不等式約束平差在GPS數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

李 鵬

(1.重慶市勘測(cè)院，重慶 400020； 2.重慶巖土技術(shù)研究中心，重慶 400020)

。

minf(x),x∈R。

。

cT=[0.]0104 0.1894 -0.4157 0.1781〗。

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不等式約束平差在GPS數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

李 鵬1,2

(1.重慶市勘測(cè)院，重慶 400020； 2.重慶巖土技術(shù)研究中心，重慶 400020)

結(jié)合實(shí)例說(shuō)明了應(yīng)用不等式約束平差對(duì)GPS數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的方式，并分析了近似求解統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的過(guò)程，指出在解決不等式約束最小二乘問(wèn)題時(shí)，采用MATLAB的優(yōu)化工具箱進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果可靠，同時(shí)減少了繁瑣的編程工作。

不等式約束平差，凝聚約束法，最優(yōu)化，GPS數(shù)據(jù)處理

0 引言

在非線性規(guī)劃中，一種特殊的處理多約束問(wèn)題的方法稱為代理約束方法，該方法是將多個(gè)約束化為一個(gè)代理約束，該代理約束是原多個(gè)約束的加權(quán)和，權(quán)系數(shù)非負(fù)、和為1。用原約束集的最大約束作為代理約束，可以證明這兩種方案的可行域完全一致。根據(jù)最大熵原理，導(dǎo)出了能夠逼近最大約束的可微凝聚函數(shù)。在原約束集中，至少有一個(gè)約束將是“緊”約束 (active constraint)，因此，作為不等式的凝聚函數(shù)約束就變?yōu)榈仁健Ｒ蚨?，具有不等式約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題就變成了具有等式約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題，且得到了深入的研究與應(yīng)用。本文也將用該方法來(lái)研究不等式約束最小二乘問(wèn)題。

1 最優(yōu)化問(wèn)題

最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型一般形式為：

根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的不同要求，最優(yōu)化模型有不同的形式，但經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q都可以轉(zhuǎn)換成上述一般的形式。只要在問(wèn)題中存在任何約束條件，就稱為約束最優(yōu)化問(wèn)題。只有等式約束時(shí)該一般式稱為等式約束最優(yōu)化問(wèn)題。只有不等式約束時(shí)，該一般式稱為不等式約束最優(yōu)化問(wèn)題。如果既有等式約束，又有不等式約束，則稱為混合約束問(wèn)題。如果問(wèn)題中無(wú)任何約束條件，則稱為無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題。

無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：

minf(x),x∈R。

2 凝聚函數(shù)方法

求非線性規(guī)劃問(wèn)題最優(yōu)解的方法較多，常用的有單純形方法、最小最大解法、貝葉斯解法等。這些方法均存在明顯的缺陷。本文著重介紹另一種方法：凝聚函數(shù)法。

非線性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：

(1)

式(1)可表示為帶一個(gè)不光滑約束的優(yōu)化問(wèn)題，其數(shù)學(xué)模型為：

(2)

3 應(yīng)用實(shí)例

該例子中的已知數(shù)據(jù)是經(jīng)過(guò)GPS預(yù)處理后的高程數(shù)據(jù)，其約束條件既有不等式約束B0x-d0=w≤0，也有區(qū)間約束-0.1≤xi≤2(i=1,2,3,4)。表1列出了本例的已知數(shù)據(jù)。我們將在MATLAB環(huán)境下，采用凝聚函數(shù)法進(jìn)行最小二乘求解。

表1 已知數(shù)據(jù)和殘差

3.1 MATLAB優(yōu)化工具箱簡(jiǎn)介

MATLAB是由美國(guó)MathWorks公司推出的用于數(shù)值計(jì)算和圖形處理的科學(xué)計(jì)算系統(tǒng)環(huán)境。在MATLAB環(huán)境下,使用者可以方便地進(jìn)行程序設(shè)計(jì)、數(shù)值計(jì)算、圖形繪制、數(shù)據(jù)的輸入輸出、文件管理等各項(xiàng)操作。

優(yōu)化工具箱(Optimization Toolbox)位于安裝目錄下optim目錄下，用于解決函數(shù)的極值問(wèn)題或設(shè)計(jì)參數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題。在簡(jiǎn)單情況下，優(yōu)化問(wèn)題可以是隨自變量x變化系統(tǒng)參數(shù)的極大或極小值；在復(fù)雜情況下，是構(gòu)筑滿足不等式約束或參數(shù)約束的極大值目標(biāo)函數(shù)f(x)。

