基于弧長法的桁架臂結(jié)構(gòu)全過程非線性穩(wěn)定性分析

王殿龍，駱 廣，王 欣，高順德

（大連理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，遼寧 大連 116023）

在履帶起重機日益向著大型、高聳、輕柔化、格構(gòu)式方向發(fā)展的過程當中，其穩(wěn)定性問題也日顯突出［1］.穩(wěn)定性問題不同于強度問題，構(gòu)件失穩(wěn)往往比強度破壞出現(xiàn)得更隱蔽，破壞性也更大.

履帶起重機桁架臂結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性問題常用解法有靜力平衡法、缺陷法、振動法和能量法［2］.但是，這些方法常以“抽象梁”作為研究對象，對于工程實際中具有復(fù)雜空間結(jié)構(gòu)的臂架而言，此舉很難完全體現(xiàn)臂架桿件空間交錯從而互相耦合對其穩(wěn)定性產(chǎn)生的影響［3］.因此，在實際工程應(yīng)用中，大量使用的是求解穩(wěn)定問題的數(shù)值方法，其中采用有限元單元法對復(fù)雜構(gòu)件的穩(wěn)定性問題進行求解應(yīng)用最為廣泛［4－5］.

穩(wěn)定性問題在有限元中有兩種解法.一種是線性穩(wěn)定性，即特征值屈曲，其特點是求解相對簡單和高效，在工程中運用也較多［6］.但是，線性穩(wěn)定性無法考慮構(gòu)件的初始缺陷、載荷分布、材料非線性等對穩(wěn)定性的影響.由于小變形理論的限制，線性穩(wěn)定性分析也無法考慮幾何非線性對結(jié)構(gòu)承載能力的削弱，其結(jié)果相對樂觀.另一種是非線性穩(wěn)定性，它采用非線性迭代進行全過程分析，通過求解不同載荷狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的變形響應(yīng)，繪制結(jié)構(gòu)的載荷－位移（F－u）全過程曲線，從全過程曲線分析中得到結(jié)構(gòu)的極限載荷.該方法考慮了初始缺陷、載荷分布和非線性對穩(wěn)定性的影響，分析結(jié)果更符合工程實際［7－8］.履帶起重機的桁架臂多為大長度的空間格構(gòu)式結(jié)構(gòu)，其穩(wěn)定性是典型的非線性問題，本文針對該問題，本文使用弧長法［9－11］，考慮臂架初始缺陷、載荷分布和幾何非線性，對臂架進行了載荷－位移的全過程非線性穩(wěn)定性分析.通過分析臂架的載荷－位移全過程曲線，并和線性穩(wěn)定性分析結(jié)果進行對比，得到了較為符合工程實際的臂架極限載荷，驗證了全過程非線性分析對于分析復(fù)雜構(gòu)件的實際意義，可為工程設(shè)計和評估提供有力根據(jù).

1 穩(wěn)定性分析的有限元理論

1.1 線性穩(wěn)定性分析

有限元中結(jié)構(gòu)的增量平衡方程可表示為：

式中：［K0］為結(jié)構(gòu)的彈性剛度矩陣；［Kσ］為結(jié)構(gòu)的初應(yīng)力剛度矩陣；［Kε］為結(jié)構(gòu)的初應(yīng)變剛度矩陣.

根據(jù)失穩(wěn)的定義，結(jié)構(gòu)屈曲時載荷增加一個很小的量，其位移即急劇增加，因此結(jié)構(gòu)屈曲時上述平衡方程中｛Δue｝必有非零解，從而det（［K0］＋［Kσ］＋［Kε］）＝0.在結(jié)構(gòu)的線性屈曲分析時假設(shè)結(jié)構(gòu)屈曲前處于初始平衡狀態(tài)，因此上式中的［Kε］＝0；在小位移情況下，［Kσ］與應(yīng)力水平成正比，應(yīng)力與外載荷也為線性關(guān)系.假設(shè)結(jié)構(gòu)施加一個參考載荷Fref，［Krefσ］為參考載荷對應(yīng)的初應(yīng)力矩陣.令Fcr＝λ·Fref為屈曲時的載荷大小，根據(jù)應(yīng)力與載荷的線性關(guān)系，則屈曲時的應(yīng)力矩陣［Kcrσ］可表示為：

所以經(jīng)典線性穩(wěn)定理論的平衡方程為：

方程（3）有非零解的充分必要條件是det（［K0］＋λ·）＝0.在n個自由度的有限元模型中，產(chǎn)生λ特征值的n階多項式，這種情況下特征值向量｛Δu｝n表示屈曲時疊加到系統(tǒng)上的變形，特征值λ與參考載荷Fref相乘即為失穩(wěn)載荷Fcr.

