Gassmann方程的應(yīng)用推導(dǎo)

由榮軍 趙正國

（1.中國礦業(yè)大學(xué)銀川學(xué)院 礦業(yè)工程系，寧夏 銀川 750011；

2.神華寧夏煤業(yè)集團(tuán)有限責(zé)任公司煤炭化學(xué)工業(yè)分公司，寧夏 銀川 750411）

Gassmann方程是Gassmann于1951年提出的關(guān)于預(yù)測巖石體積壓縮模量的計(jì)算公式。通過該方程建立了巖石體積壓縮模量、孔隙度孔隙流體的體積壓縮模量、巖石骨架的體積壓縮模量以及造巖礦物的體積壓縮模量之間的關(guān)系。同時(shí)Gassmann方程還推導(dǎo)出含氣飽和巖石的剪切模量和含水飽和巖石的剪切模量基本相同。隨著時(shí)間的推移，Gassmann方程在實(shí)際應(yīng)用中得到了越來越廣泛的應(yīng)用。從80年代中期開始，隨著橫波勘探的和AVO技術(shù)的發(fā)展，以及縱波勘探的技術(shù)不斷進(jìn)步，特別是對地下真振幅的恢復(fù)，這使利用地震信息直接勘探油氣和區(qū)分地下巖性提供了有效的技術(shù)支持，極大地促進(jìn)了巖石彈性物理研究的進(jìn)步，同時(shí)也為利用不同的地震信息區(qū)分巖性直接勘探油氣提供了基礎(chǔ)。

1 Gassmann方程的推導(dǎo)

在推導(dǎo)過程中，其樣品的模型為一塊有一定孔隙度的巖石，體積為V，含有流體的體積為Vf，孔隙度φ定義為：

該巖石樣品在宏觀上是各向同性，在微觀上是各向異性的。其宏觀上的各向同性是指孔隙的大小遠(yuǎn)小于地震波的波長。因此，在地震波擾動(dòng)的半個(gè)周期內(nèi)，子啊孔隙流體和包圍孔隙的巖石骨架構(gòu)成的小體積元上，地震波擾動(dòng)施加的應(yīng)力能夠從初始狀態(tài)達(dá)到新的平衡狀態(tài)。而巖石的微觀各向異性是指巖石總是有孔隙的，從而造成了巖石在各個(gè)方向上受應(yīng)力應(yīng)變后，得到的結(jié)果也相應(yīng)不同。

假設(shè)巖石樣品的孔隙是彼此連通的，因此，在開放的環(huán)境下，巖石在收到不平衡的應(yīng)力作用時(shí)孔隙中的流體是可以流動(dòng)的，同樣也可以通過巖石樣品表面的孔隙排除巖石。佳冬地震波的擾動(dòng)足夠小，滿足胡克定律的適用條件。即上述要求的假定要與實(shí)際勘探的對象的條件要相符。

現(xiàn)考慮兩種極端情況下的應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系：第一種情況是在開放條件下，由于孔隙中的流體能夠流動(dòng)和被排除巖石，此時(shí)應(yīng)力應(yīng)變僅僅作用在巖石骨架上，孔隙流體受到的流體靜壓力保持不變；第二種情況是在封閉的環(huán)境下，孔隙流體不能隨便流動(dòng)，應(yīng)力變化同時(shí)作用在孔隙流體和巖石骨架上，此時(shí)的有效力等于圍壓與孔隙壓強(qiáng)之差。第一種情況能夠在實(shí)驗(yàn)室環(huán)境中模擬得到；而第二種情況是地下巖石的真實(shí)狀態(tài)。

在公示推導(dǎo)中，為使用方便，引入以下變量：

x，y，z代表空間直角坐標(biāo)分量；

代表應(yīng)力變化引起的位移；u，v，w是標(biāo)量函數(shù)；i，j，k是單位矢量；

Δei 代表空間線性應(yīng)變分量或角應(yīng)變分量；

κf表示孔隙的體積壓縮模量；

對于采用的巖石樣品，它在彈性極限范圍內(nèi)，廣義胡克定律規(guī)定了應(yīng)力和應(yīng)變的線性關(guān)系，其關(guān)系如下：

圖1 流體計(jì)算模型

由于彈性能量是應(yīng)變的單值函數(shù)，所以有：

同時(shí) Love 證明，對于各向同性介質(zhì)有：

而且，其余的 24 個(gè)系數(shù)全為零；類似的，在封閉條件下：

同樣

表1 模型相關(guān)參數(shù)

表2 空隙流體參數(shù)

