高等代數(shù)課程要素教學與大學生的角色轉換

郭亞梅

(安陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 安陽 455000)

高等代數(shù)課程要素教學與大學生的角色轉換

郭亞梅

(安陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 安陽 455000)

本文通過幾種行之有效的方法，討論了如何在高等代數(shù)教學中使大一新同學盡快適應大學，完成由中學到大學的角色轉換。

高等代數(shù)；角色轉換；教學方法；中學數(shù)學

高等代數(shù)是數(shù)學專業(yè)大一新生的第一門專業(yè)基礎課之一，如何在一點一滴的教學中巧妙地幫助學生完成由中學到大學的角色轉換尤為重要。由于該課程的內容、思想的抽象性，傳統(tǒng)的教學模式很難使大一的學生入門，也很難培養(yǎng)學生對高等代數(shù)的興趣。許多學者從不同方面就課程教學與大學生的角色轉換問題進行了行之有效的有益嘗試。王玉行(2007)指出中小學的數(shù)學中學生初步地學習了演繹推理，在高等代數(shù)中大量存在性、唯一性和結構與表述復雜的命題、法則的登場，使探索發(fā)現(xiàn)過程的合情推理及論證過程的演繹推理復雜化。探索切實培養(yǎng)大學生的數(shù)學素質，提高教學質量的途徑就顯得格外重要。梁登峰、劉福林(2013)建議與解析幾何、數(shù)學軟件、數(shù)學建模等的教學結合起來，將教學內容的先后順序做適當?shù)恼{整，這樣使其內容具體化、生動化，更易適應大一新生的學習方式。劉小川、何美為消除學生在思維方式、學習方法上的諸多不適應提出了幾個需要注意的方面，包括針對基本概念設計適當問題、通過舉反例加深對基本理論的認識、補典型例題提倡一題多解、加強代數(shù)思想方法的滲透與培養(yǎng)、充分利用高等代數(shù)的特點，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力等。蔣華、劉興燕(2013)認為在關注“教”的同時更要關注學生的“學”。培養(yǎng)學生的問題意識、注重知識的來源與應用、注重創(chuàng)新思維的培養(yǎng)等都要在課程教學中找到合適的定位。教學評價注重方法多元化、過程與結果、定性與定量評價相結合，全而描述學生的學習過程。耿俊，鄧勇(2012)給出了高等代數(shù)教學中3個問題的創(chuàng)新示范，說明改革傳統(tǒng)教學方式及體現(xiàn)核心知識價值在高等代數(shù)教學中有著重大意義。葉立軍、斯海霞(2011)對課堂上教師的評價行為的重要性給予了高度重視，他們通過高等代數(shù)教學錄像課的量化分析及對教師在課堂教學中各類評價行為的統(tǒng)計分析表明，占近1/5課堂時間的教師課堂評價行為主要關注學生知識、技能的掌握，較少涉及學生情感、態(tài)度等，正確的評價行為能激勵學生產生內在的學習動力，激發(fā)學生的潛能。

完成角色轉換首先需要解決兩個大的問題，一是學習者的學養(yǎng)轉變，這是學生學習自適力的轉變，反映到專業(yè)課程學習上是學習思想的轉變、學習能力的轉變與學習方法的轉變等。一是教師教學內容的安排、教學方式的選擇及教學思想的滲透等。我們擬在前人研究的基礎上從教師合理地運用教學評價行為入手與學生的課程學習興趣及自適力培養(yǎng)有機結合起來，對角色轉換為課程教學提出的教學環(huán)節(jié)問題進行一些初步的嘗試。其中的一些具體的做法源于我們多年的教學實踐，且已證明取得了一些令人滿意的效果。

1 大學入門先做好課程入門

高等代數(shù)分為多項式和線性代數(shù)兩部分。同學們對多項式會覺得很親切。而多項式的整除、互素、因式分解等就是中學數(shù)學的推廣。在這一章，同學們會見到如x3+x2+1的形式，在中學，x叫未知數(shù)，一般取實數(shù)，而高等代數(shù)中它叫未知元，未知數(shù)是未知元的特殊情況。我們還會發(fā)現(xiàn)2可以整除3、2與4互素的現(xiàn)象。而下面的結果到底哪個對？

x4-4=(x2-2)(x2+2)

