基于降維四元旋轉不變子空間算法的波達角估計

趙繼超 陶海紅 高志奇

（西安電子科技大學 雷達信號處理國家重點實驗室，陜西 西安710071）

引 言

由同點配置的二維矢量天線組成的極化敏感傳感器陣列在對極化信號進行波達角（Direction of Arrival，DOA）估計時，傳統(tǒng)做法是將各個相互正交的天線分量的接收數(shù)據(jù)按照陣列空間維數(shù)排列展開，形成一個長的數(shù)據(jù)矢量，即長矢量（Long Vector，LV）數(shù)據(jù)模型.這種模型忽略了天線分量間的正交關系，針對長矢量模型的不足，國內外學者將極化敏感陣列接收數(shù)據(jù)模型從復數(shù)域拓展為超復數(shù)域，開始研究四元數(shù)模型下極化敏感傳感器陣列的參數(shù)估計.

四元數(shù)模型相較于復數(shù)模型多了兩個虛部，使得四元數(shù)模型能更好地表征極化敏感陣列接收數(shù)據(jù)的正交性.文獻［1］詳細闡述了四元數(shù)的基本運算以及四元數(shù)矩陣奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）的實現(xiàn)，為四元數(shù)模型在極化敏感陣列信號處理中的應用奠定了數(shù)學基礎.由于多重信號分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法是基于信號子空間和噪聲子空間正交性實現(xiàn)超分辨DOA估計，而四元數(shù)模型相比復數(shù)模型包含了更多的數(shù)據(jù)正交信息，所以Sebastian Miron等學者于2006年在文獻［2］中首次提出了基于二分量極化敏感陣列，四元數(shù)模型下的MUSIC（Quaternion MUSIC，Q-MUSIC），仿真結果充分地說明了四元數(shù)模型在極化敏感陣列信號處理中的優(yōu)勢，文獻［3］又針對六分量全電磁矢量傳感器，將四元數(shù)擴展到雙四元數(shù)，提出了雙四元數(shù)模型下的MUSIC（Biquaternions MUSIC，BQ-MUSIC）算法，文獻［4］又在雙四元數(shù)的基礎上，將四四元數(shù)模型應用在全電磁矢量陣列DOA估計中，提出了四四元數(shù)MUSIC（Quad-quaternion MUSIC，QQ-MUSIC）算法，但是上述三種算法均需要四維譜峰搜索，運算量十分巨大，實時性差，不適用于實際場合應用.陶建武等人［5-7］在極化敏感陣列參數(shù)估計方面做了很多的研究，針對四元數(shù)模型下四維譜峰搜索運算量大的問題，在文獻［6-7］中提出了降維Q-MUSIC算法，將四維譜峰搜索降低為兩次二維譜峰搜索，有效地降低了運算量.文獻［8］提出了由二維矢量天線組成的均勻線陣（Uniform Linear Array，ULA）的長矢量旋轉不變子空間算法（Long Vector Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques，LV-ESPRIT），文獻［9］在文獻［8］的研究基礎上加入了四元數(shù)模型，提出了四元數(shù)ESPRIT（Quaternion ESPRIT，Q-ESPRIT）算法，無需譜峰搜索就可以實現(xiàn)DOA和極化信息的估計，但是該算法和文獻［7］所提算法存在同樣的問題，需要提前已知入射信號的方位角或者俯仰角，否則無法構造極化域的旋轉不變性估計信號極化信息.文獻［6-9］都是基于傳統(tǒng)同點配置的二維矢量天線組成的ULA，在四元數(shù)模型下，利用Q-MUSIC和QESPRIT在求解接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣時，均會出現(xiàn)“四元數(shù)模型相干”問題，該問題在文章的第2部分會細述，這將導致四元數(shù)正交信息的丟失，以及信號極化信息的估計失敗，文獻［7］雖然發(fā)現(xiàn)了該問題，但是卻沒有提出該問題的有效解決方法，而是通過傳統(tǒng)長矢量方法去估計信號的極化信息.

