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    K=12、y=15時,盈數(shù)、朒數(shù)的計算過程

    2015-03-11 02:44:20楊文興
    關(guān)鍵詞:祖沖之開方圓周率

    楊文興

    (邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河北 邯鄲 056005)

    ?

    K=12、y=15時,盈數(shù)、朒數(shù)的計算過程

    楊文興

    (邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河北 邯鄲 056005)

    用初等數(shù)學(xué)的知識證明了祖沖之的結(jié)論,詳細(xì)介紹盈數(shù)、朒數(shù)的計算過程。

    圓周率;祖沖之;盈數(shù);朒數(shù)

    筆者的文章《再現(xiàn)肭數(shù)和盈數(shù)》在《邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報》2015年第2期發(fā)表。該文結(jié)論是:只要計算時,在第15位小數(shù)進(jìn)行近似處理就可得到祖沖之的結(jié)論,并且這個計算工作可以通過筆和紙來完成。遺憾的是,當(dāng)時筆者沒有用紙和筆的方法完成這個工作,而是計算機(jī)程序,調(diào)用了計算機(jī)語言里的庫函數(shù)。由于計算機(jī)計算時的截斷誤差以致一組計算結(jié)果不精確,對此感到抱歉。這篇補(bǔ)充就是來彌補(bǔ)這個不足的。它要達(dá)到如下兩個目的:(1)介紹以手,筆,紙為計算工具的計算辦法及過程;(2)絕對精確。歡迎讀者檢驗。

    K=12、y=15時,意味著分圓為6×2^12等份。計算時保留15位小數(shù),并在第15位小數(shù)上作近似處理。在拙文《再現(xiàn)肭數(shù)和盈數(shù)》中已得到的結(jié)論:

    D[1]=3^0.5

    D[i+1]=(2+D[i])^0.5,i是自然數(shù)。

    s[12]=(2-D[12])^0.5

    m[12]=(2×s[12])÷D[13]

    3×212×s[12]

    注意:為了減少篇幅,開方豎式中的,有時列沒有對齊。

    一:盈數(shù)的計算過程

    圓周率Pi<3×2^12×m[12]

    計算s[12]

    s[12]=(2-D[12])^0.5

    開方計算D[i]時,當(dāng)?shù)玫降?5位小數(shù)即停止。

    D[1]=3^0.5

    用筆和紙進(jìn)行的開方豎式如下:

    3.000000000000000000000000000000

    1 1

    200

    189 17

    1100

    1029 173

    7100

    6924 1732

    17600

    00000 17320

    1760000

    1732025 173205

    2797500

    0000000 1732050

    279750000

    277128064 17320508

    262193600

    000000000 173205080

    26219360000

    24248711249 1732050807

    197064875100

    173205080725 17320508075

    2385979437500

    2078460969036 173205080756

    30751846846400

    27712812921024 1732050807568

    303903392537600

    277128129210944 17320508075688

    2677526332665600

    2424871130596369 173205080756887

    25265520206923100

    24248711305964229 1732050807568877

    ∴D[1]>1.732050807568877

    D[2]= (2+D[1])^0.5

    >(2+1.732050807568877)^0.5

    開方豎式如下:

    3.732050807568877000000000000000

    1 1

    273

    261 19

    1220

    1149 193

    7150

    3861 1931

    328980

    309024 19318

    1995675

    1931825 193185

    6385068

    3863701 1931851

    252136787

    231822156 19318516

    2031463170

    1931851625 193185165

    9961154500

    7727406604 1931851652

    223374789600

    193185165225 19318516525

    3018962437500

    2704592313549 193185165257

    31437012395100

    30909626441184 1931851652578

    52738595391600

    38637033051561 19318516525781

    1410156234003900

    1159110991546869 193185165257813

    25104524245703100

    23182219830937596 1931851652578136

    ∴D[2]>1.931851652578136

    D[3]= (2+D[2])^0.5

    >(2+1.931851652578136)^0.5

    開方豎式如下:

