微機(jī)械陀螺正交耦合誤差靜電力抑制的有限元仿真研究

竇茂蓮，劉 飛，林夢(mèng)娜，郭中洋

(北京自動(dòng)化控制設(shè)備研究所，北京100074)

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微機(jī)械陀螺正交耦合誤差靜電力抑制的有限元仿真研究

竇茂蓮，劉 飛，林夢(mèng)娜，郭中洋

(北京自動(dòng)化控制設(shè)備研究所，北京100074)

微機(jī)械陀螺的正交耦合誤差是敏感結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)間的剛度耦合引起的檢測(cè)模態(tài)輸出偏量，是影響陀螺性能的關(guān)鍵誤差源之一。靜電力抑制是一種采用靜電力調(diào)節(jié)驅(qū)動(dòng)模態(tài)的主軸偏量，使用直流電壓進(jìn)行正交耦合誤差抑制的方法，該方法具有片上實(shí)時(shí)抑制能力，能夠有效抑制正交耦合誤差。從靜電力抑制正交耦合誤差的基本原理出發(fā)，運(yùn)用有限元仿真，對(duì)硅基音叉陀螺正交耦合誤差的靜電力抑制進(jìn)行了仿真分析，并通過實(shí)物測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證。

微機(jī)械陀螺；正交耦合誤差；靜電力抑制；有限元仿真

0 引言

微機(jī)電陀螺是指采用微加工工藝制造，特征尺寸在微米量級(jí)，用于敏感載體相對(duì)于慣性空間角運(yùn)動(dòng)的儀表。微機(jī)電陀螺大都基于哥式振動(dòng)效應(yīng)，利用驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)兩個(gè)正交模態(tài)，實(shí)現(xiàn)對(duì)旋轉(zhuǎn)向量的敏感[1]。

理想情況下，陀螺驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)模態(tài)間的耦合僅通過科氏力傳遞。實(shí)際陀螺的兩個(gè)工作模態(tài)間存在驅(qū)動(dòng)力、阻尼、剛度等多種耦合，其中驅(qū)動(dòng)模態(tài)到檢測(cè)模態(tài)的剛度耦合是微機(jī)電陀螺的一個(gè)主要誤差源，該耦合誤差在相位上與角速度正交，因此稱為正交耦合誤差。正交耦合誤差與角速度之間存在90°的相位角，這意味著可以通過相敏解調(diào)將這兩個(gè)信號(hào)區(qū)別開來。但是，當(dāng)正交耦合信號(hào)的幅值和相位隨時(shí)間變化時(shí)，輸出的偏移量也隨之變化，從而直接影響陀螺的零偏穩(wěn)定性。為提高陀螺性能，必須盡可能減小甚至消除正交耦合誤差。

正交耦合誤差抑制的方法主要有：機(jī)械隔離、機(jī)械修調(diào)、靜電力矯正以及采用解耦梳齒等[2-5]。其中，靜電力矯正具有片上實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)能力，且抑制精度較高[5]。

本文主要圍繞硅基平面振動(dòng)式音叉陀螺正交耦合誤差的靜電力抑制開展有限元仿真研究，文章采用理論分析、有限元仿真與實(shí)物測(cè)試相結(jié)合的方式，對(duì)直流電壓作用下的矯正電極對(duì)敏感結(jié)構(gòu)正交耦合誤差的抑制能力進(jìn)行了分析，為陀螺矯正電極、電路的設(shè)計(jì)工作提供支撐。

1 靜電力矯正原理

正交耦合誤差主要來源于驅(qū)動(dòng)到檢測(cè)模態(tài)的剛度耦合。在適當(dāng)?shù)碾姌O排布下，施加適當(dāng)?shù)闹绷麟妷耗軌虍a(chǎn)生與剛度耦合相抵消的靜電力作用，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)正交耦合誤差的抑制。

1.1 微機(jī)電陀螺誤差模型

圖1所示為振動(dòng)式陀螺的簡化模型，圖1中驅(qū)動(dòng)模態(tài)振動(dòng)沿x方向，檢測(cè)模態(tài)振動(dòng)沿y方向；m為科氏力敏感部分質(zhì)量；kd、ks分別表示驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)模態(tài)的廣義剛度；cd、cs分別表示驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)模態(tài)的阻尼系數(shù)；Ωz為外界角速度輸入。