本文選取的極化敏感陣列是在由共點配置正交小磁環(huán)-短偶極子（Co-centered Orthogonal Loop and Dipole，COLD）天線組成的ULA的基礎上，添置一個嚴格指向z軸的短偶極子天線，采用新增天線接收數(shù)據(jù)與原始ULA接收數(shù)據(jù)的互相關矩陣代替?zhèn)鹘y(tǒng)的ULA接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，有效地解決了“四元數(shù)模型相干”問題，卻同時損失了信源數(shù)減一個陣列的孔徑信息，孔徑損失問題在文章第3部分具體講述，由于新算法充分利用了四元數(shù)模型的正交信息和四元數(shù)的結構特點，不僅提高了估計精度，而且實現(xiàn)了無需已知信號的方位角或者俯仰角，僅通過一次特征值分解（Eigenvalue Decomposition，EVD）就能夠估計入射信號的DOA和極化信息，運算量更低.

符號定義：Η，C和R分別表示四元數(shù)域，復數(shù)域和實數(shù)域；（·）?，（·）-1，（·）H和（·）＊分別表示廣義逆，矩陣求逆，共軛轉置和共軛運算；表示Α的估計值；arg（·）表示取角度運算；Re（·），（·）i，（·）j和（·）k分別表示取四元數(shù)的實部，i部，j部和k部.

1 四元數(shù)及相關運算

四元數(shù)是由Hamilton于1843年提出的一種四維超復數(shù)，四元數(shù)h由一個實部和三個虛部組成：h＝a＋bi＋cj＋dk，其中a，b，c，d∈R，虛部i，j，k滿足：

簡要介紹下本文用到的四元數(shù)基本運算，定義四元數(shù)h的共軛h＊為h＊＝a-bi-cj-dk.

設兩個四元數(shù)h1和h2分別為h1＝a1＋b1i＋c1j＋d1k和h2＝a2＋b2i＋c2j＋d2k，兩個四元數(shù)相乘取共軛可以表示為（h1h2）＊＝；特別注意的是四元數(shù)的乘法不滿足乘法交換律：h1·h2≠h2·h1；四元數(shù)的除法也不滿足交換律：h1h2／h2＝h1，h1h2／h1≠h2.

2 四元數(shù)模型相干問題

假設有M個彼此獨立的遠場窄帶完全極化信號，極化敏感陣列是由N個COLD天線組成的ULA，短偶極子嚴格指向x軸，小磁環(huán)的法線嚴格指向z軸，如圖1所示.

圖1 傳統(tǒng)COLD組成的ULA

在四元數(shù)模型下，極化敏感陣列接收數(shù)據(jù)矩陣可以表示為

式 中：接 收 數(shù) 據(jù) 矩 陣x（t）＝［x1（t），x2（t），…，xN（t）］T，x（t）∈H；陣元空間相移矩陣Q（θ，φ）＝［q（θ1，φ1），…，q（θM，φM）］，q（θm，φm）＝［1，ejβm，ej2βm，…，ej（N-1）βm］T為第m個信號的陣元空間相移矢量，是入射信源的波長，陣元間距d＝λ／2；極化-角度域導向矩陣ψ＝diag｛ψ1，…，ψM｝，ψm＝hzm＋i exm為第m個信號的極化-角度域導向矢量四元數(shù)表示，exm＝cos φmcosθmsinγmejηm-sinφmcosγm，hzm＝sinθmcos γm，其中，φm∈［0，2π）、θm∈［0，π］、γm∈［0，π／2］、ηm＝［-π，π）分別是第m個信號的方位角、俯仰角、極化 輔 角 和 極 化 相 位 差［10］；s（t）＝［s1（t），…，sM（t）］T為信號矢量；n（t）＝nz（t）＋i nx（t）表示四元數(shù)模型下空間加性高斯白噪聲，假設矢量傳感器接收的每個噪聲分量彼此獨立且功率均為σ2.