    3.931851652578136000000000000000

    1 1

    293

    261 19

    3218

    3104 198

    11451

    7924 1982

    352765

    317184 19828

    3558125

    3172544 198288

    38558178

    35691921 1982889

    286625713

    277604509 19828897

    902120460

    793155884 198288972

    10896457600

    7931558884 1982889722

    296489871600

    277604561129 19828897227

    1888531047100

    1586311778176 198288972274

    30221926892400

    27760456118409 1982889722747

    246147077399100

    237946766729676 19828897227476

    820031066942400

    793155889099044 198288972274762

    2687517784335600

    0000000000000000 1982889722747620

    D[3]>1.982889722747620

    開方豎式篇幅太長,為此,略去一些開方豎式。

    D[4]= (2+D[3])^0.5

    >(2+1.982889722747620)^0.5

    >1.995717846477206

    D[5]= (2+D[4])^0.5

    >(2+1.995717846477206)^0.5

    >1.998929174952731

    D[6]= (2+D[5])^0.5

    >3.998929174952731^0.5

    >1.999732275819123

    D[7]=(2+D[6])^0.5

    >3.999732275819123^0.5

    >1.999933067834802

    D[8]= (2+D[7])^0.5

    >3.999933067834802^0.5

    >1.999983266888701

    D[9]= (2+D[8])^0.5

    >3.999983266888701^0.5

    >1.999995816717800

    D[10]= (2+D[9])^0.5

    >3.9999958167178^0.5

    >1.999998954179176

    D[11]= (2+D[10])^0.5

    >3.999998954179176^0.5

    > 1.999999738544776

    D[12]= (2+D[11])^0.5

    >(2+1.999999738544776)^0.5

    開方豎式如下:

    3.999999738544776000000000000000

    1 1

    299

    261 19

    3899

    3501 199

    39899

    35901 1999

    399873

    359901 19999

    3997285

    3599901 199999

    39738444

    35999901 1999999

    373854377

    359999901 19999999

    1385447660

    1199999949 199999993

    18544771100

    15999999456 1999999934

    254477164400

    239999992116 19999999346

    1447717228400

    1199999960769 199999993463

    24771726763100

    23999999215596 1999999934636

    77172754750400

    39999998692721 19999999346361

    3717275605767900

    3599999882345061 199999993463619

    11727572342283900

    7999999738544764 1999999934636192

    D[12]>1.999999934636192

    D[13]= (2+D[12])^0.5

    > (2+1.999999934636192)^0.5

    開方豎式如下:

    3.999999934636192000000000000000

    1 1

    299

    261 19

    3899

    3501 199

    39899

    35901 1999

    399893

    359901 19999

    3999246

    3599901 199999

    39934536

    35999901 1999999

    393463519

    359999901 19999999

    3346361820

    3199999904 199999998

    14636191600

    11999999889 1999999983

    263619171100

    239999997996 19999999836

    2361917310400

    1999999983625 199999998365

    36191732677500

    35999999705781 1999999983659

    19173297171900

    00000000000000 19999999836590

    1917329717190000

    1599999986927216 199999998365904

    31732973026278400

    27999999771226609 1999999983659047

    D[13]>1.999999983659047

    s[12]=(2-D[12])^0.5

    <(2-1.999999934636192)^0.5

    = 0.0000000653638079999999999999910^0.5

    開方豎式如下:

    0.0000000653638079999999999999910

    0 0

    00

    00 00

    000

    000 000

    0000

    0000 0000

    00006

    00004 00002

    000253

    000225 000025

    0002863

    0002525 0000255

    00033880

    00030636 00002556

    000324479

    000306756 000025566

    0001772399

    0001533969 0000255663

    00023843099

    00020453056 00002556634

    000339004399

    000306796116 000025566346

    0003220828399

    0003067961556 0000255663466

    00015286684399

    00010226538644 00002556634662

    000506014575599

    000460194239241 000025566346629

    00045820336358910

    0004090615460704 0000255663466298

    開方計算已到第15位小數(shù),得0.000255663466298,停止開方計算。然后在第15位小數(shù)上加1,得0.000255663466299。有下面不等式成立。