圖1 振動(dòng)陀螺基本模型Fig.1 Simplified model of in-plane vibrating gyroscopes

Weinberg和Kourepenis對(duì)硅基平面振動(dòng)式音叉陀螺的耦合誤差源進(jìn)行了分析[6]，考慮在力耦合、阻尼耦合和剛度耦合時(shí)，陀螺的動(dòng)態(tài)微分方程可以表示為：

驅(qū)動(dòng)

(1)

檢測(cè)

(2)

其中，x、y分別表示驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)模態(tài)的振動(dòng)位移；md、ms分別表示驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)模態(tài)的廣義質(zhì)量；Fd為驅(qū)動(dòng)力；kds為模態(tài)間剛度耦合系數(shù)；cds為模態(tài)間阻尼耦合系數(shù)；α為驅(qū)動(dòng)力耦合系數(shù)。

在剛度耦合誤差源作用下，檢測(cè)模態(tài)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)為

(3)

剛度耦合項(xiàng)作用下檢測(cè)模態(tài)的動(dòng)態(tài)輸出即為正交耦合誤差。

1.2 靜電力矯正原理

圖2所示為靜電矯正電極的一種典型排布形式。圖2中，Vp為質(zhì)量塊上的直流偏壓；Vdc為靜電矯正電極上的直流電壓；L0為電極間重疊部分的長度；d0為電極間距。

圖2 靜電矯正電極示意圖Fig.2 The scheme of electrostatic-forcesuppression electrodes

假設(shè)電極為理想平行板電極。在該電極排布形式下，質(zhì)量塊在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下受到的y方向的靜電力合力為

(4)

可以看出，靜電力主要來源于質(zhì)量塊x和y方向的位移。當(dāng)質(zhì)量塊靜止且處于平衡位置時(shí)，y方向靜電力合力為0；當(dāng)質(zhì)量塊存在x或y方向位移時(shí)，在y方向?qū)⑹艿脚c位移成正比的靜電力作用。矯正電極作用下陀螺檢測(cè)模態(tài)的動(dòng)態(tài)微分方程可以表示為

(5)

可以看出，剛度耦合誤差kdsx可以通過調(diào)節(jié)靜電力中與x成正比的項(xiàng)，從而得到抑制甚至抵消。

靜電力矯正的目標(biāo)在于消除檢測(cè)模態(tài)動(dòng)態(tài)方程中與驅(qū)動(dòng)模態(tài)位移x相關(guān)的項(xiàng)，即令

(6)

2 陀螺靜電矯正特性分析

在上述原理基礎(chǔ)上，結(jié)合陀螺敏感結(jié)構(gòu)及電極結(jié)構(gòu)型式，對(duì)陀螺的靜電矯正特性進(jìn)行理論分析。

圖3所示為一種電容式硅基微機(jī)電陀螺敏感結(jié)構(gòu)示意圖。結(jié)構(gòu)采用典型的音叉結(jié)構(gòu)，完全解耦型設(shè)計(jì)，梳齒型電容檢測(cè)。結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)頻差在200Hz左右，中間質(zhì)量塊兩側(cè)分布靜電矯正電極，通過在質(zhì)量塊和固定電極間施加偏壓，能夠?qū)φ获詈险`差實(shí)現(xiàn)靜電力矯正。

圖3 陀螺敏感結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 The scheme of sensing structure of the gyroscope

2.1 靜電矯正特性靜態(tài)分析

圖4所示為敏感結(jié)構(gòu)靜電矯正電極的排布形式示意圖。在這種排布形式下，靜電力對(duì)剛度耦合的矯正作用可以表示為

(7)

圖4 靜電矯正電極排布型式Fig.4 Configuration of the electrodes for electrostatic-force suppression

式(7)給出了靜電矯正的原理分析公式。同時(shí)，在靜態(tài)條件下，敏感結(jié)構(gòu)質(zhì)量塊在靜電力和剛度耦合的共同作用下存在受力平衡方程

