振蕩并不斷撞擊水槽左、右壁面,浮體運動也表現(xiàn)為在小范圍內(nèi)搖擺,但r始終沒有達到l,繩索一直處于松弛狀態(tài),浮體處于狀態(tài)Ⅰ,取t5=1 s作為特征時間。到15 s時,浮體只作微小幅度的搖擺,計算到此截止。

提取t1、t2、t3、t4和t5這5個特征時刻的浮體位置如圖7所示,圖中的波面形狀對應t2=0.294 s,雙點劃線是浮體在繩索限制下的最大運動范圍。浮體在t2和t4之間保持繃緊,o″在這段時間內(nèi)一直在最大運動范圍的圓周上運動,由此可證明本文提出的方法是有效且正確的。

圖7 t2=0.294 s時的波面形狀及4種狀態(tài)下的浮體

如圖2所示,定義浮體長邊與水平面的夾角為θ。結合圖7和圖5可以看出,θ和繩索兩端連線與水平面的夾角φ在運動過程中一直在不同步地變化,具體變化趨勢如圖8所示。初始位置φ=23.6°,浮體長邊豎直,θ=90°。到15 s運動趨于停止時,φ穩(wěn)定在23.6°附近,θ穩(wěn)定在0°附近,此時浮體長邊保持水平。

圖8 φ和θ隨時間t的變化

4 結 論

將系泊型浮體在液體中的運動分為繩索保持松弛、由松弛變繃緊、保持繃緊和由繃緊變松弛等4個狀態(tài),在MPS法框架下提出了一種剛體運動狀態(tài)判定機制,實現(xiàn)了對水流和繩索雙重作用下的浮體運動的數(shù)值模擬。當判定繩索處于繃緊狀態(tài)時,采用消除平動速度徑向分量的方法修正浮體速度,從而將剛性浮體、柔性繩索和水的相互作用問題簡化為剛體在液體中做運動范圍受限的運動問題求解。通過對單繩系泊的輕質浮體在潰壩產(chǎn)生的孤立波中的運動響應做詳細的數(shù)值模擬,清晰地捕捉到了4種狀態(tài)下的浮體運動。最終浮體長邊穩(wěn)定在水平方向,也從物理現(xiàn)象上證明了本文算法的正確性。

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(編輯 荊樹蓉)

Numerical Models of Moored Floating Bodies Using Meshless Method

CAO Wenjin,SUN Zhongguo,XI Guang

(School of Energy and Power Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

Four states may appear during a moored floating body’s movement (the rope keeps strained, strained first and then slaked, keeps slacked, slacked first and then strained). Based on the moving particle semi-implicit (MPS) method and combined with fluid-structure interaction model, a method to judge the floating body’s state is put forward. To simulate the movement of a moored floating body when the rope is strained, a new treatment is introduced. First, calculate the external forces applied by fluid and gravity and their torques using volume integration model and then the estimated value of the velocity and angular velocity of the floating body can be obtained by solving the momentum equation and angular momentum equation. Due to the pulling force applied by the rope in radial direction, the radial component of the estimated velocity is eliminated. The floating body rotates around the fixed end of the rope at a speed equal to the tangential component of the estimated velocity. Utilizing this algorithm, the dynamic response to the movement of a 2-D floating body moored by a single rope in a solitary wave is simulated, and the four states previously mentioned are captured. The trace of the joint point of the rope and floating body during the period when the rope keeps strained is an arc. The data including the movements in the horizontal, vertical and rotation directions can be gained from the calculation. The results agree well with the physical principle. It appears that our finding not only extends the application scope of MPS method, but also provides a new train of thought in simulating the fluid-structure interaction problems of solid bodies whose movement is limited.

moored; floating body; moving particle semi-implicit method; fluid-structure interaction

2014-07-29。 作者簡介:曹文瑾(1992—),男,碩士生;席光(通信作者),男,教授,博士生導師。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(51106125,51236006);中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助項目(2014jdhz41)。

時間: 2014-12-18

網(wǎng)絡出版地址: http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20141218.1008.002.html

10.7652/xjtuxb201503011

O351.2

A

0253-987X(2015)03-0062-05