電荷體系在變化外電場(chǎng)中的能量(勢(shì)能）與受力

景義林

(安陽(yáng)師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院，河南安陽(yáng) 455000）

文獻(xiàn)［1］分析了一定電荷分布的電荷體系在不變外電場(chǎng)(即當(dāng)電荷體系在外電場(chǎng)中的位置發(fā)生變化時(shí)，外電場(chǎng)的分布情況和產(chǎn)生外電場(chǎng)的電荷分布情況不變）中的能量，即一定電荷分布的電荷體系在不變外電場(chǎng)中的勢(shì)能。這種情況下，一定電荷分布的電荷體系在外電場(chǎng)中的能量(勢(shì)能）就是電荷體系與外電場(chǎng)的相互作用能。但在實(shí)際中，一般情況下，一定電荷分布的電荷體系在外電場(chǎng)中的位置發(fā)生變化時(shí)，外電場(chǎng)的分布情況和產(chǎn)生外電場(chǎng)的電荷分布情況會(huì)隨之而發(fā)生變化，這里，我們把這種外電場(chǎng)簡(jiǎn)單稱之為變化外電場(chǎng)，如一定電荷分布的電荷體系周圍是導(dǎo)體或帶電導(dǎo)體，這時(shí)，電荷體系所處的外電場(chǎng)就是導(dǎo)體上的電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)，當(dāng)電荷體系相對(duì)導(dǎo)體的位置發(fā)生變化時(shí)，導(dǎo)體或帶電導(dǎo)體的電荷分布情況及其所產(chǎn)生的電場(chǎng)就會(huì)隨之而發(fā)生變化。那么，這種情況下，一定電荷分布的電荷體系在外電場(chǎng)中的能量(勢(shì)能）等于什么呢?還等于電荷體系與外電場(chǎng)的相互作用能嗎?本文擬分析這個(gè)問(wèn)題，并根據(jù)勢(shì)能分析研究電荷體系的受力情況。

1 一定電荷分布的電荷體系所受變化外

電場(chǎng)的電場(chǎng)力也是保守力系，故一定電荷分布的電荷體系在變化外電場(chǎng)中也具有勢(shì)能

先來(lái)說(shuō)明一點(diǎn)。點(diǎn)電荷在導(dǎo)體或帶電導(dǎo)體周圍時(shí)，所受導(dǎo)體或帶電導(dǎo)體電場(chǎng)的電場(chǎng)力是保守力。

眾所周知，點(diǎn)電荷在電荷分布一定的帶電體所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)中所受電場(chǎng)力是保守力，但當(dāng)點(diǎn)電荷在導(dǎo)體周圍(導(dǎo)體由于靜電感應(yīng)，要產(chǎn)生感應(yīng)電荷）或帶電導(dǎo)體周圍的靜電場(chǎng)中時(shí)，對(duì)應(yīng)于點(diǎn)電荷所在的每一個(gè)位置，都對(duì)應(yīng)著導(dǎo)體或帶電導(dǎo)體的一個(gè)確定的不同的電荷分布。因此，點(diǎn)電荷相對(duì)于導(dǎo)體或帶電導(dǎo)體位于不同位置時(shí)，對(duì)應(yīng)的導(dǎo)體或帶電導(dǎo)體的靜電場(chǎng)嚴(yán)格說(shuō)來(lái)并非同一個(gè)靜電場(chǎng)，但通過(guò)下面的分析，我們可以知道，電荷所受導(dǎo)體或帶電導(dǎo)體靜電場(chǎng)的電場(chǎng)力依然是保守力。

當(dāng)點(diǎn)電荷位于導(dǎo)體或帶電導(dǎo)體周圍某一位置(位矢為X）時(shí)，點(diǎn)電荷所受導(dǎo)體或帶電導(dǎo)體電場(chǎng)的電場(chǎng)力及其旋度

一定電荷分布的電荷體系可看作是由相對(duì)位置一定的許多元電荷組成的。由此可知，當(dāng)一定電荷分布的電荷體系在外電場(chǎng)中的位置發(fā)生變化時(shí)，即使產(chǎn)生外電場(chǎng)的電荷分布情況和外電場(chǎng)的分布情況發(fā)生變化，電荷體系所受外電場(chǎng)的電場(chǎng)力也是保守力系，電荷體系在這樣的變化外電場(chǎng)中也具有勢(shì)能。

2 一定電荷分布的電荷體系在變化外電場(chǎng)中的能量(勢(shì)能）

兩個(gè)電荷體系的能量，涉及到以下幾種:兩個(gè)電荷體系的總能，兩個(gè)電荷體系的自能，兩個(gè)電荷體系的相互作用能，一電荷體系在另一電荷體系電場(chǎng)中的能量即勢(shì)能。其中，兩個(gè)電荷體系的相互作用能是兩個(gè)電荷體系的總能與兩個(gè)電荷體系的自能之差。

