改進(jìn)的變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法

劉小東，黃洪瓊

(上海海事大學(xué)信息工程學(xué)院，上海201306)

0 引言

最小均方誤差 (LMS)算法由Widrow和Hoff提出，隨著理論的推廣及深入，自適濾波技術(shù)廣泛應(yīng)用于自動(dòng)控制、雷達(dá)通信、系統(tǒng)辨識(shí)等智能信息處理領(lǐng)域 (見(jiàn)圖1)。

圖1 自適應(yīng)濾波系統(tǒng)Fig.1 Adaptive filtering system

LMS算法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算量不大，易實(shí)現(xiàn)，只需知道自適應(yīng)線(xiàn)性組合器每次迭代運(yùn)算組合的輸入激勵(lì)及參考響應(yīng)，那么選用自適應(yīng)LMS算法將很適合。LMS算法的主要缺陷是收斂速度、時(shí)變系統(tǒng)跟蹤速度與穩(wěn)態(tài)誤差方面的矛盾得不到很好的解決。針對(duì)這一缺點(diǎn)，人們提出很多改進(jìn)的LMS算法，而變步長(zhǎng) LMS算法［1－9］是目前應(yīng)用最廣泛的一類(lèi)算法，這些算法的區(qū)別在于變步長(zhǎng)的改變機(jī)制不同。

基于變步長(zhǎng)的調(diào)整機(jī)制［1］，有的提出一種時(shí)間平均估值梯度的自適應(yīng)濾波算法［2］，有的提出一種變步長(zhǎng)歸一化的自適應(yīng)濾波算法［3］，又有基于估值誤差大小來(lái)調(diào)整步長(zhǎng)因子的自適應(yīng)濾波算法［4］。文獻(xiàn)［5］提出迭代次數(shù)與步長(zhǎng)成反比的自適應(yīng)濾波算法，該算法能得到較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)，但不具備時(shí)變跟蹤能力。文獻(xiàn) ［1］提出了變步長(zhǎng)調(diào)整規(guī)則的自適應(yīng)濾波算法 (SVSLMS)，即系統(tǒng)初始階段或未知系統(tǒng)時(shí)變階段步長(zhǎng)較大，使算法有較快的收斂速度，隨著收斂速率的不斷深入，逐漸更新步長(zhǎng)使其減小以達(dá)到較小的穩(wěn)態(tài)偏差。然而，SVSLMS算法在誤差接近零處變化時(shí)，不具有緩慢變化的特征，使得SVSLMS算法在穩(wěn)態(tài)時(shí)仍有較大的步長(zhǎng)變化。為此，文獻(xiàn)［6］提出了改進(jìn)的SVSLMS算法，使其在穩(wěn)態(tài)時(shí)步長(zhǎng)因子μ較小，但仍然未較好的改善SVSLMS算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)偏差等性能指標(biāo)［10－11］。收斂速度，時(shí)變跟蹤速度及穩(wěn)態(tài)誤差是評(píng)判LMS自適應(yīng)濾波算法優(yōu)劣的重要技術(shù)指標(biāo)。如何有效的設(shè)計(jì)步長(zhǎng)因子μ(n)與e(n)的映射函數(shù)關(guān)系，是解決算法收斂速率、時(shí)變系統(tǒng)跟蹤能力與穩(wěn)態(tài)誤差矛盾之間的關(guān)鍵技術(shù)。

1 新的變步長(zhǎng)LMS濾波算法

根據(jù)文獻(xiàn)［1］提出的變步長(zhǎng)指導(dǎo)調(diào)整規(guī)則，本文給出一種變步長(zhǎng)調(diào)整自適應(yīng)濾波算法的通式，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真求解最佳指數(shù)因子。

式中:W(n)=［w(n)，w(n－1)，w(n－2)，…，w(n－L+1)］T為自適應(yīng)濾波器在時(shí)刻 n的權(quán)重矢量;X(n)為輸入激勵(lì)矢量;d(n)為期望響應(yīng)值;v(n)為干擾噪聲;e(n)為誤差噪聲;L為濾波器的階數(shù);μ(n)為步長(zhǎng)因子，它控制著算法的穩(wěn)定性和收斂速度;α為控制關(guān)于e(n)是u(n)的函數(shù)形狀的常數(shù);β為控制步長(zhǎng)因子取值范圍的參數(shù)(0＜β＜1/λmax)。最佳的α和β由實(shí)驗(yàn)仿真獲得，當(dāng)然α和β的選取在滿(mǎn)足LMS算法收斂的前提下，收斂的條件是步長(zhǎng)因子μ(n)不超過(guò)輸入激勵(lì)矢量自相關(guān)矩陣特征值的最大值λmax。

