特殊化：解決數(shù)學問題的突破口

陳敏　吳寶瑩

所謂特殊化通常指考慮一般性命題的特殊例子.即把研究對象從原有范圍縮小到較小范圍或個別情形，甚至是極端情形來考察和探究解題思路的方法稱之為特殊化方法.運用特殊化方法，一般需遵循以下原則：若命題在一般條件下成立，則它必在特殊條件下也成立.

在做客觀題（選擇題、填空題）時，若一般的方法很難解決，在不要求嚴格邏輯推理的情況下，運用特殊化的方法往往很奏效，這一點我們感受頗多.但在解答題中既要解決問題，又要有嚴格的邏輯思維，如何運用特殊化的方法？

1用特殊化的方法由特殊探一般

依據(jù)“普遍性存在于特殊性之中”的普遍規(guī)律，一般性的數(shù)學問題不易解決時，常將它化為特殊情形來處理.設(shè)法利用數(shù)學問題中可變元素的特殊值、特殊位置等來探求解題途徑與方向，從特殊情形的觀察中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，進而猜想可能得出的一般性結(jié)論，并加以理論證明，以使問題獲解.

1.1取初始特殊值，猜想或推廣到一般性結(jié)論

例1平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條都不平行，任何三條不過同一點，求這n條直線的交點個數(shù).

分析以特殊情形探求思路，設(shè)平面內(nèi)n條直線的交點個數(shù)為f（n）.根據(jù)題設(shè)條件，求得當n=2、3、4、時，f（n）分別為f（3）=3=3（3-1）2，f（4）=6=4（4-1）2，于是可建立猜想f（n）=n（n-1）2，用數(shù)字歸納法可證得結(jié)論成立（證明過程從略）

1.2取特殊位置試探一般意義下的定值

解析幾何定值（點）問題中，由于定值（點）沒有直接給出，使得這類問題的解決要比一般問題困難得多，有時竟會束手無策.通過用特殊化方法探求定值（點），能使這類問題的解法變得簡捷、明快.

例2（2012年江蘇高考第19題）

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）.已知（1，e）和e，32都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率.

圖1（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P.

（?。┤鬉F1-BF2=62，求直線AF1的斜率；

（ⅱ）求證：PF1+PF2是定值.

解析（1）橢圓的方程為x22+y2=1；（2）問中的（ⅰ），通過設(shè)直線AF1的方程為x=my-1，直線BF2的方程為x=my+1，分別和橢圓方程聯(lián)立，利用求根公式解出A點、B點坐標，再利用兩點之間的距離公式求出AF1=（x1+1）2+y21=（my1）2+y21=2（m2+1）+mm2+1m2+2，BF2=2（m2+1）-mm2+1m2+2，代入條件進而求解m=22.以上問題比較簡單，一般學生容易解決，難度較大的是第（2）問中的（ⅱ），如果按照常規(guī)思路通過求出AF2和BF1的直線方程，求出交點P的坐標，代入PF1+PF2求解，圖2解答將相當繁瑣，但考慮到直線AF1與直線BF2平行，且要證明PF1+PF2是定值，我們不妨使問題特殊化——讓直線AF1與直線BF2均垂直于x軸，如圖2，易知此時P（0，24），進而探求到定值為322.這是特殊化的功勞，這個定值是指引我們思維發(fā)展的一盞明燈！為構(gòu)建解題思路指明了方向，并可及時糾正調(diào)整解題過程的錯誤，從而提高解題的準確率.心中吃了定心丸，再考慮一般情況.

因為直線AF1與BF2平行，所以PBPF1=BF2AF1，由分數(shù)的合分比性質(zhì)得PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1，故PF1=AF1AF1+BF2BF1，因為BF1+BF2=22，AF1+AF2=22，所以PF1=AF1AF1+BF2（22-BF2），同理PF2=BF2AF1+BF2（22-AF1），故PF1+PF2=AF1AF1+BF2（22-BF2）+BF2AF1+BF2（22-AF1）=22-2AF1·BF2AF1+BF2.

又由（?。┲狝F1+BF2=22（m2+1）m2+2，AF1·BF2=m2+1m2+2，所以PF1+PF2=22-22=322.因此PF1+PF2是定值.

說明一些數(shù)值恒定、位置恒定的問題，往往可以先由特殊值、特殊位置找到結(jié)論，后面解題目標以及解題方向就明確了.

2用特殊化的方法以有限探無限

有些數(shù)學問題如果用常規(guī)方法，有時經(jīng)過十分繁瑣的運算或論證也無法求出結(jié)果.但通過用舉反例或取特殊值等特殊方法便可直觀地得出一般性命題的判定，以有限探無限.

例3求證：質(zhì)數(shù)有無窮多個.

