現(xiàn)代計(jì)算機(jī)軟件在壓力容器計(jì)算上的應(yīng)用

于 暉 張 莉 姚 迪

(中國(guó)核電工程有限公司，北京 100840)

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現(xiàn)代計(jì)算機(jī)軟件在壓力容器計(jì)算上的應(yīng)用

于 暉 張 莉 姚 迪

(中國(guó)核電工程有限公司，北京 100840)

在經(jīng)典彈性力學(xué)的基礎(chǔ)上，將現(xiàn)代化的計(jì)算機(jī)軟件(MAPLE，MATLAB和ANSYS)運(yùn)用到柱狀容器在軸對(duì)稱溫度場(chǎng)作用下的熱應(yīng)力計(jì)算中，并將三種計(jì)算機(jī)軟件獲得的計(jì)算結(jié)果與經(jīng)典彈性力學(xué)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果顯示：現(xiàn)代計(jì)算機(jī)軟件的計(jì)算結(jié)果與經(jīng)典彈性力學(xué)的計(jì)算結(jié)果非常吻合，可以有效的提高計(jì)算的效率和精度。

MAPLE，MATLAB，ANSYS，柱狀容器，高溫作用

0 引言

本文將在經(jīng)典彈性力學(xué)[1,2]的基礎(chǔ)上結(jié)合現(xiàn)代計(jì)算中的解析解軟件(MAPLE，MATLAB)和仿真計(jì)算軟件(ANSYS)進(jìn)一步討論完善關(guān)于柱狀容器在軸對(duì)稱溫度場(chǎng)作用下的熱應(yīng)力計(jì)算與分析，其中的MAPLE和MATLAB適用于解析解計(jì)算而ANSYS適用于有限元仿真計(jì)算。為柱狀容器的計(jì)算提供便捷、可信的計(jì)算方法和途徑。

1 柱狀容器的受力分析

柱狀容器在溫度作用下(假設(shè)內(nèi)部溫度高于外部溫度)，主要承受環(huán)向應(yīng)力σθ、徑向應(yīng)力σr和豎向應(yīng)力σz的作用(見圖1)。

由文獻(xiàn)可知同性同向材料(E，υ)的物理方程如下所示：

(1)

(2)

(3)

幾何變形方程：

(4)

將式(2)求導(dǎo)后可得：

(5)

將式(1),式(2)，式(5)代入到式(4)中，得到最終的變形公式如下：

(6)

柱狀容器的平衡方程如下：

(7)

由此，我們可以獲得由變形方程(6)與平衡方程(7)的方程組。

關(guān)于溫度場(chǎng)的計(jì)算可以參考文獻(xiàn)中提供的公式，即：

(8)

其中,Ta,Tb分別為厚壁柱狀容器的內(nèi)壁和外壁溫度。

方程組所對(duì)應(yīng)的邊界條件為：在高溫作用下柱狀容器內(nèi)壁和外壁的徑向受力為零。

通過上述計(jì)算公式的推導(dǎo)，將工程結(jié)構(gòu)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程組的求解，由此我們可以通過現(xiàn)代計(jì)算機(jī)軟件MAPLE和MATLAB快速、高效的解決此類計(jì)算。

柱狀容器在軸對(duì)稱溫度場(chǎng)作用下的應(yīng)力平面分析圖見圖1。

圖1中，a，b分別為筒體的內(nèi)、外半徑;r0為彈性狀態(tài)下的中性層半徑;T(r)，T分別為溫度場(chǎng)，溫度;E為彈性狀態(tài)下的彈性模量;υ為彈性狀態(tài)下的泊松比;σr(r)為彈性狀態(tài)下的徑向應(yīng)力;σθ(r)為彈性狀態(tài)下的環(huán)向應(yīng)力;σz(r)為彈性狀態(tài)下的豎向應(yīng)力。

2 軟件MAPLE的計(jì)算結(jié)果

MAPLE是Wsterloo公司推出的一種計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，是目前廣泛使用的數(shù)學(xué)計(jì)算工具之一，MAPLE不但可以進(jìn)行簡(jiǎn)單的加、減、乘、除計(jì)算，還可以求解代數(shù)方程和微分方程及方程組。