圖2 為β=0.2，α=50，m=1，2，3，4，6時(shí)，式(2)步長(zhǎng)因子u(n)關(guān)于誤差e(n)的函數(shù)曲線(xiàn)簇。當(dāng)m=1時(shí)，即為文獻(xiàn)［1］提出的 u(n)是 e(n)的Sigmoid函數(shù)，當(dāng)誤差e(n)在零附近處變化時(shí)，此時(shí)算法已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，u(n)波動(dòng)較大，不具有緩慢變化的特性;當(dāng)m=2時(shí)，即為文獻(xiàn)［6］提出改進(jìn)的SVSLMS算法，當(dāng)算法達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，仍未較好改善文獻(xiàn)［1］中u(n)緩慢變化的特性;當(dāng)m=3時(shí)，在算法的初始收斂階段和跟蹤階段，u(n)隨e(n)的增大而自動(dòng)增大，在e(n)接近0時(shí)或?qū)⑦_(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，u(n)仍然具有緩慢變化的特性;當(dāng)m=2時(shí)，曲線(xiàn)的底部形態(tài)比m=3的曲線(xiàn)底部形態(tài)凸起，說(shuō)明誤差e(n)在接近零處變化時(shí)，此時(shí)算法已達(dá)到或?qū)⒁_(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，u(n)仍然變化較大，此時(shí)意味著m=2并不是最優(yōu)的指數(shù)緩慢變化因子;當(dāng)m=4和m=6時(shí)，雖說(shuō)曲線(xiàn)底部的變化更加平緩，但在誤差e(n)還未到達(dá)穩(wěn)態(tài)或還未接近零處變化時(shí)，步長(zhǎng)因子u(n)早已歸0，這將促使更大的穩(wěn)態(tài)偏差。

圖2 m=1，2，3，4，6時(shí)，誤差與步長(zhǎng)的關(guān)系曲線(xiàn)Fig.2 m=1，2，3，4，6，the error curve with step size

2 確定指數(shù)因子

另外，在未確定最優(yōu)的指數(shù)緩慢變化因子前，在多次試驗(yàn)基礎(chǔ)上選取2～3之間具有代表性數(shù)據(jù)m=2.5，2.75，3來(lái)分析所對(duì)應(yīng)算法的穩(wěn)態(tài)性能(系統(tǒng)收斂的前提下，0＜μ＜λmax，λmax是輸入激勵(lì)矢量自相關(guān)矩陣的最大特征值)。理論分析和計(jì)算機(jī)試驗(yàn)仿真結(jié)果表明，m=2.85～3.15之間取值時(shí)，算法技術(shù)指標(biāo)的性能比較好。如圖3所示，在α和β取值一定的情況下，3種曲線(xiàn)底部特性的平緩度是不同的，m=2比m=2.75凸起，m=2.75比m=3凸起，這就說(shuō)明在e(n)接近0處時(shí)，m=3曲線(xiàn)的底部比m=2.75和m=2的曲線(xiàn)的底部更具備遲緩變化的特征。在本文中取m=3時(shí)，具有最優(yōu)指數(shù)緩慢變化因子特征。

圖3 m=2，2.75，3曲線(xiàn)形態(tài)比較Fig.3 m=2，2.75，3 curve shape comparison

在相同實(shí)驗(yàn)條件下，3種算法的收斂速度相當(dāng)，如圖4所示。但就算法穩(wěn)態(tài)失調(diào)相比，m=3所對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤調(diào)噪聲最小。這是因?yàn)樵趍=3對(duì)應(yīng)的算法中，很小的e(n)對(duì)應(yīng)很小的u(n)，在m=2和m=2.75對(duì)應(yīng)的算法中很小的e(n)則對(duì)應(yīng)很大的u(n)，所以m=3對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差噪聲要比m=2.75和m=2所對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差噪聲小，這一點(diǎn)在圖4的仿真實(shí)驗(yàn)中得到驗(yàn)證。

