略論二項式的系數(shù)計算

張青娟，潘東海，張藝萍，楊 凡

(1.中水北方勘測設計研究有限責任公司，天津 300222；2.天津市新華職工大學，天津 300041；3.天津城市職業(yè)學院，天津 300250)

張青娟1，潘東海1，張藝萍2，楊 凡3

(1.中水北方勘測設計研究有限責任公司，天津 300222；2.天津市新華職工大學，天津 300041；3.天津城市職業(yè)學院，天津 300250)

本文論述了二項式系數(shù)計算的四種方法和它們在結構力學中應用的一個例子。這四種方法是楊輝(Pascal)三角法、二項式定理、系數(shù)遞推法和線性方程組法，其中線性方程組法已脫離了楊輝(Pascal)三角系統(tǒng)成為一個新的方法，簡單明了。它們在結構力學中的應用也是初步嘗試。

楊輝(Pascal)三角法；二項式定理；系數(shù)遞推法；線性方程組法

一、楊輝(Pascal)三角法

圖1

二、二項式定理

基于楊輝(Pascal)三角法，而建立起來的二項式定理為：

①

其系數(shù)：

②

這一定理說明二項式展開式的系數(shù)與a、b的取值無關。同時說明①式為齊次多項式，a為降冪，b為升冪。其它特性亦可由②得出。如：

系數(shù)的對稱性：

i與n-i為對稱項，于是

因此，ci=cn-i(這是組合數(shù)學公式之一)

這就是二項式系數(shù)的對稱性。

二項式定理把楊輝(Pascal)三角的特性通過數(shù)學歸納法，擴充到了任意n值，這樣在理論上很有價值，尤其在組合數(shù)學中，基于二項式定理導出許多很有用的公式。二項式定理不僅能計算二項式的系數(shù)，它更是計算許多問題的一種重要方法和工具。

三、系數(shù)遞推法

筆者之一在文獻③中給出了一個計算二項式系數(shù)的簡便方法——系數(shù)遞推法，該法可用一句話來說明：“前一項的系數(shù)值，乘以前一項a的指數(shù)，再除以前一項b的指數(shù)加1，即為下一項的系數(shù)”。寫成公式如下：

③

這一公式非常容易記憶。因為由①式可知ck的k正好與b的指數(shù)一一對應，因此也就知道了a的指數(shù)為n-k，而前一項ck本身也為已知，這樣就可以從k=0,1,2,3,…,n逐項計算出來。

該式比原二項式定理要便捷、易記。其實ci+1與ci相比，即為此式。

倘若計算某n值的指定k項的系數(shù)時，可按下式計算：

④

k0=1，k1=n

④式容易證明，根據(jù)系數(shù)遞推法，ck由ck-1組成，ck-1又由ck-2組成，等等，即可導出④式。但這算式有不理想的地方，通用性太差，k0和k1都計算不出來。實際上，④式分子分母都乘以(n-k)！后：

此即二項式定理。這也就是為什么二項式定理不把分子、分母的共同因子(n-k)!消去的原因。

至此，可以看到系數(shù)遞推法主要優(yōu)點是比原定理——二項式定理簡單、易記，實用性更強。

四、線性方程組法

從上面所述，已經(jīng)知道，二項式的系數(shù)與a、b的取值無關。但利用a、b的不同取值，卻可算出各系數(shù)。

令a=1,2,3,···,n+1；b≡1，則①式可寫成如下形式：

該行列式顯然不為0，故可唯一地解出c0，c1…cn諸系數(shù)。

該法利用了①式，而①式可由(a+b)n的定義直接導出。它就完全脫離了楊輝(Pascal)三角系統(tǒng)，一目了然，成為一個新法。

五、例題

N=7時，求二項式的各系數(shù)。

當n=7時，有4個邊界條件已知，即1、7和7、1，又有對稱性，故僅由兩個方程式即可求得?，F(xiàn)選擇n=7的前兩個方程：

c0+c1+c2+c3+c4+c5+c6+c7=27

27c0+26c1+25c2+24c3+23c4+22c5+2c6+c7=37

去掉邊值，利用對稱性有：

c2+c3=56

3c2+2c3=133

∴c2=21

c3=35

故其解為：1，7，21，35，35，21，7，1。

這同楊輝(Pascal)三角的第七級是一樣的。

六、在某些力學計算中的應用

二項式定理在數(shù)學及其他領域中多有應用。本文在結構力學中進行了初步探索，其方法如下。

一個由等腰對稱三角形組成的剛架，頂點受垂直單位荷載壓力，計算各層的壓力分布。頂點將單位垂直壓力一分為二的向下傳遞，類似楊輝(Pascal)三角法的傳播規(guī)律，如圖2所示。提出各層的分母后，留下的分子即為楊輝(Pascal)三角，見圖3。單位荷載在各層的分布可視為擴散系數(shù)，擴散系數(shù)乘實際頂點壓力即為各層所受壓力。如實際頂點垂直壓力為500噸，在第五層的分布為：

它們之和為500噸。

圖2

圖3(提出分母，即為楊輝(Pascal)三角)

七、結論

本文提供了多種形式的有關二項式系數(shù)的計算方法。從本文看，前三種方法大同小異，系數(shù)遞推比較簡便、快捷、易記，是它的一大特點。當n相當大時，可由線性方程第一分支進行初步檢查，如不滿足，一定計算有誤。它只是必要條件。對于重要的計算，也可代入線性方程組，看是否都滿足，如都能滿足，則計算是成功的。

線性方程組法在現(xiàn)代電子計算機技術如此發(fā)達時代解大型方程組不成問題，況且邊界點有四個已知，利用對稱性再減去一半的工作量。所以也有實用價值。該法的意義是脫離了傳統(tǒng)方法，另成一種簡單明了的方法。上述應用的例子，只是結構力學的一個單元，如何應用于真實結構，將另文探討。

[1]華羅庚.從楊輝三角談起[M].北京：人民教育出版社，1964.

Brief Review on Calculation of Coefficient of Binomial (a+b)n

ZHANG Qing-juan1, PAN Dong-hai1, ZHANG Yi-ping2, YANG Fan3

(1.RecycledWaterNorthSurveyDesignResearchCo.,LTD,Tianjin, 300222;2.TianjinXinhuaStaffUniversity,Tianjin, 300052;3.TianjinCityVocationalCollege,Tianjin, 300250)

the papers discusses four methods to calculate the coefficient of binomial (a+b)n. An example applied in structural mechanics is also cited. The four methods are Pascal triangle method, binomial theorem, coefficient recursion method and system of linear equations. The last method - system of linear equations has broken away from the Pascal triangle method and developed to be a new method, simple and easy to use. It is also the first time to attempt to apply the four methods in structural mechanics.

Pascal triangle method; binomial theorem; coefficient recursion method; system of linear equations

2014-09-12

張青娟(1963-)，女，陜西人，中水北方勘測設計研究有限責任公司高級工程師，主要從事計算機應用方面研究。

O13

A

1673-582X(2015)02-0089-04