(8)

整理得到靜電矯正特性表達(dá)式

(9)

由式(9)可知，靜態(tài)條件下結(jié)構(gòu)的耦合位移比與靜電矯正電壓之間為線性關(guān)系。當(dāng)靜電矯正電極的靜電力恰好能夠抵消由kds帶來的剛度耦合誤差源時(shí)，結(jié)構(gòu)靜態(tài)耦合位移比為0，此時(shí)正交耦合誤差能夠得到很好的抑制。

2.2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與靜態(tài)特性的轉(zhuǎn)換關(guān)系

實(shí)際陀螺結(jié)構(gòu)工作在諧振狀態(tài)下，對(duì)陀螺正交耦合誤差的測(cè)試也是在動(dòng)態(tài)條件下進(jìn)行，通常采用檢測(cè)和驅(qū)動(dòng)模態(tài)的振幅比——耦合位移比，作為表頭正交耦合誤差的測(cè)試結(jié)果。

通過式(3)可知，動(dòng)態(tài)條件下，驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)模態(tài)的耦合位移比可以表示為

(10)

通過轉(zhuǎn)換運(yùn)算，可以得到實(shí)測(cè)耦合位移比與靜態(tài)剛度耦合系數(shù)比之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，如式(11)所示。

(11)

3 有限元仿真

在上述分析過程中，對(duì)靜電力的計(jì)算均基于理想平行板電極的假設(shè)展開。實(shí)際靜電矯正電極為梳齒電極，通常難以簡化為理想平行板電極。因此，通過理論計(jì)算難以對(duì)陀螺敏感結(jié)構(gòu)的靜電矯正能力進(jìn)行分析，下面將使用有限元分析軟件對(duì)結(jié)構(gòu)靜電矯正能力進(jìn)行分析計(jì)算。

使用有限元仿真軟件ANSYS對(duì)敏感結(jié)構(gòu)的靜電矯正特性進(jìn)行仿真分析，涉及結(jié)構(gòu)和靜電兩種物理場(chǎng)的耦合分析。在ANSYS軟件中，結(jié)構(gòu)—靜電的耦合分析有多種方法可以實(shí)現(xiàn)[7]，綜合模型建立、分析精度、計(jì)算速度等因素，選擇直接耦合法對(duì)敏感結(jié)構(gòu)的靜電矯正特性進(jìn)行有限元仿真分析。

3.1 敏感結(jié)構(gòu)誤差模型

剛度耦合的主要來源在于敏感結(jié)構(gòu)中關(guān)鍵梁的加工誤差，包括梁截面誤差、對(duì)稱性誤差等。理想情況下，使用完全解耦設(shè)計(jì)的陀螺敏感結(jié)構(gòu)其耦合位移接近于0。為模擬實(shí)際加工過程帶來的耦合誤差，可以對(duì)理想模型的關(guān)鍵梁參數(shù)進(jìn)行修改。

圖5所示為敏感結(jié)構(gòu)中的兩個(gè)關(guān)鍵梁，通過修改關(guān)鍵梁的尺寸參數(shù)，能夠在理想模型中引入不對(duì)稱因素，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)剛度耦合的模擬。

圖5 敏感結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵梁示意圖Fig.5 The scheme of the keybeams in the sensing structure

實(shí)際陀螺敏感結(jié)構(gòu)的剛度耦合系數(shù)比可以通過測(cè)試得到，對(duì)20支陀螺表頭進(jìn)行剛度耦合系數(shù)比測(cè)試，并計(jì)算得到統(tǒng)計(jì)均值。

通過對(duì)關(guān)鍵梁參數(shù)進(jìn)行修改，使得有限元模型的剛度耦合系數(shù)比與實(shí)測(cè)均值相近。表1給出了關(guān)鍵梁參數(shù)的修改量。

表1 關(guān)鍵梁參數(shù)修改量Tab.1 Modification of the dimensions of the key beams

表2給出了修改后誤差模型的剛度耦合系數(shù)比與實(shí)測(cè)均值的對(duì)比情況。

表2 實(shí)測(cè)均值與誤差模型的剛度耦合系數(shù)比
Tab.2 Quadrature error coefficient ratio of the average measured value and the imperfect model