在四元數(shù)模型下，極化敏感陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

噪聲矢量協(xié)方差矩陣Rn＝2σ2I，假設信號為彼此獨立的遠場窄帶完全極化信號，信號矢量協(xié)方差矩陣Rs是一個實對角矩陣，即Rs＝diag｛ps1，ps2，…，psM｝，對角線元素表征了入射信號的功率，則Z可以表示成

式中‖ψ‖2＝diag｛｜ψ1｜2，…，｜ψM｜2｝.Z為一個實對角矩陣，即接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣R∈C，在四元數(shù)模型下，第m個信號的極化-角度域導向矢量ψm＝hzm＋i exm，實部和虛部i表征了空間彼此正交的小磁環(huán)和偶極子天線接收數(shù)據(jù)的方向信息，但是經(jīng)過自相關運算后只剩下模值信息，用四元數(shù)的實部和虛部表征的方向信息已經(jīng)丟失，本文將這種接收數(shù)據(jù)x（t）∈H的協(xié)方差矩陣R∈C，丟失了四元數(shù)模型正交信息的情況稱為“四元數(shù)模型相干”問題.

對式（1）進行簡單的分析，便可以清楚地得知同點配置正交小磁環(huán)-短偶極子二維矢量天線組成的均勻線陣出現(xiàn)“四元數(shù)模型相干”的原因：由于正交小磁環(huán)-短偶極子二維矢量天線是空間共幾何中心分布的，使得信號的極化-角度域導向矢量類似于是空間相位因子的公共系數(shù)，使得在求解接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣時只能得到極化-角度域導向矢量的模值，沒有充分利用四元數(shù)的正交方向信息；另一方面，極化-角度域導向矢量的模值在接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣中可以當作是入射信號的幅度信息，這將直接導致對接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣做特征分解時，極化信息被包含在特征值中，特征向量不包含極化信息，因此目前基于共點配置的二分量極化敏感陣列的Q-MUSIC算法都是降維MUSIC算法，而Q-ESPRIT算法也只能估計出信號的波達角，而信號的極化信息需要借助傳統(tǒng)的“長矢量”方法重新估計，李京書，陶建武在文獻［7］的仿真實驗也指出了該問題，但是卻沒有提出解決的辦法.

3 基于互相關矩陣降維Q-ESPRIT算法的DOA估計

為了解決“四元數(shù)模型相干”問題，本文在原來的極化敏感陣列的基礎上添置一個嚴格指向z軸的短偶極子天線，如圖2所示.

圖2 本文所提陣列

將新增嚴格指向z軸的短偶極子天線當作參考原點，在四元數(shù)模型下，新極化敏感陣列的接收數(shù)據(jù)為：

式中：x0（t）表示作為參考點處嚴格指向z軸的短偶極子天線接收的數(shù)據(jù)；第m個信號的極化-角度域導向矢量exm（θm，γm，ηm）＝-sinθmsinγmejηm，m＝1，2，…，M；n0（t）為參考原點處短偶極子接收的噪聲分量；COLD陣列接收數(shù)據(jù)矩陣x1（t）的表達形式與式（1）基本一致，唯獨由于參考點的不同，陣元空間相移矩陣稍微有所不同，Q1（θ，φ）＝［q1（θ1，φ1），…，q1（θM，φM）］，其 中q1（θm）＝ ［ejβm，ej2βm，…，ejNβm］T為第m個信號的陣元空間相移矢量，同樣假設矢量傳感器接收的每個噪聲分量彼此獨立且功率均為σ2.

采用求解x0（t）和x1（t）的互相關矩陣來避免“四元數(shù)模型相干”問題，互相關矩陣的另外一個優(yōu)勢是因為假設矢量傳感器接收的每個噪聲分量彼此獨立，互相關運算能有效降低噪聲對角度估計精度的影響.x0（t）和x1（t）互相關矩陣可以表示為

從式（7）可以看出，N×1維的互相關矩陣R包含了入射信號的波達角和極化角信息，類似于參考文獻［11］的平滑思想，構造（N＋1-M）×M維矩陣Rα

式中，矩陣Rα的第m列rm＝R（m：N-M＋m），m＝1，2，…，M，R（p：q）表示由互相關矩陣R的第p行到第q行組成的列矢量，假設信源數(shù)已知或者已經(jīng)由信源數(shù)估計算法估計得出.