    S[12]<0.000255663466299

    3×212×s[12]=s[12]×3×212

    <0.000255663466299×3×212

    =0.000255663466299×12288

    0002045307730392

    0020453077303920

    0051132693259800

    0511326932598000

    +2556634662990000

    3141592673882112

    ∴3×212×s[12]<3.141592673882112

    3×212×m[12]

    =3×212× (2×s[12]÷D[13])

    = 2×(3×212× s[12])÷D[13]

    <2×3.141592673882112÷D[13]

    =6.283185347764224÷D[13]

    <6.283185347764224÷1.999999983659047

    6283185347764224 商

    -5999999950977141 3

    2831853967870830

    -1999999983659047 1

    8318539842117830

    -7999999934636188 4

    3185399074816420

    -1999999983659047 1

    11853990911573730

    -9999999918295235 5

    18539909932784950

    -17999999852931423 9

    5399100798535270

    -3999999967318094 2

    13991008312171760

    -11999999901954282 6

    19910084102174780

    -17999999852931423 9

    19100842492433570

    -17999999852931423 9

    11008426395021470

    -9999999918295235 5

    10084264767262350

    -9999999918295235 5

    0842648489671150

    0000000000000000 0

    8426484896711500

    -7999999934636188 4

    4264849620753120

    -3999999967318094 2

    2648496534350260

    -1999999983659047 1

    除法計算已到第15位小數(shù),停止除法計算。然后在第15位小數(shù)上加1。有下面不等式成立。

    ∴ 3×212×m[12]<3.141592699550422

    ∵Pi<3×212×m[12]

    ∴Pi<3.141592699550422

    <3.1415927(盈數(shù))

    二:朒數(shù)的計算過程。

    3×212×s[12]

    D[1]=3^0.5

    D[i+1]=(2+D[i])^0.5,i是自然數(shù)。

    s[12]=(2-D[12])^0.5

    計算D[i],i=1,2,…12。

    開方計算D[i]時,當(dāng)?shù)玫降?5位小數(shù)即停止。并在第十五位小數(shù)上加1??傻靡唤M近似值。

    開方豎式略。

    D[1]=3^0.5

    D[1]<1.732050807568878

    D[2]=(2+D[1])^0.5

    <(2+1.732050807568878)^0.5

    <1.931851652578137

    D[3]=(2+D[2])^0.5

    <(2+1.931851652578137)^0.5

    <1.982889722747621

    D[4]=(2+D[3])^0.5

    <(2+1.982889722747621)^0.5

    <1.995717846477208

    D[5]=(2+D[4])^0.5

    <(2+1.995717846477208)^0.5

    <1.998929174952732

    D[6]=(2+D[5])^0.5

    <(2+1.998929174952732)^0.5

    <1.999732275819124

    D[7]=(2+D[6])^0.5

    <(2+1.999732275819124)^0.5

    <1.999933067834803

    D[8]=(2+D[7])^0.5

    <(2+1.999933067834803)^0.5

    <1.999983266888702

    D[9]=(2+D[8])^0.5

    <(2+1.999983266888702)^0.5

    <1.999995816717801

    D[10]=(2+D[9])^0.5

    <(2+1.999995816717801)^0.5

    <1.999998954179177

    D[11]=(2+D[10])^0.5

    <(2+1.999998954179177)^0.5

    <1.999999738544778

    D[12]=(2+D[11])^0.5

    <(2+1.999999738544778)^0.5

    <1.999999934636194

    s[12]=(2-D[12])^0.5

    >(2-1.999999934636194)^0.5

    =0.000000065363806^0.5

    >0.000255663462387 (開方計算已到第 15位小數(shù),停止開方計算。)

    3×212×s[12]

    >0.000255663462387×(3×212)=0.000255663462387×12288

    =3.141592625811456

    ∵Pi >3×212×s[12]

    ∴Pi>3.141592625811456

    >3.1415926(朒數(shù))