項(xiàng)目剛度耦合系數(shù)比實(shí)測(cè)均值9.8419×10-5誤差模型10.638×10-5

通過修改關(guān)鍵梁參數(shù)，使得修改后的有限元模型的剛度耦合系數(shù)比與實(shí)測(cè)均值相近，并以此誤差模型作為后續(xù)有限元仿真的主體結(jié)構(gòu)模型。

3.2 敏感結(jié)構(gòu)耦合場(chǎng)有限元模型

敏感結(jié)構(gòu)的耦合場(chǎng)有限元模型主要由敏感結(jié)構(gòu)主體模型及極板間氣隙模型兩部分組成。其中，結(jié)構(gòu)主體模型采用三維實(shí)體單元SOLID95，極板間氣隙模型采用三維實(shí)體直接耦合單元SOLID226。

矯正電極位置處的有限元模型的局部放大圖如圖6所示。圖6中，藍(lán)色部分為主體結(jié)構(gòu)單元，紅色部分為極板間氣隙單元。單元間通過共用節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)連接。

圖6 有限元模型局部圖Fig.6 Partial view of the multi-field FEM model

通過式(7)可以看出，在矯正電極的尺寸參數(shù)中，電極間距d對(duì)靜電矯正特性的影響最大。因此，在某批次芯片中隨機(jī)抽取三片進(jìn)行敏感結(jié)構(gòu)靜電矯正電極的間距參數(shù)測(cè)量。在每片敏感結(jié)構(gòu)上選取10個(gè)位置分別對(duì)梳齒的極板間距進(jìn)行測(cè)量，對(duì)三片共30個(gè)極板間距尺寸的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表3所示。

表3 電極間距尺寸實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)Tab.3 Statistical data of the measured d dimension

調(diào)節(jié)有限元模型的極板間距參數(shù)，分別取設(shè)計(jì)值4μm、均值5.6389μm、分布范圍的邊界值5.227μm、6.0508μm，建立敏感結(jié)構(gòu)的耦合場(chǎng)有限元模型。

3.3 仿真結(jié)果

使用ANSYS軟件耦合場(chǎng)計(jì)算工具multiphysics對(duì)3.2節(jié)中建立的敏感結(jié)構(gòu)誤差模型進(jìn)行靜電—結(jié)構(gòu)耦合場(chǎng)靜態(tài)分析。采用耦合場(chǎng)分析方法中的直接耦合法進(jìn)行多物理場(chǎng)耦合分析，通過載荷向量和網(wǎng)格隨動(dòng)，實(shí)現(xiàn)靜電載荷和結(jié)構(gòu)位移間的耦合計(jì)算。

在結(jié)構(gòu)模型上施加10V恒定直流偏壓，改變靜電矯正電極上的直流電壓值，對(duì)4個(gè)間距d取值下的有限元模型進(jìn)行耦合場(chǎng)靜態(tài)分析。得到調(diào)頻電極間距取上述4個(gè)值時(shí)，結(jié)構(gòu)的靜電矯正特性曲線，如圖7所示。

圖7 靜態(tài)耦合位移比隨靜電矯正電壓變化曲線Fig.7 Linear relationship curve betweenstatic quadrature error and suppression voltage

圖7給出了不同電極間距下的結(jié)構(gòu)靜電矯正特性曲線的斜率對(duì)比。

對(duì)比不同電極間距下的結(jié)構(gòu)靜電矯正特性曲線斜率，可以得出結(jié)論：

1)考慮實(shí)際靜電矯正電極間距加工誤差，取實(shí)測(cè)間距的1σ分布范圍，可以得到陀螺靜電矯正特性曲線斜率的分布范圍為：[1.0024×10-5，1.5848×10-5]；

2)加工過程導(dǎo)致靜電矯正電極間距與設(shè)計(jì)值之間的誤差，對(duì)結(jié)構(gòu)靜電矯正特性影響很大，實(shí)際結(jié)構(gòu)的靜電矯正能力較結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)值偏小。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為驗(yàn)證上述仿真分析的正確性，選擇一支封裝完成的陀螺表頭進(jìn)行靜電矯正特性測(cè)試實(shí)驗(yàn)。