3.2 在MATLAB環(huán)境下應(yīng)用凝聚函數(shù)法

1)新建一個(gè)M文件，定義目標(biāo)函數(shù)myfun=(Ax-y)TP(Ax-y)。具體的定義如下M文件：

function f=myfun(x);

f=(……); %輸入已知數(shù)據(jù)%

2)同上建立一個(gè)約束函數(shù)的M文件:

function [c,]ceq〗=confun2(x);

c=log(exp(1000000*(0.2027*x(1)+0.2721*x(2)+0.7467*x(3)+0.4659*x(4)-0.5251))+exp(1000000*(0.1987*x(1)+0.1988*x(2)+0.4450*x(3)+0.4186*x(4)-0.2026))+exp(1000000*(0.6037*x(1)+0.0152*x(2)+0.9318*x(3)+0.8462*x(4)-0.6721)))/1000000;

ceq=;

3)運(yùn)行如下命令：

[x,] fval〗 =fmincon(@myfun,[0]0 0 0〗,,,,,[-0].1 -0.1 -0.1 -0.1〗,[2 ]2 2 2〗,@confun2,options)按回車得如下結(jié)果：

Warning:Large-scale (trust region) method does not currently solve this type of problem,switching to medium-scale (line search).

>In fmincon at 260

Optimization terminated: magnitude of directional derivative in search

direction less than 2*options.TolFun and maximum constraint violation is less than options.TolCon.

Active inequalities (to within options.TolCon = 1e-006)：

Lower upper ineqlin ineqnonlin 1

x =

-0.1000 -0.1000 0.2137 0.3518

fval =

0.1673

其計(jì)算方法和步驟如下：

>>A=[0.]951 0.7602 0.6153 0.4057;0.2311 0.4564 0.7919 0.9354;0.6088 0.0185 0.9218 0.9169;0.4859 0.8214 0.7382 0.4102;0.8912 0.4447 0.1762 0.8936〗；%輸入系數(shù)矩陣A%

>> Q=(A'*A)^(-1) %計(jì)算方差協(xié)方差陣%

Q=

經(jīng)計(jì)算:

cT=[0.]0104 0.1894 -0.4157 0.1781〗。

c=[0.]0104;0.1894;-0.4157;0.1781〗;

n=[2.]4016 -1.5548 0.4490 -1.3688;

q=n^(-1)-((c'*n^(-1)*c)^(-1))*(n^(-1))*c*c'*n^(-1)

3.3 小結(jié)

整理以上計(jì)算結(jié)果，見(jiàn)表2。

表2 計(jì)算結(jié)果

由表2中數(shù)據(jù)可知，凝聚函數(shù)法不僅能得到最小二乘解，還提供了計(jì)算并研究有關(guān)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的途徑。

4 結(jié)論

凝聚函數(shù)方法等式約束轉(zhuǎn)換成一個(gè)等式約束，使解能夠表示為觀測(cè)的明顯不等式。其有關(guān)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)與最優(yōu)性的結(jié)論如下：

1)不等式約束最小二乘估計(jì)能夠表示為觀測(cè)的明顯表達(dá)式，是無(wú)偏估計(jì)；

2)解的方差協(xié)方差具有比無(wú)約束最小二乘解更小的方差；

3)凝聚函數(shù)方法是一種計(jì)算不等式約束最小二乘問(wèn)題并研究其統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的有效方法。

另外，本文采用MATLAB進(jìn)行計(jì)算，在矩陣計(jì)算方面顯示了其優(yōu)越性，而測(cè)量數(shù)據(jù)處理中用得最多的就是矩陣計(jì)算，所以在進(jìn)行測(cè)量平差處理時(shí)，可以多采用MATLAB工具。

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[2]武漢測(cè)繪科技大學(xué)測(cè)量教研室.測(cè)量平差基礎(chǔ).北京：測(cè)繪出版社,1996.

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[4]袁亞湘.非線性規(guī)劃的數(shù)值方法.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1993.

[5]李興斯.解非線性規(guī)劃的凝聚函數(shù)法.中國(guó)科學(xué)(A輯)，1991(12)：1283-1288.

[6]唐渙文，張立衛(wèi).凸規(guī)劃的極大熵方法.科學(xué)通報(bào)，1994，39(8)：682-684.

Application of adjustment with inequality-constrained for GPS data processing

Li Peng1，2

(1.ChongqingSurveyInstitute,Chongqing400020,China；2.ChongqingGeotechnicalTechnologyResearchCenter,Chongqing400020,China)

Combining with the example, the paper indicates the treatment of GPS data by adopting inequality-constrained adjustment, analyzes the process for the similar solution of statistic properties, adopts its problems, adopts the optimal tool box of MATLAB, and proves by the result that it is reliable and reduces complicated programming.

adjustment with inequality-constrained, condensed constrained method, optimization, GPS data treatment

1009-6825(2015)01-0207-03

2014-10-25

李 鵬(1988- )，男，助理工程師

TU198

A