由于無法考慮初始缺陷、載荷分布和非線性對穩(wěn)定性的影響，線性穩(wěn)定性只對載荷－位移曲線如圖1的結(jié)構(gòu)（即屈曲前變形很小，屈曲后位移急劇增加）取得較好的效果.由于假設(shè)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)前處于小變形狀態(tài)，忽略了屈曲前變形的影響，常常會導(dǎo)致過高估計結(jié)構(gòu)的臨界載荷［12］.特征值屈曲分析用于預(yù)測一個理想彈性結(jié)構(gòu)的理論屈曲載荷，相當于教科書里的彈性屈曲（歐拉屈曲）分析方法.

圖1 線性穩(wěn)定性分析載荷－位移（F－u）曲線Fig.1 Load－displacement curve of linear stability

1.2 非線性穩(wěn)定性分析

在實際的工程問題中，由于結(jié)構(gòu)往往具有初始缺陷（如自重引起的初始下?lián)?，制造和裝配誤差等），載荷分布也不是完全理想，再加上非線性的影響（材料非線性，幾何非線性），其實際的載荷－位移曲線常如圖2所示.

圖2 非線性穩(wěn)定性分析載荷－位移（F－u）曲線Fig.2 Load－displacement curve of nonlinear stability

在到達極值載荷A點之前，結(jié)構(gòu)變形隨著載荷的增加也在逐漸增加，在載荷達到極值載荷A之后，即使載荷不變甚至減小，結(jié)構(gòu)的變形仍然在增加，此時結(jié)構(gòu)失去了承擔(dān)載荷的能力；隨著變形的繼續(xù)增大，結(jié)構(gòu)有可能重新獲得承擔(dān)載荷的能力，如圖2中的AB段，該情況多出現(xiàn)于網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)中；與此同時，結(jié)構(gòu)也可能完全喪失了承受載荷的能力，如圖2中AC段所示，該情況多出現(xiàn)于細長桁架結(jié)構(gòu)中.這一變化過程可以用結(jié)構(gòu)的載荷－位移曲線清晰地表達出來.結(jié)構(gòu)的載荷－位移曲線可以通過對結(jié)構(gòu)進行非線性穩(wěn)定性分析獲得.

在非線性計算中，常見的迭代方法有攝動法、載荷增量法、位移增量法和弧長法.攝動法理論復(fù)雜不便于實際操作［13］.載荷增量法采用載荷作為增量，逐步增加載荷到預(yù)定值，但是當載荷達到極值點附近時，剛度矩陣接近奇異，迭代不易收斂.除此之外，迭代過程中載荷只能增加不能減少，從而使得采用該方法無法獲得結(jié)構(gòu)在屈曲后的載荷－位移曲線（即圖2中A點以后的曲線）.位移增量法使用位移作為迭代增量，同樣會因為在極值點附近由于剛度矩陣奇異而導(dǎo)致不易收斂的問題.雖然以位移作為迭代增量可以使迭代越過極值點（即圖2中A點）而跟蹤結(jié)構(gòu)失穩(wěn)后的載荷－位移曲線，但是這需要預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形模式，而在實際工程問題中結(jié)構(gòu)的變形模式常很難確定.因此，位移增量法在實際過程中也難以操作.弧長法由于添加了弧長約束，在迭代過程中可以自動生成載荷增量以尋求收斂，甚至可以生成負的載荷增量來完成自動卸載，因而是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析中廣泛采用的方法［14－15］，其迭代過程如圖3所示.

圖3 弧長法的收斂過程Fig.3 Arc－length iteration process

圖3表示使用弧長法進行非線性迭代求解的迭代過程.具體的計算過程如下：

（1）載荷通過增量形式逐漸施加.