結合式（7）和式（8），Rα可以表示成

式中，Υm＝psm（hzm＋i exm，m＝1，2，…，M.為了表述方便，記

其中，Uα和Vα是兩個具有范德蒙結構的矩陣，由于假設入射信號是彼此獨立的遠場窄帶完全極化信號，因此，Uα和Rα張成的空間一樣，且Uα和Rα的秩均為信源數(shù)目M.

定 義 選 擇 矩 陣J1＝［IN-M，01］，J2＝［01，IN-M］，其中，IN-M是（N-M）×（N-M）維單位矩陣，01是（N-M）×1的全零列向量，則有：

式中：Rα1是由Rα的第1行至N-M行組成的矩陣；Rα2為Rα的第2行至N-M＋1行組成的矩陣.由式（9）可以得出Rα1和Rα2存在旋轉不變結構：

式 中，旋 轉 矩 陣Ωα＝diag｛ejβ1，ejβ2，…，ejβM｝.由ESPRIT算法可知：旋轉矩陣Ωα可以通過特征分解矩陣得到的特征值進行估計，Vα由特征值對應的特征向量組成的矩陣進行估計，即

入射信號的俯仰角、方位角和極化相位差已經(jīng)分別由式（16）、式（20）和式（21）估計出，則入射信號的極化輔角可以由下式估計

4 所提算法總結及計算量分析

假設兩個實數(shù)相加計一次加法，相乘計一次乘法，則兩個復數(shù)相加算2次加法，相乘算2次加法和4次乘法；復數(shù)和四元數(shù)相加算2次加法，相乘算4次加法和8次乘法；兩個四元數(shù)相加算4次加法，相乘算12次加法和16次乘法.由于乘法運算的資源耗費是加法的4～6倍，所以本文只分析數(shù)乘運算量.假設信源數(shù)為M，COLD組成的ULA陣元數(shù)為N，快拍數(shù)為L，下面給出本文所提算法的步驟，及其每步的運算量：1）求解互相關矩陣R＝E［x1（t）（t）］，運算量為16 NL；2）構造Rα1和Rα2，并求解矩陣，運算量為ο（（4 M）3）；3）EVD分解，運算量為ο（（4 M）3）；4）估計俯仰角，運算量為4 M；5）估計矩陣，運算量為NM＋MM2；6）估計矩陣，運算量為ο（（4 M）3）；7）估計方位角，運算量為2 M；8）估計極化相位差，運算量為M；9）估計極化輔角，運算量為4 M.

文獻［9］的傳統(tǒng)Q-ESPRIT需要通過兩次EVD分解，即基于四元數(shù)EVD分解估計信號的波達角，基于長矢量模型EVD分解估計信號的極化信息，而本文只需一次四元數(shù)EVD分解，降低了運算量，實時性得到了提高，且本文算法充分利用了四元數(shù)模型的正交信息和數(shù)據(jù)結構特征，可以直接估計出信號的DOA和極化信息，無需像文獻［8-9］需要提前已知入射信號的方位角或者俯仰角.

5 仿真實驗

在仿真實驗部分，給出了一些仿真結果來說明所提算法的性能，并與文獻［8］的LV-ESPRIT和文獻［9］的Q-ESPRIT進行了對比.