    以上就是當(dāng)K= 12,y= 15時盈數(shù)、朒數(shù)的全部計算過程。

    與上一篇文章一起,筆者證明了祖沖之的結(jié)論。證明過程涉及一點(diǎn)幾何及近似計算知識,都屬初等數(shù)學(xué)知識。再由于筆者所用方法和所得結(jié)果與史書一些記載資料相吻合,因此筆者認(rèn)為,祖沖之的結(jié)論是其證明出來的,并且他把證明的方法藏在了結(jié)果里。

    和上一篇一樣,冒昧獻(xiàn)丑,方法繁瑣笨重,不得要領(lǐng)。歡迎批評指正。

    這篇文章結(jié)束了。借此機(jī)會筆者要對文章《再現(xiàn)肭數(shù)和盈數(shù)》作一點(diǎn)補(bǔ)充。

    結(jié)論:圓的周長介于其內(nèi)接和外切正多邊形之間。

    證明:

    圓心o,AB是內(nèi)接

    正多邊形的一條邊,

    CD是外切正多邊形

    的一條邊。F是切點(diǎn)。

    AE=BE,CF=DF

    AB∥CD

    記扇形OAFB的面積為s,圓弧段AB的長度為t,圓的半徑為R

    t>AB (兩點(diǎn)間線段最短)

    s1=0.5×CD×OF

    =0.5×CD×R

    s=0.5×t×R

    s1>s

    ∴CD>t

    ∴ AB

    證畢。

    [1] 楊文興.再現(xiàn)朒數(shù)和盈數(shù)[J].邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2015,(2)

    [2] 華羅庚.從祖沖之的圓周率談起[M].北京:科學(xué)出版社,2002

    [3] 王海坤,葛麗.祖沖之是怎樣計算圓周率的[J].數(shù)學(xué)通訊, 2013,(4)

    [4] 曲安京.祖沖之是怎樣得到圓周率π=355/113的[J].自然辯證法通訊,2002,(3)

    [5] 王青建.祖沖之的影響與現(xiàn)代數(shù)學(xué)史教育[J]數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2001,(5)

    [責(zé)任編校:張彩紅]

    更正聲明

    文章《再現(xiàn)朒數(shù)和盈數(shù)》(見《邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報》2015第2期)近末尾處,

    關(guān)于不同情況下圓周率的估計計算部分,結(jié)果不正確。正確的結(jié)果如下:

    K= 11 yx= 14時

    C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 0 1 7 6 3 8 4

    A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 7 6 4 5 8 6 8 4

    K= 11 yx= 15時

    C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 1 3 7 9 9 9 3 6

    A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 7 2 8 4 9 6 9 7 6

    K= 11 yx= 16時

    C(pi)=3 1 4 1 5 9 2 6 1 9 2 0 9 7 2 8 0

    A(pi)=3 1 4 1 5 9 2 7 2 2 4 8 3 8 4 1 3

    K= 11 yx= 17時

    C(pi)=3 1 4 1 5 9 2 6 1 9 3 2 9 9 0 4 6 4

    A(pi)=3 1 4 1 5 9 2 7 2 2 0 6 3 2 8 4 2 9

    K= 11 yx= 18時

    C(pi)= 3 1 4 1 5 9 2 6 1 9 3 5 9 9 5 4 9 4 4

    A(pi)= 3 1 4 1 5 9 2 7 2 2 0 3 9 1 9 9 7 8 4

    ***********************************

    K= 12 yx= 14時

    C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 4 8 1 5 8 7 2 0

    A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 7 4 7 7 3 1 6 9

    K= 12 yx= 15時

    C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 2 5 8 1 1 4 5 6

    A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 9 9 5 5 0 4 2 2

    K= 12 yx= 16時

    C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 4 2 6 3 9 8 7 2 0

    A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 7 3 1 1 5 2 4 4 9

    K= 12 yx= 17時

    C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 4 4 8 0 3 2 9 7 2 8

    A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 7 0 9 5 2 4 3 3 8 8

    K= 12 yx= 18時

    C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 4 5 0 1 9 6 8 8 9 6 0

    A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 7 0 7 1 2 0 3 1 4 4 0

    楊文興

    2015-12-12

    楊文興,男,河北邢臺人,邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授。

    O112

    A

    1009-5462(2015)04-0035-11

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