在以上各式中：i=1，2，……，6；j=1，2，……，6（下同）

由此可以看出，Gassmann 方程推定開放條件下和封閉條件下的廣義胡克定律規(guī)定的彈性系數(shù)有以下關(guān)系：

其中：

取（9）式的任意一個(gè)Cij并且i = j， i ≤ 3， j ≤ 3，可得：

?。?）式中任意一個(gè)Cij并且4 ≤ i ≤ 6，可得：

由上述兩式并利用體積壓縮模量與拉梅常數(shù)的關(guān)系，可得：

其中：

κ為孔隙流體飽和巖石的體積模量；

κf為孔隙流體的體積模量；

κs為基質(zhì)（顆粒）的體積模量；

κd為骨架的體積模量；

φ為孔隙度。

2 Gassmann方程的應(yīng)用

在 Gassmann 方程的應(yīng)用中，主要是進(jìn)行流體替換模型的試算。其中主要的原理是通過計(jì)算含飽和流體巖石的體積壓縮模量和剪切模量計(jì)算巖石的速度。

利用 Gassmann 方程計(jì)算的κ和μ計(jì)算橫波和縱波速度：

巖石的密度為：

其中：

ρ為巖石的密度；

ρs為巖石骨架的密度；

ρf為巖石孔隙流體的密度。

而流體的壓縮模量是通過 Wood 方程進(jìn)行計(jì)算的：

其中：

κf是流體總的體積壓縮模量；

κf1、κf2、κf3是流體每種流體的體積壓縮模量；

S1、S2、S3分別是其中每種流體的飽和度， 其中：

在本文中采用的計(jì)算模型為：

其他參數(shù)：

孔隙度：PP=0.2，砂巖κs=36.6；

主要的計(jì)算流程為：

（1）計(jì)算初始飽和巖石對應(yīng)的（κs、κf、φ）1；

（2）根據(jù)速度計(jì)算公式計(jì)算初始飽和巖石的（κ、μ）1；

（3）根據(jù) Gassmann 方程反求初始飽和巖石對應(yīng)的（κd、μd）1，并計(jì)算干巖石泊松比δd；

（5）計(jì)算新的飽和巖石對應(yīng)的（κs、κf、φ）2，并通過密度混合公式計(jì)算ρ2；

（7）根據(jù)干巖石泊松比δd和（κd）2計(jì)算（μd）2；

（8）在求得（κd、κs、κf、μd、φ）2的基礎(chǔ)上、利用 Gassmann 方程計(jì)算（κ、μ）2，從而計(jì)算Vp、Vs；

模型計(jì)算結(jié)果如圖2所示。

結(jié)語

本文主要進(jìn)行了Gassmann方程的推導(dǎo)、流體替換模型的計(jì)算。

通過推Gassmann方程的推導(dǎo)，進(jìn)一步加深了對Gassmann方程的認(rèn)識和了解。在Gassmann的推導(dǎo)過程中，首先由廣義胡克定律導(dǎo)出開放條件和封閉條件下的應(yīng)力和應(yīng)變的線性關(guān)系，再由Gassmann推出的開放條件和封閉條件下的彈性系數(shù)關(guān)系導(dǎo)出Gassmann方程。進(jìn)一步了解了Gassmann方程是如何建立起了巖石的體積壓縮模量和巖石骨架，孔隙流體和造巖礦物體積模量及孔隙度的關(guān)系的。

通過流體替換模型的計(jì)算，分別顯示出了巖石孔隙中充填不同流體時(shí)，地震旅行時(shí)和地震反射系數(shù)的變化情況，由上圖可以看出，在巖石含氣時(shí)，巖石速度變化最為敏感，即使少量含氣，也會使縱波速度大大降低。同時(shí)也認(rèn)識到不同流體對地震剖面的影響，以及地震波旅行時(shí)及反射系數(shù)是如何隨著流體的含量變化而變化的。有利于建立對Gassmann 方程的正確認(rèn)識。同時(shí) Gassmann 方程的應(yīng)用很大程度上方便了對油氣的識別，在解釋工作中起著重要的作用。

圖2 流體模型計(jì)算結(jié)果

圖3 砂巖層速度變化曲線

圖4 旅行時(shí)變化曲線

圖5 頂界面反射系數(shù)曲線

圖6 底界面反射系數(shù)曲線

[1]劉小燕.二氧化碳深含水層隔離的二相滲流模擬與巖石物理學(xué)研究[D].中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)申請博士學(xué)位論文，2005.

[2]云美厚.油田注水開采地震監(jiān)測理論研究[J].石油物探，Vo1.363：46-55，1997.

[3]席道瑛，劉斌，謝端，劉衛(wèi)，易良坤，張斌.孔隙流體飽和砂巖的衰減和頻率的相關(guān)性[J].石油地球物理勘探，33（11）：70，1998.

[4]李小春，小出仁，等.二氧化碳地中隔離技術(shù)及其巖石力學(xué)問題[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，22（06）：989-994，2003.