證明假設(shè)質(zhì)數(shù)只有有限個，設(shè)為p1，p2，p3，…，pn共n個，若能在這n個質(zhì)數(shù)之外再找到一個新質(zhì)數(shù)（僅需找一個），就否定了只有n個質(zhì)數(shù)的假設(shè).設(shè)p=p1+p2+…+pn+1是不同于pi的數(shù)（i=1，2，3，…，n），下面對p進行討論：

（1）當p為質(zhì)數(shù)時，由于它不同于pi，這與假設(shè)矛盾，

（2）當P為合數(shù)時，它的質(zhì)約數(shù)不能是pi中的任何一個，也就是說，還有不同于pi（i=1，2，3，…，n）的質(zhì)數(shù)，這也與假設(shè)矛盾，從而證明質(zhì)數(shù)有無限多個.

3用特殊化的方法破解分類討論

分類討論是解決數(shù)學問題重要的思想方法，需根據(jù)所研究對象的性質(zhì)差異，區(qū)分不同情況予以解決.高考試題中既有靈活多變的客觀題，又有能力要求較高的主觀題，要求學生要有清晰的邏輯思維.分類討論的關(guān)鍵是準確找到分類標準，參數(shù)分類的情況越少，討論的范圍越小越好.抓住分類前研究對象的特征，從簡單的特殊的情況入手，可以較快較準確地找到分類標準，縮小討論的范圍，從而降低分類討論的難度.

3.1取特殊范圍找到分類的標準

例4已知函數(shù)f（x）=x+sinx，求實數(shù)a的取值范圍，使不等式f（x）≥axcosx在[0，π2]上恒成立.

分析考慮到x∈[0，π2]時，x、sinx、cosx均大于0，所以首先討論a≤0這一簡單的特殊的范圍，此時顯然f（x）=x+sinx≥axcosx恒成立；再討論a>0的情況，令g（x）=x+sinx-axcosx，則g′（x）=1+axsinx+（1-a）cosx，其中1+axsinx>0，cosx>0，故當1-a≥0即00，g（x）在[0，π2]上單調(diào)遞增，所以g（x）≥g（0）=0，符合題意.討論了簡單的特殊的情況后，接下來很自然地討論a>1的情況.設(shè)h（x）=g′（x）=1+axsinx+（1-a）cosx，則h′（x）=（2a-1）sinx+axcosx，因為a>1，所以h′（x）≥0，從而h（x）在在[0，π2]上單調(diào)遞增，h（0）≤h（x）≤h（π2），2-a≤h（x）≤π2a+1，即2-a≤g′（x）≤π2a+1，因為a>1，π2a+1>0所以要討論g′（x）的正負就要討論2-a的正負，所以a>1又要細分為12.

簡解

（1）當a≤0時，顯然f（x）=x+sinx≥axcosx在[0，π2]上恒成立；

（2）當a>0時，令g（x）=x+sinx-axcosx，則g′（x）=1+axsinx+（1-a）cosx，

①當00，g（x）在[0，π2]上單調(diào)遞增，所以g（x）≥g（0）=0，符合題意.

②當a>1時，2-a≤g′（x）≤π2a+1.

（?。┊?

（ⅱ）當a>2時，x0∈[0，π2]，當x∈[0，x0]時，g′（x）<0，g（x）在[0，x0]上單調(diào)遞減，此時g（x）≤g（0）=0，不滿足題意.

綜上，所求實數(shù)a的取值范圍是a≤2

說明這里第一層a≤0與a>0的分類標準，第二層01的分類標準以及第三層12的分類標準都抓住了分類前研究對象的特征，從簡單的特殊的范圍入手討論，找到相應的分類標準，使得分類討論層次分明、邏輯清晰.

3.2取特殊值縮小討論的范圍

例5已知函數(shù)f（x）=a2lnx-x2+ax，（a>0），求所有的實數(shù)a，使得e-1≤f（x）≤e2對于任意的x∈[1，e]恒成立.

解析由題意知e-1≤f（x）min，

e2≥f（x）max，要求函數(shù)f（x）的最值，這里就要研究函數(shù)圖象的單調(diào)性.f′（x）=a2x-2x+a=-（x-a）（2x+a）x，因為a>0，x>0，所以當x∈（0，a）時，f′（x）>0時，f（x）單調(diào)遞增；x∈（a，+∞）時，f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減.由于既要考慮f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值，又要考慮其最小值，一般要分以下三種情況討論：

（1）當a≥e時，f（x）在[1，e]單調(diào)遞增，所以e-1≤f（1），

e2≥f（e），解得a=e；

（2）當1

e-1≤f（e），

e2≥f（a），解得a∈；

（3）當0

e2≥f（1），解得a∈.