（2）在載荷增量每一子步迭代中完成平衡迭代，使增量方程達到平衡.

（3）求解以下增量平衡方程：

其中：［KT］為切線剛度矩陣；｛Δu｝為位移增量；｛Fn｝為外部載荷向量；Fnr為內(nèi)部節(jié)點力向量；λ（－1＜λ＜1）為載荷因子.其中位移增量｛Δu｝、載荷因子λ、弧長半徑l滿足以下約束關(guān)系：

（4）進行迭代，直到λ｛Fn｝－｛Fnr｝在允許容差內(nèi).

2 履帶起重機桁架臂在有限元中的表達

履帶起重機桁架臂多為無縫鋼管焊接的空間桁架結(jié)構(gòu)，弦桿和腹桿之間可以傳遞力和彎矩，因此采用 “梁”單元建模.其標準節(jié)是等截面桁架結(jié)構(gòu)，底節(jié)和頂節(jié)是變截面桁架結(jié)構(gòu)，各個臂節(jié)之間通過鉸耳聯(lián)接.通過增減標準節(jié)的個數(shù)來改變臂架長度.底節(jié)通過兩個鉸耳與下車鉸接，頂節(jié)前面一般會連接帶有滑輪組的臂頭.臂頭通過拉板連接到桅桿上，收放變幅鋼絲繩完成同一個臂長下的變幅操作，其典型結(jié)構(gòu)如圖4所示.拉板只受拉，采用“桿”單元建模.建模時保留結(jié)構(gòu)之間的空間位置關(guān)系以更好地反映實際模型受力情況.

圖4 履帶起重機結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Crawler crane

對履帶起重機桁架臂而言，初始缺陷包括制造和安裝誤差、自重引起的初始下?lián)系?由于制造和安裝誤差具有不確定性，且在分析時可用側(cè)載或側(cè)向彎矩代替，所以本文中的初始缺陷僅指桁架臂自重引起的初始下?lián)?在線性穩(wěn)定性分析中由于無法考慮初始缺陷，所以桁架臂的重力以外載荷方式均布作用在桁架臂上.在非線性穩(wěn)定分析中，先計算桁架臂自重引起的下?lián)喜⑵涓碌借旒鼙勰Ｐ停僭诖嘶A(chǔ)上施加吊載進行后續(xù)分析計算.取桁架臂根部鉸點為原點o，水平向右為x軸正方向，垂直向上為y軸正方向，z軸正向垂直xoy向外.如圖5所示，底節(jié)根部鉸耳只放開繞著鉸耳軸線的旋轉(zhuǎn)（鉸點A，B約束ux，uy，uz，rotx，roty），拉板根部鉸點施加全約束（鉸點C，D 約束ux，uy，uz），吊載Q 和側(cè)載F都施加在臂頭上的吊載點，如果施加側(cè)載，則側(cè)載的大小結(jié)合國家標準和常規(guī)使用情況綜合確定，取值F＝Q×tan 2°.本文中的載荷以及最后分析得到的極限載荷均指桁架臂吊載.

圖5 載荷約束示意圖Fig.5 Load and constraint

對于大臂長而言，桁架臂穩(wěn)定性是典型的非線性問題，在桁架臂結(jié)構(gòu)中具體表現(xiàn)為材料非線性和幾何非線性.本文中只考慮幾何非線性，即大變形對桁架臂穩(wěn)定性的影響，因為：（1）如果同時考慮幾何、物理兩種非線性，所需計算時間將成倍增加，對于大規(guī)模的分析來說很困難；（2）桁架臂結(jié)構(gòu)的正常工作狀態(tài)是在彈性范圍內(nèi)，材料非線性對結(jié)構(gòu)的影響實際上是使結(jié)構(gòu)承載力的安全儲備稍有下降，對這種影響已有可能從定量上做出適當判斷.隨著研究工作的進一步深入，再適時引入材料非線性進行計算.

3 算例分析

3.1 算例參數(shù)和加載信息

以750t級履帶起重機的84m主臂為研究對象，主要參數(shù)為：弦桿管徑×壁厚＝φ219.7×20mm，材料為FGS90WV；腹桿管徑×壁厚＝φ114.3×5／6.3mm，材料為FGS78WV；標準節(jié)截面尺寸為2800mm（寬度方向）和2600mm（高度方向）；拉板截面積之和為4680mm2.該臂長屬于大臂長，此時臂架是“細長結(jié)構(gòu)”，幾何非線性明顯.