為方便計(jì)算，首先把方程組中的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為MAPLE能夠識(shí)別的數(shù)學(xué)符號(hào)，即：sigmar(r):=x(r)，sigmat(r):=y(r)；其次調(diào)用MAPLE中自帶的軟件包和可用于求解微分方程組的相關(guān)命令，同時(shí)將已知的參數(shù)(常數(shù))以及邊界條件代入方程組中，具體的程序如下所示：

>V:=0.1;

>alpha:=10^(-5);

>PDEtools[de]clare〗((x, y)(r),prime=r);

sigmar(r):=x(r),sigmat(r):=y(r)

>sys0:=diff(x(r),r)+(x(r)-y(r))/r=0,diff((1-V*V)*y(r)/E-(V+V*V)*x(r)/E+(1+V)*alpha*(100*ln(84/r)/ln(84/55)+50*ln(55/r)/ln(55/84)), r)+(y(r)-x(r))*(1+V)/(r*E)=0;

>init0:=x(55)=0,x(84)=0;

>sol0:=dsolve([sy]s0,init0〗);

>r:=55;E:=5.27*10^5;

>map(simplify,sol0);

>simplify(map(simplify,sol0),′assume=real′);

x(5.50*10)=-4.34*10-6,y(5.50*10)=-1.67*102,

最后的計(jì)算結(jié)果顯示：當(dāng)r=55 cm時(shí)，σr=-4.34×10-5=0,σθ=-16.7 MPa,不同半徑的應(yīng)力計(jì)算結(jié)果見表2。

3 軟件MATLAB的計(jì)算結(jié)果

MATLAB源于Matrix Labortary，即矩陣實(shí)驗(yàn)室，其內(nèi)部豐富的函數(shù)庫(kù)可以方便的實(shí)現(xiàn)用戶各種科學(xué)計(jì)算和數(shù)據(jù)處理功能。MATLAB與MAPLE擁有相同的數(shù)值庫(kù)(即數(shù)值計(jì)算引擎)，但是MAPLE多用于符號(hào)計(jì)算，而MATLAB更多用于數(shù)值計(jì)算。

MATLAB計(jì)算時(shí)，采用的是“龍格—庫(kù)塔(Runge-Kutta)”計(jì)算方法，這種計(jì)算方法源于“泰勒公式”和“使用斜率近似表達(dá)微分”，它在積分區(qū)間內(nèi)計(jì)算幾個(gè)點(diǎn)的斜率，然后進(jìn)行加權(quán)平均，用作下一個(gè)點(diǎn)的依據(jù)，從而構(gòu)造出精度更高的數(shù)值積分的計(jì)算方法。根據(jù)MATLAB計(jì)算軟件的要求，將方程組改寫為可用于MATLAB計(jì)算的數(shù)學(xué)表達(dá)式，同時(shí)調(diào)用MATLAB內(nèi)部的ODE45函數(shù)，并假設(shè)σθ(55)=c，具體程序如下：

syms c;%假設(shè)未知函數(shù)為c

delta1=’-(delta(1)-delta(2))/r’;

delta2=’-7.598750156*10^(-8)*(-1.316005895*10^7*delta(1)+1.316005895*10^7*delta(2)-9.098280761*10^9)/r’;

QQ=ode45YUHUI([‘[]‘,delta1,’,’,delta2,’〗’〗,’r’,’delta’,[0,]c〗,[55]∶0.1∶84〗,0);

通過計(jì)算可以得到不同位置上含有未知參數(shù)c的環(huán)向應(yīng)力σθ(c)和徑向應(yīng)力σr(c)，如表1所示，其中r=84 cm的計(jì)算結(jié)果如下：

σr|r=84=0.285 6×c+47.648 29;

