希爾伯特空間中關(guān)于保持距離的Aleksandrov問題

鄭風(fēng)華，任衛(wèi)云

(天津大學(xué) 理學(xué)院，天津300072)

希爾伯特空間中關(guān)于保持距離的Aleksandrov問題

鄭風(fēng)華，任衛(wèi)云

(天津大學(xué) 理學(xué)院，天津300072)

設(shè)X和Y是希爾伯特空間，T：X→Y為一映射，證明了若T保1和另外一個(gè)實(shí)數(shù)，則T是一個(gè)線性變換，從而部分解決了Aleksandrov問題.

1970年，A·D·Aleksandrov提出：若T為定義在兩個(gè)距離空間中的映射，是否由f保某一個(gè)距離能夠得出其為一個(gè)等距映射？此即所謂的Aleksandrov問題.該問題被許多數(shù)學(xué)工作者廣泛的研究并且已經(jīng)得到了一些結(jié)果.然而圓滿地解決Aleksandrov問題尚且具有一定的難度，一些數(shù)學(xué)工作者開始考慮另外一個(gè)問題: 如賦范空間中的映射保兩個(gè)距離， 是否必為等距的？針對(duì)這一問題，W·benz在文獻(xiàn)中證明了定理 令X和Y是實(shí)賦范空間，假設(shè)X的維數(shù)大于等于2，Y是嚴(yán)格凸的，如果T:X→Y滿足下列兩個(gè)條件：

1)對(duì)于X的任意兩個(gè)元素x，y,若‖x-y‖=ρ，則‖T(x)-T(y)‖≤ρ；

2)對(duì)于X的任意兩個(gè)元素x,y，若‖x-y‖=λρ，則‖T(x)-T(y)‖≥λρ；

則T是一個(gè)仿射等距變換.

定義1設(shè)X和Y是距離空間，T:X→Y為一映射，若對(duì)X的任意兩個(gè)元素x，y,當(dāng)dX(x,y)=1時(shí)有dY(T(x),T(y))=1，則稱T為保距離1的，簡(jiǎn)稱保1的，若對(duì)X的任意兩個(gè)元素x，y,有dY(T(x),T(y))則稱T為等距的.

引理 令X和Y是實(shí)賦范空間，如果T:X→Y?！?”，對(duì)于X的任意兩個(gè)元素x，y,若‖x-y‖=n，則‖T(x)-T(y)‖≤n.

證明：當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立；

假若當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)，結(jié)論仍成立，即：

‖T(x)-T(y)‖≤k；

所以‖T(x)-T(y)‖≤‖T(x)-T(z)‖+

‖T(z)-T(y)‖≤k+1.

由此，上述結(jié)論對(duì)于任意的n∈N*均成立，引理得證.

證明：

由引理得，‖T(N)-T(A)‖≤n,‖T(N)-T(B)‖≤n,‖T(N)-T(C)‖≤n

‖T(M)-T(A)‖≤m,‖T(M)-T(B)‖≤m,‖T(M)-T(C)‖≤m

令三角形T(A)T(B)T(C)的中心為O′，

x1=T(A)-T(C)，x2=T(B)-T(C)，y1=T(A)-T(N)，y2=T(B)-T(N)，y3=T(C)-T(N).

由T(B)-T(A)=y2-y1=x2-x1，

得1=〈y2-y1,y2-y1〉，〈y2,y2〉-2〈y1,y2〉+〈y1,y1〉≤2n2-2〈y1,y2〉, 1=〈x2-x1,y2-y1〉，〈x2,y2〉+〈x1,y1〉-〈x1,y2〉-〈x2,y2〉,

即-2〈y2,y2〉≤2n2-1，

〈x1,y2〉+〈x2,y2〉=〈x2,y2〉+〈x1,y1〉-1.

由y3=y2-x2=y-x1，‖y3‖≤n，

得〈y2-x2,y2-x2〉=〈y2,y2〉-2〈y2,x2〉+〈x2,x2〉≤n2，

〈y1-x1,y1-x1〉=〈y1,y1〉-2〈y1,x1〉+〈x1,x1〉≤n2，

即-2〈y2-x2〉≤n2-〈y2-x2〉-1，

-2〈y1-x1〉≤m2-〈y1-x1〉-1，

-〈x1+x2,y1+y2〉=-(〈x1-y1〉+〈x1-y1〉+〈x1-y1〉+〈x1-y2〉) =-(2〈x1-y1〉+2〈x1-y1〉-1) ≤2n2-〈y1,y1〉-〈y2-y2〉-1

〈x1+x2,x1+x2〉=〈x1，y1〉+〈x2，x2〉+2〈x1，x2〉=3

則‖T(N)-O′‖2

所以上邊所得的不等式均為等式.

即‖T(N)-T(A)‖=‖T(N)-T(B)‖=

‖T(N)-T(C)‖=n

‖T(M)-T(A)‖=‖T(M)-T(B)‖=

‖T(M)-T(C)‖=m

這樣我們就能得出T保1和n.

由定理1得，T是仿射等距變換.