選擇44m幅度工況為例，分3種情況進行加載：無初始缺陷工況；有初始缺陷（即桁架臂自重引起的初始變形）工況；有初始缺陷＋有水平側(cè)載Q×tan 2°工況.加載情況如表1所示.對這3種工況都分別進行線性穩(wěn)定性和非線性穩(wěn)定性分析，以便進行結(jié)果對比.其中關(guān)于載荷的處理如上節(jié)所述.

表1 3種工況的加載信息Tab.1 Load information of three conditions

3.2 線性穩(wěn)定性分析計算結(jié)果

對桁架臂進行線性穩(wěn)定性分析，將計算得到的穩(wěn)定性系數(shù)和當前施加的載荷相乘即可直接得到其屈曲載荷.工況1施加任意載荷后可以直接用穩(wěn)定性系數(shù)和當前施加的載荷相乘計算得到屈曲載荷.但是工況2和工況3中，如果還是采用此方法，那么初始缺陷（重力）也會被乘以穩(wěn)定性系數(shù)，顯然這樣與實際情況不符.實際計算中，施加重力并保持不變，通過不斷調(diào)整施加的載荷大小使計算得到的穩(wěn)定性系數(shù)接近于1就可以避免這個問題.計算后得到工況1的屈曲載荷為460.2t；工況2屈曲載荷為436.5t；工況3屈曲載荷為435.7t.

在線性穩(wěn)定性分析中，未考慮初始缺陷（重力）計算時，重力是當作一個外力載荷被施加到臂架上，因此有初始缺陷的臨界載荷要略小于無初始缺陷的臨界載荷.從工況2和工況3的計算結(jié)果可知，有、無側(cè)載的線性穩(wěn)定性計算結(jié)果差值僅為0.18%，側(cè)載對穩(wěn)定性的影響幾乎為零，這是由于線性穩(wěn)定性的理論僅考慮臂架軸線方向的載荷所造成的.顯然這是不合實際的，這也從另一個角度說明進行非線性穩(wěn)定性分析的必要.

3.3 非線性穩(wěn)定性分析計算結(jié)果

圖6 無初始缺陷（工況1）的全過程曲線Fig.6 Full－range curve without initial imperfection

圖6為無初始缺陷（工況1）的全過程曲線，以綜合位移u為例進行分析.由圖6可見，隨著載荷的不斷增加，桁架臂變形逐漸增大，伴隨著桁架臂位移的增大，圖中曲線斜率越來越小，其載荷與位移之間的幾何非線性關(guān)系也體現(xiàn)得越加明顯.當載荷增加到390.3t（對應(yīng)于圖6中ux，uy，uz，u曲線中的拐點Ax，Ay，Az，A）時，載荷達到臂架抵抗外載荷的最大值，此時結(jié)構(gòu)發(fā)生失穩(wěn).在結(jié)構(gòu)失穩(wěn)后，總體而言，結(jié)構(gòu)抵抗外載荷的能力急劇下降，即使載荷不再增加，桁架臂變形卻迅速增加，承擔(dān)外載荷的能力急劇下降.失穩(wěn)后，載荷減小會出現(xiàn)桁架臂變形的短暫減小，但是這個過程極為不穩(wěn)定和短暫，隨后桁架臂會再次進入變形增加階段，如圖6中ABC段曲線所示.桁架臂在失穩(wěn)后可能會發(fā)生局部桿件失穩(wěn)，造成載荷重分配，從而在載荷－位移全過程曲線中形成一個封閉的環(huán)，如圖6中CDE段曲線所示.但是，這種影響是極為有限的，桁架臂變形在總體上依然在繼續(xù)增加，同時承擔(dān)外載荷的能力也在迅速下降.