σθ|r=84=0.714 35×c+245.129 48。

表1 MATLAB含有未知參數(shù)c的計(jì)算結(jié)果

4 軟件ANSYS的計(jì)算結(jié)果

ANSYS與MTALAB，MAPLE的主要區(qū)別在于：MTALAB和MAPLE適用于數(shù)值計(jì)算(主要包括：普通數(shù)學(xué)計(jì)算、微積分計(jì)算、方程組的計(jì)算等等)，而ANSYS主要是通過建立實(shí)體模型模擬各種荷載工況下獲得的計(jì)算結(jié)果。

由于柱狀容器屬于軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，在計(jì)算中選用軸對(duì)稱單元PLANE77，對(duì)應(yīng)的材料參考在MAPLE和MATLAB中的取值。計(jì)算步驟為：1)建模(見圖2a))；2)劃分網(wǎng)格(見圖2b))；3)施加溫度荷載；4)通過計(jì)算獲得溫度場(chǎng)(見圖2c))；5)將熱分析單元轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)單元；6)將已獲取的溫度場(chǎng)作為荷載；7)對(duì)柱狀容器施加軸對(duì)稱約束；8)完成計(jì)算獲得各個(gè)位置上的環(huán)向應(yīng)力σθ和徑向應(yīng)力σr(見圖2d)，圖2e)，表2以及圖3)。

表2 柱狀容器在溫度作用下通過不同計(jì)算方法獲得的計(jì)算結(jié)果

通過表2和圖3的數(shù)據(jù)對(duì)比可知：現(xiàn)代計(jì)算軟件可以完成柱狀容器在溫度作用下的計(jì)算，其中，利用MAPLE和MATLAB獲得的解析解計(jì)算結(jié)果與經(jīng)典彈性力學(xué)給出的計(jì)算結(jié)果完全一致，而通過有限元法(ANSYS)獲得的計(jì)算結(jié)果與解析解獲得的計(jì)算結(jié)果也相差不大，符合計(jì)算的要求。

5 結(jié)語(yǔ)

本文闡述了不同計(jì)算軟件(MATLAB，MAPLE，ANSYS)對(duì)由同性同向材料組成的柱狀容器在高溫作用下的計(jì)算方法與結(jié)果分析，計(jì)算結(jié)果顯示現(xiàn)代計(jì)算機(jī)軟件與經(jīng)典彈性力學(xué)的計(jì)算結(jié)果非常吻合，并且驗(yàn)證了理論解析解與有限元計(jì)算的正確性，符合計(jì)算的要求?，F(xiàn)代計(jì)算機(jī)軟件可以高效、精確的完成計(jì)算，在此基礎(chǔ)上為以后更深入的研究由各項(xiàng)異性材料組成的柱狀容器在高溫、高壓、核輻射以及地震等作用下的線性與非線性計(jì)算提供可靠的依據(jù)和計(jì)算方法。

[1]王瑞富，陳國(guó)榮.溫度場(chǎng)和溫度應(yīng)力.北京:科學(xué)出版社,2004.

[2]Лехницкий С. Г. Анизотропная теория упругости. / С.Г. Лехницкий.М.Наука,1977：415 c.

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[6]辛文彤,李志尊,胡仁喜.ANSYS13.0熱力學(xué)有限元分析從入門到精通.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2011.

Modern computer software used in the calculation of the pressure vessel

Yu Hui Zhang Li Yao Di

(ChinaNuclearPowerEngineeringCo.,Ltd,Beijing100840,China)

According to the classical elasticity mechanics, this paper uses three different kinds of modern computer software (MAPLE,MATLAB, and ANSYS) to simulate and investigate the thermal stress of cylindrical vessel under the axisymmetric temperature field. The comparison results of numerical methods with the classical elasticity mechanics method showe that calculation results of numerical methods agree well with the theoretical results and modern computer software can effectively improve the efficiency and accuracy of calculation of pressure vessels.

MAPLE, MATLAB, ANSYS, cylindrical vessel, high temperature effect

1009-6825(2015)01-0043-03

2014-10-28

于 暉(1983- )，男，博士，工程師； 張 莉(1988- )，女，碩士，助理工程師； 姚 迪(1983- )，男，碩士，工程師

TP316

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