在線性代數(shù)部分，線性代數(shù)從中文的角度看由兩個詞構成，分別是“線性”和“代數(shù)”，“線性”修飾“代數(shù)”。比如函數(shù)y=x，它的圖像是一條直線，被形象地稱為線性函數(shù)。 那具體什么叫線性呢？其實線性就是量與量之間成一次關系，也就是說量與量之間只有“加”、“減”和“數(shù)乘”的關系，不能有變量之間的乘法運算。 又如：x+y=1，是線性方程。而方程x2+y=1，就是非線性方程。中學的二元一次方程組，也叫線性方程組。

代數(shù)則是一門非常古老的數(shù)學學科，起源可以追溯到古巴比倫的時代。 從字面上看，就是用字母代替數(shù)。例：如何表示3加上什么數(shù)等于5？很容易可以得到“2”。

歷史上，線性代數(shù)的第一個問題是關于解線性方程組的問題，而線性方程組理論的發(fā)展又促成了作為工具的矩陣和行列式理論的創(chuàng)立與發(fā)展，這些內容已成為線性代數(shù)的主要部分。

在中學我們知道二元一次方程組的解有三種情況，即無解、無窮多解和唯一解。而在高等代數(shù)中我們要將此結論推廣為n元線性方程組。

2 探索適合大一學生的教學方法

大一新生是一個特殊的群體。他們還沉浸在中學的教學環(huán)境中。他們還沿用的是中學的學習方法。他們對大學各方面還不了解、不太適應，而高等代數(shù)又具有抽象、繁瑣、定義多、定理多、難度大等特點，在教學上急需尋找適合這一階段學生的教學方法。

2.1 增強趣味性降低難度

趣味是最好的老師。在枯燥的數(shù)學教學中，適當?shù)脑黾右恍┬蜗蟮恼Z言、生動的例子，會使課堂不那么死氣沉沉，會讓學生積極地學習。

又如在用伴隨矩陣法求逆矩陣時，同學們總是丟三落四，三句口訣很合適：帶上符號(代數(shù)余子式的符號)，找準位置(伴隨矩陣中個代數(shù)余子式的位置)，不忘除|A|(矩陣的行列式)。

而用化上三角形的方法求行列式時，此法可以稱為化歸法。應用時，方法也是較靈活的。我們的原則是“有1用1，沒有1找1，找不到造1”.其中用1，就是直接化，而找就是換行或換列，造1，是指利用一個數(shù)乘以某行或某列加到另一行或一列上(可以稱為倍法化零)的性質先造成第一個元素是1，下面就好操作了。這里的1也不一定是1，只要能整除所在列下面的元素即可。

再如，行列式的按行按列展開原理應用時，口訣是“不見兔子不撒鷹，沒有兔子造兔子，同時不要忘記符號、不要忘記元素”。當然，兔子就是有一行或一列只有一個數(shù)非零其余全為零。而這里的符號就是代數(shù)余子式的符號，元素是原行列式中的元素。

適當?shù)膿Q用教師的語言會使沉悶的課堂活躍起來。

2.2 增加與中學的聯(lián)系提高親和性

在中學，有很多知識我們只知其然并不知其所以然，到大學我們就是要尋找其所以然。例如，中學只知道多項式的因式分解到某一步老師就說可以了，結束了，而在因式分解這一節(jié)中，通過學習不可約多項式就可以回答為什么，怎樣就叫結束。因式分解定理的證明回答了，因式分解可以有很多方法但分解的最終結果是標準分解式。不考慮順序時分解式唯一。其實，中學討論因式分解的方法，高等代數(shù)討論分解的結果。

多項式這一章是和中學聯(lián)系比較多的，同學們會有很自然的感覺，但無論在內容還是講解方式上都與中學截然不同，在聯(lián)系中學內容的同時還要時常提醒這里的多項式與中學的不同。特別是在整除這一節(jié)中，對多項式的整除，同學們總是想成整數(shù)的整除。

2.3 通過舉實例變抽象為具體

高等代數(shù)中有很多問題都是抽象的，這是與中學數(shù)學最大的區(qū)別。也是學習高等代數(shù)的難點所在。變抽象為具體，深入淺出是教學的關鍵。

例如，一元多項式的定義anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0式中的x是未知元，不能用數(shù)來代入，否則就特殊化了。如3x4+x-1是一個4次多項式，中學所學多項式是它在x取實數(shù)時的特殊情況。