圖6中的ux，uy是結(jié)構(gòu)在變幅平面（xoy平面）的位移分量，在該平面內(nèi)有載荷作用，再加上拉板的變形造成臂架“向前探”，所以，x和y方向的位移是逐漸增加的.在載荷達到拐點390.3t后，在變幅平面內(nèi)載荷即使不再增加，臂架變形卻迅速變大，此時認為臂架在變幅平面內(nèi)失穩(wěn).在回轉(zhuǎn)平面（xoz平面，uz曲線），桁架臂相當于經(jīng)典的歐拉梁軸向受壓的情況，屬于典型的壓桿失穩(wěn)，所以在屈曲前z向位移幾乎為0，在屈曲后z向位移急劇增加.這里用非線性全過程方法得到的載荷－位移曲線和經(jīng)典歐拉梁軸向受壓的屈曲過程吻合得很好.在載荷達到拐點390.3t后，臂架在回轉(zhuǎn)平面內(nèi)也開始失穩(wěn).綜上所述，可以從圖6中看出，載荷－位移全過程曲線中拐點的極大值390.3t即為臂架的極限載荷（x，y，z這3個方向上的極限載荷相同），超過此載荷，結(jié)構(gòu)必然因變形過大而破壞.

圖7為考慮桁臂架自重引起初始下?lián)显斐设毂奂艹跏既毕荩ür2）的載荷－位移全過程曲線，此變形趨勢和圖6中相同，但該工況下桁臂架的極限載荷為372.1t.受桁臂架自重初始撓度影響，其極限載荷有所降低.

圖7 有初始缺陷（工況2）的全過程曲線Fig.7 Full－range curve with initial imperfection

圖8為考慮桁臂架自重引起初始下?lián)显斐沙跏既毕莶⑶沂┘觽?cè)載（工況3）的載荷－位移全過程曲線，它們的總體變形趨勢和圖6基本相同，都是在達到曲線的拐點（圖8中Ax，Ay，Az，A）之后，桁架臂載荷不再增加但變形卻仍然迅速變大，結(jié)構(gòu)失去承擔(dān)載荷的能力.

圖8 有初始缺陷并加側(cè)載（工況3）的全過程曲線Fig.8 Full－range curve with initial imperfection and side load

由于有側(cè)載（z向施加載荷），所以在z方向的變形分量是逐漸增加而不是在失穩(wěn)前幾乎為零，這與x向和y向的整體變形趨勢類同.同時由于x，y，z這3個方向上的位移互相影響，所以在曲線局部的趨勢上與圖6有所不同.該工況下桁臂架的極限載荷為335.7t，表明側(cè)向載荷和變幅平面內(nèi)存在初始缺陷時將進一步降低結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性.

圖6～8都取桁架臂的吊載點作為觀測點而得到其載荷－位移曲線.在本次分析過程中，還選取了桁架臂中部節(jié)點、桁架臂根部節(jié)點等其他觀測點來繪制其載荷－位移曲線，所得曲線的趨勢與圖6～8中的趨勢基本一樣，得到的極限載荷也分別相同，表明結(jié)構(gòu)是整體失穩(wěn)，構(gòu)件自身的變形要遠小于其位移.由此可得桁架臂對應(yīng)工況下的極限載荷分別是390.3，372.1，335.7t.

3.4 線性和非線性結(jié)果對比

將線性和非線性穩(wěn)定性計算結(jié)果匯總，如表2所示.從對比結(jié)果可知，線性穩(wěn)定性分析由于未考慮初始變形、載荷分布和幾何非線性對穩(wěn)定性的影響，其計算結(jié)果相對樂觀，與非線性結(jié)果比較，兩者的差值在本例中最大達到了29.79%.因此在實際的工程設(shè)計和評估中，進行非線性穩(wěn)定性分析是非常必要的.

表2 線性與非線性穩(wěn)定性分析結(jié)果對比Tab.2 Comparison of linear and nonlinear results

4 結(jié)語

本文以履帶起重機桁架臂為研究對象，使用弧長法，考慮初始缺陷、載荷分布、幾何非線性對桁架臂穩(wěn)定性的影響，對桁架臂進行非線性分析，繪制出桁架臂的載荷－位移全過程曲線.通過分析載荷－位移全過程曲線，并和線性穩(wěn)定性分析結(jié)果進行對比，得到了桁架臂較為真實的極限載荷.該方法可為工程設(shè)計和評估提供有力根據(jù).

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