綜上a=e

事實上，由于e-1≤f（x）≤e2對于任意的x∈[1，e]恒成立，我們可以特殊化處理，取特殊值x=1時，e-1≤f（1）≤e2，即e-1≤a-1≤e2，e≤a≤e2+1，故只要討論第一種情況，從而很快得到a=e.

4用特殊化的方法提升思維品質(zhì)

如果說用特殊化的方法解決客觀題邏輯思維要求不嚴格，那么在解決主觀性問題當我們一籌莫展時，特殊化的方法也許會突破思維的瓶頸，使解題思維“起死回生”，某些情況下特殊化的方法反而能加強思維的嚴謹性，提升思維品質(zhì).

4.1取邊界值突破思維的瓶頸

例6（2014年江蘇高考第19題）

已知函數(shù)f（x）=ex+e-x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）證明：f（x）是R上的偶函數(shù)；

（2）若關(guān)于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；

（3）已知正數(shù)a滿足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）

分析關(guān)于（3），在明確f（x）=ex+e-x與h（x）=a（-x3+3x）的單調(diào)性的基礎(chǔ)上，關(guān)鍵在于結(jié)合題意，理解題設(shè)條件“存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）12e+1e.從而突破思維的瓶頸！再結(jié)合函數(shù)思想方法就可以使問題得到解決.

解析（3）f′（x）=ex-e-x，當x>1時，f′（x）>0，所以f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

令h（x）=a（-x3+3x），h′（x）=-3ax（x2-1），因為a>0，x>1，所以h′（x）<0，即h（x）在x∈（1，+∞）上單調(diào)遞減，因為存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）12e+1e.

因為lnae-1ea-1=lnae-1-lnea-1=（e-1）lna-a+1，設(shè)m（a）=（e-1）lna-a+1，則m′（a）=e-1a-1=e-1-aa，a>12e+1e.

圖3當12e+1e0，m（a）單調(diào)遞增；

當a>e-1時，m′（a）<0，m（a）單調(diào)遞減，如圖3所示，因此m（a）至多有兩個零點，而m（1）=m（e）=0，所以當a>e時，m（a）<0，ae-1

當12e+1e0，ae-1>ea-1；

當a=e時，m（a）=0，ae-1=ea-1.

4.2極端特殊化加強思維的嚴謹

例7（2013年江蘇高考第20題）

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實數(shù).（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；（2）若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.

解析（2）若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，所以ex≥a在（-1，+∞）上恒成立.a≤（ex）min=e-1=1e，由f（x）=0a=lnxx（x>0），令h（x）=lnxx，h′（x）=1-lnxx2（x>0），當00，h（x）單調(diào)遞增且連續(xù)不斷，.當x>e時，h′（x）<0，h（x）單調(diào)遞減且連續(xù)不斷.所以當x=e時，h（x）max=1e.但是，我們似乎有一種擔心：當0e時，單調(diào)遞減會不會穿過x軸？所以我們要把問題極端特殊化：當00.在（e，+∞）上，h（x）連續(xù)不斷地單調(diào)遞減.且當x→+∞時，h（x）=lnxx→0，所以，h（x）的圖象向下在y軸的右方以y軸的下半軸為漸近線，向右在x軸的上方以x軸的正半軸為漸近線.作出h（x）=lnxx的簡圖（如圖4），f（x）的零點個數(shù)就是直線y=a與函數(shù)h（x）=lnxx圖像交點的個數(shù).由圖像知：當a≤0或a=1e時，f（x）有一個零點；當0

圖4圖5這里極端特殊化的方法起到重要作用，在（e，+∞）上，h（x）=lnxx>0，h（x）連續(xù)不斷地單調(diào)遞減.且當x→+∞時，h（x）=lnxx→0，所以h（x）的圖象向右在x軸的上方以x軸的正半軸為漸近線.，這是作圖的關(guān)鍵.這樣當a≤0時，直線y=a與h（x）的圖象才有且只有一個交點.如果僅由h（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減，而沒注意到h（x）的圖象以x的正半軸為漸近線，就會畫出圖5，這樣當a<1e時，直線y=a與h（x）的圖象就有兩個交點，從而得出f（x）有兩個零點的錯誤結(jié)論.

解決數(shù)學問題時特殊化的方法僅僅是一種思路，不一定遇到問題就用這種方法，即便用了特殊化的方法也未必能徹底解決問題，特殊化的方法本身也沒有完整的章法可循，但通過以上討論我們確確實實可以得到一些有益的借鑒：當問題較難入手解決時，可以先找出一種使結(jié)論顯然成立的簡單情形，由此獲得啟示或為一般情形提供某種對比，從而進一步求得問題的解答.特殊化的方法要注意抓住研究問題中的特殊數(shù)值、特殊位置、特殊范圍等特殊因素，這樣就可以直接切中問題的要害，使問題得以解決.