為了研究一定電荷分布的電荷體系在變化外電場(chǎng)中的能量(勢(shì)能），我們來(lái)看當(dāng)一定電荷分布的電荷體系在變化外電場(chǎng)中從一位置移動(dòng)到另一位置時(shí)，電荷體系在外電場(chǎng)中的能量(勢(shì)能）的增量。按照勢(shì)能的定義，在外電場(chǎng)中，當(dāng)電荷分布一定的電荷體系從一位置移動(dòng)到另一位置時(shí)，電荷體系在外電場(chǎng)中的能量(勢(shì)能）的增量等于外力所做的功。與文獻(xiàn)【1】所述情況——即一定電荷分布的電荷體系在不變外電場(chǎng)中的情況不同的是，這里，當(dāng)一定電荷分布的電荷體系在變化外電場(chǎng)中從一位置移動(dòng)到另一位置時(shí)，不僅一定電荷分布的電荷體系與產(chǎn)生變化外電場(chǎng)的電荷體系的相互作用能要發(fā)生變化，而且由于產(chǎn)生外電場(chǎng)的電荷分布情況和外電場(chǎng)要發(fā)生變化，故產(chǎn)生外電場(chǎng)的電荷體系的自能也要發(fā)生變化，這個(gè)能量的變化必然也是由于外力做功的緣故。因而外力做的功等于兩電荷體系相互作用能的增量與產(chǎn)生外電場(chǎng)的電荷體系自能的增量。故這種情況下，一定電荷分布的電荷體系在外電場(chǎng)中位于某一位置時(shí)，電荷體系在外電場(chǎng)中的能量(勢(shì)能）等于兩電荷體系的相互作用能與產(chǎn)生外電場(chǎng)的電荷體系的自能之和。

3 一定電荷分布的電荷體系在外電場(chǎng)中的受力

一定電荷分布的電荷體系在另一電荷體系電場(chǎng)中的能量(勢(shì)能）知道了，那么，根據(jù)勢(shì)能，我們即可求該電荷體系所受另一電荷體系電場(chǎng)的作用力了。

電荷分布一定的電荷體系的自由度是6，電荷體系的位置可用6個(gè)廣義坐標(biāo)來(lái)描述。設(shè)用電荷體系(剛體）上某一點(diǎn)(參考點(diǎn)）的直角坐標(biāo)x、y、z和過(guò)該點(diǎn)與電荷體系固連的某一有向直線與x、y、z軸的夾角 α、β、γ 為描述體系的廣義坐標(biāo)。則電荷體系在另一電荷體系電場(chǎng)中的勢(shì)能

4 舉例

一定電荷分布的電荷體系在變化外電場(chǎng)中的勢(shì)能

Ws1為產(chǎn)生變化外電場(chǎng)的電荷體系的自能，Wi為兩電荷體系的相互作用能。舉兩個(gè)特殊的例子。

例1 點(diǎn)電荷q距半徑為R0的接地導(dǎo)體球的球心為r，分析點(diǎn)電荷所受作用力。

解:這一例題中，電荷體系——接地導(dǎo)體球的電荷分布不僅隨它與另一電荷體系——點(diǎn)電荷q之間距離變化而變化，而且它的帶電量也隨二者之間距離的變化而變化。

根據(jù)鏡像法求解靜電場(chǎng)［1］的結(jié)果，我們可以求出接地導(dǎo)體球的感應(yīng)面電荷密度［2］

以上列舉的兩個(gè)簡(jiǎn)單例子，對(duì)于處在變化外電場(chǎng)中的一定電荷分布的電荷體系都是再簡(jiǎn)單不過(guò)的點(diǎn)電荷。單就這兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)，這里，我們利用其在外電場(chǎng)中的勢(shì)能來(lái)求解其受力，似乎有舍近求遠(yuǎn)、舍簡(jiǎn)就繁的嫌疑，但就一般的一定電荷分布的電荷體系來(lái)說(shuō)，知道了電荷體系在外電場(chǎng)中的勢(shì)能，我們就可根據(jù)勢(shì)能求其在外電場(chǎng)中的受力情況，就可利用拉格朗日方程求其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這往往要比利用積分法求電荷體系的受力情況、利用牛頓定律求電荷體系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律要簡(jiǎn)單得多。

［1］郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)(第二版）［M］.北京:高等教育出版社，1997:91，72，74.

［2］倪忠楚.用電像法求電荷與導(dǎo)體間作用力時(shí)應(yīng)注意的一個(gè)問(wèn)題［J］.物理與工程，2003，13(4）:19 －22.