由引理得，

‖T(N)-T(A)‖≤n，‖T(N)-T(B)‖≤n，

‖T(N)-T(C)‖≤n，‖T(N)-T(D)‖≤n，

‖T(M)-T(A)‖≤n，‖T(M)-T(B)‖≤n，

‖T(M)-T(C)‖≤n，‖T(M)-T(D)‖≤n.

令正四面體T(A)T(B)T(C)T(D)的中心為O′，x1=T(B)-T(D)，x2=T(C)-T(D)，x3=T(B)-T(A)x4=T(C)-T(A)y1=T(B)-T(N)，y2=T(C)-T(N)，y3=T(A)-T(N).

由T(B)-T(C)=y1-y2=x1-x2=x3-x4，

得1=〈y1-y2,y1-y2〉=〈y2,y2〉-2〈y1，y2〉+〈y1,y1〉≤2n2-2〈y1-y2〉,

1=〈x1-x2,y1-y2〉=〈x2,y2〉-〈x1，y1〉+〈x1,y2〉-〈x2，y1〉,

1=〈x3-x4,y1-y2〉=〈x3,y1〉-〈x4，y2〉+〈x4,y1〉-〈x3，y2〉,

1=〈x1-x2,x3-x4〉=〈x1,x3〉+〈x2，y4〉+〈x1,x4〉-〈x2，x3〉,

1=〈x1-x2,x1-x2〉=〈x1,x1〉-2〈x1，x2〉+〈x2,x2〉,

1=〈x3-x4,x3-x4〉=〈x3,x3〉-2〈x3,x4〉+〈x4,x4〉,

即 -2〈y1,y2〉≤2n2-1.

〈x1,y2〉+〈x2,y1〉=〈x2,y2〉+〈x1,y2〉-1

〈x4,y1〉+〈x3,y2〉=〈x3,y1〉+〈x4,y2〉-1

〈x1,y4〉+〈x2,x3〉=〈x1,x3〉+〈x2,x4〉-1

由T(A)-T(D)=x1-x3=x2-x4,

得

1=〈x1-x3,x1-x3〉=〈x1,x1〉-2〈x1,x3〉+〈x3,x3〉

1=〈x2-x4,x2-x4〉=〈x2,x2〉-2〈x2,x4〉+〈x4,x4〉

由 T(D)-T(N)=y2-x2=y1-x1，

得〈y2-x2,y2-x2〉=〈y2,y2〉-2〈y2,x2〉+〈x2,x2〉≤n2

〈y1-x1,y1-x1〉=〈y1,y1〉-2〈y1,x1〉+〈x1,x1〉≤n2

即 -2〈y2,x2〉≤n2-〈y2,y2〉-1

-2〈y1,x1〉≤n2-〈y1,y1〉-1

-〈x2+x2,y1+y2〉=-(〈x1,y1〉+〈x1,y2〉+〈x2,y1〉+〈x2,y2〉)

=-(2〈x1,y1〉+2〈x1,y1〉-1)

≤2n2-〈y1,y1〉-〈y2,y2〉-1

由T(A)-T(N)=y2-x4=y1-x3，

〈y2-x4,y2-x4〉=〈y2,y2〉-2〈y2,x4〉+〈x4,x4〉≤n2，

〈y1-x3,y1-x3〉=〈y1,y1〉-2〈y1,x3〉+〈x3,x3〉≤n2，

即 -2〈y2,x4〉≤n2-〈y2,y2〉-1

-2〈y1,x3〉≤n2-〈y1,y1〉-1，

-〈x3+x4,y1+y2〉=-(〈x3,y1〉+〈x3,y2〉+〈x4,y1〉+〈x4,y2〉)

=-(2〈x3,y1〉+2〈x4,y2〉-1)

≤2n2-〈y1,y1〉-〈y2,y2〉-1

〈x1+x2,x1+x2〉=〈x1,x1〉+〈x2,x2〉+2〈x1,x2〉=3

〈x3+x4,x3+x4〉=〈x3,x3〉+〈x4,x4〉+2〈x3,x4〉=3

〈x1+x2,x3+x4〉=〈x1,x3〉+〈x1,x4〉+〈x2,x3〉+〈x2,x4〉=2〈x1,x3〉+2+〈x2,x4〉-1=1

則‖T(N)-T(O)‖2

所以上邊所得的不等式均為等式.

即‖T(N)-T(A)‖=‖T(N)-T(B)‖=‖T(N)-T(C)‖=n

‖T(M)-T(A)‖=‖T(M)-T(B)‖=‖T(M)-T(C)‖=m

這樣我們就能得出T保1和n.

由定理得，T是仿射等距變換.

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[4]RENWY.OnConservativeMappingsofAleksandrovproblem[J].JofMathreserchandexposition, 2007(27): 613-616.

Study on conservative mappings of Aleksandrov problem in Hilbert space

ZHENG Feng-hua, REN Wei-yun

(School of Science, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

LetX,Ybe Hilbert space andT:X→Ybe a mapping. This paper showed thatTwas a affine isometry ifTpreserves 1 and another postive real number, hence partly solved the Aleksandrov problem.

2014-10-31.

國家自然科學(xué)基金(11371201)

鄭風(fēng)華(1988-)，女，碩士，研究方向：泛函分析.

O177.1

A

1672-0946(2015)03-0358-04