實驗1 假設COLD天線數(shù)目為5，入射信源數(shù)為2，信號的俯仰角、方位角、極化輔角和極化相位差分別為：θ1＝50°，φ1＝40°，γ1＝60°，η1＝45°；θ2＝40°，φ2＝30°，γ2＝70°，η2＝55°，陣間距理想的認為等于半波長，由于LV-ESPRIT和Q-ESPRIT算法需要入射信號方位角或者俯仰角先驗信息，所以對該兩種傳統(tǒng)算法進行仿真時假設方位角已知，而本文算法無需任何入射角的先驗信息就可以估計出入射信號的DOA和極化信息.圖3為在小快拍和大快拍兩種條件下，本文算法、LV-ESPRIT和QESPRIT算法估計的俯仰角和極化信息標準誤差隨信噪比的變化曲線；圖4為在低信噪比和高信噪比兩種條件下，本文算法、LV-ESPRIT和Q-ESPRIT算法估計的俯仰角和極化信息標準誤差隨快拍數(shù)的變化曲線；方位角因為沒有對比參照，所以圖5給出了本文算法估計得到的方位角和俯仰角散布圖，執(zhí)行500次獨立的蒙特卡洛實驗.

圖3 估計標準偏差隨信噪比的變化曲線

由圖3和圖4可以得出：1）基于四元數(shù)模型的兩種算法，估計精度明顯高于基于復數(shù)模型的算法，這是由于四元數(shù)模型比復數(shù)模型包含了更多的數(shù)據(jù)正交信息，說明了四元數(shù)模型優(yōu)于復數(shù)模型；2）本文算法的估計精度略遜色于傳統(tǒng)Q-ESPRIT算法，主要有兩個原因，其一是仿真?zhèn)鹘y(tǒng)Q-ESPRIT時，假設方位角已知，模型簡化引起使傳統(tǒng)算法誤差的降低，其二是由于本文算法損失了部分孔徑信息.由圖5可以得出：1）本文算法可以估計出入射信號的方位角，無需任何先驗信息；2）在低信噪比、小快拍條件下，方位角的估計誤差明顯高于俯仰角的估計誤差，這是由于本文算法是基于式（22）和式（23），通過俯仰角的估計值實現(xiàn)方位角的估計，這會造成俯仰角估計誤差積累，導致方位角的估計精度低于俯仰角.

實驗2 由文章的第4部分可知，實驗1中本文算法的有效孔徑數(shù)目僅為4個COLD天線，所以實驗2假設LV-ESPRIT和Q-ESPRIT算法的陣元數(shù)為4個COLD天線，本文算法的陣元數(shù)依然為5個COLD陣，對比在有效孔徑相同的條件下，本文算法與LV-ESPRIT和Q-ESPRIT的性能.圖6為在小快拍和大快拍兩種條件下，本文算法、LV-ESPRIT和Q-ESPRIT估計的俯仰角和極化信息標準誤差隨信噪比的變化曲線；圖7為在低信噪比和高信噪比兩種條件下，本文算法、LV-ESPRIT和QESPRIT算法估計的俯仰角和極化信息標準誤差隨快拍數(shù)的變化曲線.

圖4 估計標準偏差隨快拍數(shù)的變化曲線

圖5 方位角和俯仰角估計散布圖

仿真結果分析：1）在等效孔徑相同的條件下，基于四元數(shù)模型的兩種算法估計標準偏差都低于基于復數(shù)模型的算法，同樣說明了四元數(shù)模型優(yōu)于復數(shù)模型；2）當?shù)刃Э讖揭粯訒r，本文算法的估計精度高于傳統(tǒng)Q-ESPRIT算法，這是由于本文算法解決了傳統(tǒng)Q-ESPRIT存在的“四元數(shù)模型相干”問題，本文算法比傳統(tǒng)算法更加充分地利用了四元數(shù)模型的正交性.

圖6 估計標準偏差隨信噪比的變化曲線

圖7 估計標準偏差隨快拍數(shù)的變化曲線

6 結 論

在四元數(shù)模型下，基于COLD天線組成的ULA利用傳統(tǒng)Q-ESPRIT估計信號角度時，不僅需要入射信號方位角或者俯仰角的先驗信息，并且存在“四元數(shù)模型”相干問題，導致極化信息需要通過長矢量模型進行估計.本文提出了基于互相關矩陣的降維Q-ESPRIT算法克服了該問題，無需任何入射信號方位角或者俯仰角的先驗信息，充分利用四元數(shù)模型的正交性，僅通過一次四元數(shù)特征分解就可以準確地估計DOA和極化信息，運算量更低.

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