在反函數(shù)法求函數(shù)值域時應(yīng)注意的一個問題

夏金亮

摘要：對于函數(shù)值域問題的討論是初等數(shù)學(xué)中最基本也是最重要的問題。其重要之處在于這類問題研究的是函數(shù)基本概念，它與各類重要函數(shù)、反函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、不等式、最值和導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容有著密切的聯(lián)系。對認(rèn)知函數(shù)以及后面的相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)有著非凡的意義，所以求函數(shù)的值域也成為各類考試的熱門知識點(diǎn)。本文將對求函數(shù)值域時使用反函數(shù)法應(yīng)注意的問題作出討論。

關(guān)鍵詞：反函數(shù)法;函數(shù);值域

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)及其反函數(shù)后知道：如果函數(shù)y=f（x）具有反函數(shù)y=f-1（x），那么原函數(shù)y=f（x）的定義域和值域分別是它的反函數(shù)y=f-1（x）的值域和定義域。在求一個有反函數(shù)的函數(shù)值域時，有的學(xué)生用求反函數(shù)的定義域的方法來求，且常把使反函數(shù)表示式有意義的一切x值當(dāng)作反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。這種提法，一般是說“反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域，因此，求出反函數(shù)，再求出反函數(shù)的定義域，這就是原來函數(shù)的值域”。例如“例1，求y=7x+2（x≠-2）的值域”，那么許多學(xué)生將使用以下方法：

“∵y=7x+7（x≠2）的反函數(shù)為y=7-2xx（x≠0），

∴y=7x+2（x≠2）的值域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）”。

這個結(jié)果雖然正確，但是其簡答的方法卻又邏輯上的錯誤。

其錯誤在什么地方呢？我們知道，一個函數(shù)y=f（x）如果存在反函數(shù)，其反函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=f-1（x）一般可以由y=f（x）求出，但反函數(shù)的定義域并不一定是使表達(dá)式y(tǒng)=f-1（x）有意義的一切x的值的集合，此定義域應(yīng)由原函數(shù)y=f（x）的值域確定。因此要求反函數(shù)的定義域，一般都需要先求出原函數(shù)的值域，而不應(yīng)該反過來又把使反函數(shù)表達(dá)式有意義的x值的集合當(dāng)作原函數(shù)的值域。如果這樣，將會得出錯誤的結(jié)果。如例2“求出y=16-x2（0≤x≤4）的值域”，采用上述方法得其反函數(shù)的表達(dá)式為y=16-x2，使式子有意義的x的值的集合為-4，4，若將其當(dāng)作原函數(shù)y=16-x2（0≤x≤4）的值域顯然是不正確的。

那么對于例1使用上述方法解答的結(jié)果為什么會正確呢？在什么情況下使反函數(shù)表達(dá)式有意義的一切x值的集合恰好是原函數(shù)的值域？對于這個問題，編者認(rèn)為下面的定理對其作出了完整的解釋：

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域A是使表達(dá)式y(tǒng)=f（x）有意義的一切x的值的集合，其反函數(shù)的表達(dá)式為y=g（x），如果使表達(dá)式y(tǒng)=g（x）有意義的一切x值的集合為B0值域?yàn)锳0，且存在g：B0→A0是一一映射，那么B0就是原函數(shù)y=f（x）的值域B。

證明：對于任意的b∈B，有a∈A，使得f（a）=b

∵f有逆映射g，故有g(shù)（b）=a，∴b∈B0，即有BB0。

現(xiàn)任取b0∈B0，則存在a0使得g（b0）=a0，由于g：B0→A0是一一映射，其逆映射確定的函數(shù)應(yīng)為y=f（x），（x∈A0 ），故有f（a0）=b0，其中a0∈A0，由于A是使表達(dá)式y(tǒng)=f（x）有意義的一切x的值的集合，∴A0A，∴a0∈A，于是由f（a0）=b0知b0∈B

∴BB0

綜上所述知B=B0，證畢。

現(xiàn)在我們回頭看看前面所提到的例1，例2兩個小題：

在y=7x+2（x≠-2）中，其定義域是使表達(dá)式有意義的一切x的值的集合，其反函數(shù)的表達(dá)式是y=7-2xx（x≠0）即y=-2+7x（x≠0），此表達(dá)式在（-∞，0）∪（0，+∞）內(nèi)（即使得式子有意義的x值的集合內(nèi)）是一一映射確定的函數(shù)，故由定理可知道原函數(shù)y=7x+2（x≠-2）的值域恰好為（-∞，0）∪（0，+∞）。

而對于函數(shù)y=16-x2（0≤x≤4）來說，其定義域不是使式子有意義的一切x值的集合，其反函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=16-x2在其有意義的x值的集合-4，4上也不是一一映射確定的函數(shù)。顯然不能把-4，4當(dāng)作原函數(shù)的值域。

因此對于利用反函數(shù)求函數(shù)值域這一方法必須在學(xué)生對于函數(shù)一一對應(yīng)關(guān)系以及逆映射等概念有充分理解掌握的前提下進(jìn)行講解，并對于那些類型函數(shù)值域求值不適合使用此反函數(shù)求值法給出例題解說。另外求原函數(shù)的反函數(shù)時，同學(xué)們往往容易出現(xiàn)偏差，而影響求原函數(shù)的值域，這也是要十分注意的一個問題。

例3、求出函數(shù)y=x+x2-3x+2的值域。

解：y=x+x2-3x+2

∴（y-x）2=x2-3x+2

y2+x2-2xy=x-3x+2

x=2-y23-2y，y≠32

函數(shù)的值域?yàn)?∞，32∪32，+∞。

顯然，在以上的解法中，也是沒有考慮函數(shù)y=x+x2-3x+2的定義域?yàn)?∞，1或2，+∞，就直接對原函數(shù)進(jìn)行“兩邊平方”，進(jìn)而造成結(jié)論的錯誤。正確解法：y-x=x2-3x+2≥0，∴y-2-y23-2y≥0，則y≥2或1≤y≤32，即求出原函數(shù)值域。

由上述例題可見，在使用求反函數(shù)的定義域來求原函數(shù)的值域時，對于原函數(shù)的定義域的多樣性我們必須要有清晰的認(rèn)知和理解，而準(zhǔn)確無誤的求出原函數(shù)的反函數(shù)是使用反函數(shù)法求原函數(shù)值域的關(guān)鍵問題。

（作者單位：凱里學(xué)院）endprint