經(jīng)初步測(cè)試，得到表頭矯正前的耦合位移比及耦合剛度系數(shù)比，如表4所示。

表4 陀螺表頭耦合誤差實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)Tab.4 Measured data of the coupling error

在此基礎(chǔ)上，對(duì)該陀螺表頭進(jìn)行靜電矯正實(shí)驗(yàn)。將測(cè)試數(shù)據(jù)擬合，得到陀螺表頭的靜電矯正特性曲線，如圖8所示。

圖8 陀螺實(shí)測(cè)靜電矯正特性曲線Fig.8 Characteristic curve of the electrostatic suppression test

擬合得到陀螺表頭的靜電矯正特性曲線斜率值，如表5所示。

表5 陀螺表頭實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

對(duì)比表5中數(shù)據(jù)可知，實(shí)測(cè)結(jié)果落在仿真范圍以內(nèi)，可以認(rèn)為仿真分析得到的靜電矯正特性斜率范圍具有一定的正確性，與陀螺的實(shí)際靜電矯正能力相吻合。

依照仿真得到的斜率取值范圍，可以給出結(jié)構(gòu)所需靜電矯正電壓范圍的計(jì)算公式

(12)

式中：ke1=1.0024×10-5，ke2=1.5848×10-5。

采用式(12)所示的計(jì)算方法，對(duì)上述陀螺表頭進(jìn)行靜電矯正電壓估算，估算結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)如表6所示。

表6 靜電矯正電壓實(shí)測(cè)與估算范圍對(duì)比Tab.6 Comparison of the suppressionvoltage between test and calculation

表6中的數(shù)據(jù)顯示，實(shí)際陀螺的靜電矯正電壓在式(12)提供的估算范圍以內(nèi)，可以認(rèn)為該公式具有一定的正確性。

5 結(jié)論

本文借助有限元軟件ANSYS對(duì)硅基平面振動(dòng)式音叉陀螺正交耦合誤差的靜電力抑制開展有限元仿真分析。通過理論分析，確定敏感結(jié)構(gòu)靜電矯正特性的描述方式，并建立實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與仿真分析之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；結(jié)合對(duì)實(shí)際加工情況的測(cè)量和統(tǒng)計(jì)，建立敏感結(jié)構(gòu)誤差模型和耦合場(chǎng)有限元模型，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行仿真分析，得到靜態(tài)條件下的靜電矯正特性曲線及曲線斜率范圍；最后通過實(shí)物測(cè)試，驗(yàn)證了仿真結(jié)果的正確性。

對(duì)敏感結(jié)構(gòu)靜電矯正特性的仿真分析，對(duì)陀螺敏感結(jié)構(gòu)矯正電極的改進(jìn)設(shè)計(jì)、控制電路設(shè)計(jì)、表頭篩選測(cè)試等后續(xù)工作具有重要的參考價(jià)值。

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The FEM Analysis of Electrostatic-force Suppression of Quadrature Coupling Error in a MEMS Gyroscope

DOU Mao-lian，LIU Fei，LIN Meng-na，GUO Zhong-yang

(Beijing Institute of Automatic Control Equipment，Beijing 10074，China)

As an sensing mode output deviator caused by stiffness coupling between vibration modes of sensing structures，quadrature coupling error is one of the key error sources that influence the performance of a MEMS gyro.Electrostatic-force suppression，using DC voltage to adjust the misalignment of the mode principle axis，is one of the most effective ways to eliminate quadrature coupling error，which has on-chip and real-time adjustment capability.Based on the theory and FEM analysis of electrostatic-force suppression，this paper demonstrates detailedly the FEM analysis for a typical silicon tuning fork gyro and the experimental verifications of this analysis.

MEMS gyroscope；Quadrature coupling error；Electrostatic-force suppression；FEM simulation

2015 - 03 - 02；

2015 - 03 - 24。

竇茂蓮(1991 - )，女，碩士，助理工程師，主要從事微機(jī)械陀螺方面的研究。

E-mail：doumaolian5@163.com

V444

A

2095-8110(2015)05-0052-06