又如，第二章行列式在講到排列的性質定理，對換改變排列的奇偶性時，舉一個特殊例子214536來講解相鄰對換和不相鄰對換的情況，對證明問題很有幫助。

在遇到較難想象的n級行列式的計算時，最好先舉一個低級如四級的特殊情況，找出規(guī)律再想象n級行列式的計算方法。

由特殊情況猜想一般是學好高等數(shù)學特別是高等代數(shù)的技巧。

2.4 課后提出問題迫使同學思考

由于大學每一節(jié)課內容較多，每學期教學任務繁重，不可能對所有問題都講得很全面很透徹，開快車是常有的事。因此很多問題就需要同學們下課消化并深入思考，但是，同學們還停留在中學被動地聽老師講解的方法中，而不能也不會積極思考。幾乎每一節(jié)課針對本節(jié)內容都可以提出或多或少的問題。如帶余除法定理課后，提問整數(shù)有沒有相應的定理？怎么描述？講完極大線性無關組后，提問有沒有極大線性相關組？二三級行列式了解之后，一級行列式怎么表達？這些問題起到的只是拋磚引玉的作用，以此來教會同學們如何找問題，如何提問題。

3 利用課間與同學們談心了解同學情況

上中學時，老師要每天看自習，看著大家學習，同學們有什么思想問題和學習問題都能夠及時解決。而到了大學，老師不可能每天都跟學生在一起，特別是任課老師。所以，利用課間休息時間與同學們聊天是一個不錯的方法。做老師的可以主動跟同學聊，了解同學的同時對自己的教學也是大有幫助的。課間師生的聊天可以是生活中的問題，可以是思想問題，當然更重要的是鼓勵同學們提學習上的問題，這些問題的提出對我們的教學也是很有益處的，也就是利用下課時間很隨意的與同學們討論問題。例如，有一節(jié)課快下課時，我提出問題：既然整除的定義是：對多項式f(x),g(x)，如果存在同一個數(shù)域上的多項式h(x)，使得：f(x)=g(x)g(x)，那么，g(x)整除f(x)。那么0是不是整除0？請同學們思考。同學們討論的非常熱列，有人認為，0不能做分母，因此不能整除。我請同學認真看定義，只要滿足等式f(x)=g(x)h(x)，就整除f(x)，那么等式0=0·h(x)不成立嗎？這樣0整除0自然就成立了。通過這些看似隨意的提問與討論，逐漸地培養(yǎng)了同學們積極、向上、勤奮、好學的學習氛圍，同學們在不知不覺中喜歡上老師的課，喜歡上自己的專業(yè)。

大一新生的專業(yè)課老師不僅要教書育人，同時擔負著還未成熟，又渴望成熟，還在成長又渴望指點的同學們的重任，幫助同學們盡快由中學到大學的角色轉換是一件長期而艱巨的任務。

[1]王玉行.高等代數(shù)教學對學生形成和發(fā)展數(shù)學品質的意義及教學策略[J].數(shù)學教育學報,2007，(3).

[2]梁登峰,劉福林.關于高等代數(shù)課程教學改革和教學實踐的幾點體會[J].大學數(shù)學,2013，(5).

[3]劉小川,何美.高等代數(shù)教學方法的探討[J].大學數(shù)學，2013，(1).

[4]蔣華，劉興燕.師范院?！陡叩却鷶?shù)》教學改革的思考與實踐[J].宜賓學院學報，2013，(6).

[5]葉立軍,斯海霞.代數(shù)課堂教學中教師的評價行為研究[J].教育理論與實踐，2011，(3).

[6]耿俊,鄧勇.高等代數(shù)課程教學要義探析[J].高師理科學刊，2012，(3).

[7]北京大學數(shù)學系前代數(shù)小組.高等代數(shù)·第四版[M].北京；高等教育出版社，2013.

[8]張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1999.

[9]王萼芳.高等代數(shù)[M].北京；高等教育出版社，2009.

[10]黎克麟，宋乾坤，郭發(fā)明.高等代數(shù)教學分析與研究[M].成都：四川大學出版社，2004.

[責任編輯：Z]

2015-07-10

郭亞梅(1963-)，女，副教授，主要從事基礎數(shù)學方面的教學研究。

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