分析至此，本文最優(yōu)的指數(shù)緩慢變化因子取m=3，得出最佳變步長(zhǎng)公式為:

圖4 m=2，2.75，3曲線(xiàn)的穩(wěn)態(tài)誤差比較Fig.4 m=2，2.75，3 comparison of steady-state error curve

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

采用與文獻(xiàn)［1］相同的實(shí)驗(yàn)條件:

1)采用2階的自適應(yīng)濾波器;

2)已知W*=［0.8，0.5］T為未知系統(tǒng)FIR的系數(shù)，在第500個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)刻，時(shí)變系統(tǒng)發(fā)生突變，F(xiàn)IR權(quán)矢量系數(shù)變成W*=［0.4，0.2］T;

3)x(n)是方差為1，均值為0的高斯白噪聲;

4)v(n)是方差為0.04，均值為0的高斯白噪聲，且與x(n)不相關(guān);

為得出每條實(shí)驗(yàn)仿真曲線(xiàn)，獨(dú)立進(jìn)行200次實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)采樣點(diǎn)數(shù)均為1 000。然后求取統(tǒng)計(jì)平均，得出平均學(xué)習(xí)曲線(xiàn)。

圖5是α=500固定，β變化時(shí)算法的收斂曲線(xiàn)，β值分別取0.01，0.03，0.06，0.2，隨著β的增大(當(dāng)然在滿(mǎn)足算法收斂的前提下0＜β＜1/λmax)，算法的收斂速度逐漸提高，當(dāng)β增到一定限度時(shí)，收斂速率不再提升，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，最佳β取值0.2。

圖5 α=500，β變化的曲線(xiàn)Fig.5 α =500，βcurve changes

圖6是β=0.2固定，α值變化的算法收斂曲線(xiàn)，α值分別取1，10，100，10 000，算法的收斂曲線(xiàn)，同理α增大到一定程度，算法收斂速度不再增加，本實(shí)驗(yàn)條件下最優(yōu)的α值為10 000。

圖6 β=0.2，α變化的曲線(xiàn)Fig.6 β=0.2，αcurve changes

通過(guò)獲取最佳的指數(shù)因子m及最優(yōu)的控制參數(shù)α和β之后，采用文獻(xiàn)［1］相同的實(shí)驗(yàn)條件，實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果如圖7所示，本文算法與SVSLMS算法及文獻(xiàn)［6］中改進(jìn)的SVSLMS算法的對(duì)照，本文算法最佳α =10 000，β=0.2，文獻(xiàn)［1］中SVSLMS算法的最佳參數(shù)α和β分別值取為1.0和1.5。文獻(xiàn)［6］中改進(jìn)的SVSLMS算法的最佳參數(shù)α和β分別取20和0.2。由圖7對(duì)比可看出，本文算法的收斂速度明顯快于SVSLMS算法和文獻(xiàn)［6］改進(jìn)的SVSLMS算法，且在第500個(gè)采樣點(diǎn)未知系統(tǒng)發(fā)生突變時(shí)刻，本文算法的時(shí)變跟蹤能力和穩(wěn)態(tài)失調(diào)比SVSLMS算法和文獻(xiàn)［6］的算法更優(yōu)越，這說(shuō)明本文算法具備更好的收斂速度，系統(tǒng)時(shí)變跟蹤能力，穩(wěn)態(tài)失調(diào)技術(shù)指標(biāo)。

圖7 實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果對(duì)照Fig.7 Simulation results comparison

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)改進(jìn)步長(zhǎng)因子u(n)與誤差信號(hào)e(n)之間的非線(xiàn)性函數(shù)關(guān)系，給出了誤差信號(hào)e(n)的指數(shù)因子變化的通式，經(jīng)試驗(yàn)仿真最佳指數(shù)緩慢變化因子的分析過(guò)程，提出了一種新的變步長(zhǎng)算法。該算法具備初始階段和未知體系時(shí)變階段步長(zhǎng)很大，而算法到達(dá)穩(wěn)態(tài)階段步長(zhǎng)較小的轉(zhuǎn)變，且克服了SVSLMS算法在穩(wěn)態(tài)階段步長(zhǎng)起伏波動(dòng)較大的缺點(diǎn)，提高了算法的魯棒性，同時(shí)比文獻(xiàn)［6］改善的SVSLMS算法具備更快的收斂速率和時(shí)變跟蹤速率。

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