基于MCMC的分位回歸GARCH模型的貝葉斯分析

曾惠芳，熊培銀

(1.湖南科技大學(xué) 商學(xué)院，湖南 湘潭 411201；2. 湖南科技大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

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基于MCMC的分位回歸GARCH模型的貝葉斯分析

曾惠芳1，熊培銀2

(1.湖南科技大學(xué) 商學(xué)院，湖南 湘潭 411201；2. 湖南科技大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

摘要：基于最小一乘方法提出了一類分位回歸GARCH模型的2步估計(jì)方法，并且基于雙指數(shù)分布和非對(duì)稱Laplace分布構(gòu)建了GARCH模型的似然函數(shù)，選擇擴(kuò)散先驗(yàn)分布，實(shí)現(xiàn)了對(duì)模型的貝葉斯估計(jì).仿真分析發(fā)現(xiàn)基于最小一乘方法的貝葉斯分位回歸方法可以全面有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)GARCH模型的估計(jì).

關(guān)鍵詞：貝葉斯； 分位數(shù)； GARCH模型； 經(jīng)濟(jì)波動(dòng)

在金融數(shù)據(jù)分析中，常常可以發(fā)現(xiàn)金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)具有波動(dòng)聚集性，即在較大的波動(dòng)之后伴隨著較大幅度的波動(dòng)，較小幅度的波動(dòng)之后伴隨著較小幅度的波動(dòng).Engle[1]開創(chuàng)性地提出了自回歸條件異方差(ARCH)模型，該模型假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)是異方差的，并將誤差滯后項(xiàng)的平方作為其條件方差的解釋變量，從而很好地描述了時(shí)間序列的這種波動(dòng)集群性.

以往研究ARCH模型的目的是測(cè)度變量的方差，而分位ARCH模型是對(duì)變量條件尺度的測(cè)度.Taylor[2]，Schwert[3]，Nelson[4]等分別都提到過(guò)利用ARCH模型研究變量分布尺度的問(wèn)題.除正態(tài)分布之外，尺度比方差能夠更好地描述變量的離散程度.Koenker[5]等討論了異方差模型的分位估計(jì)，在此基礎(chǔ)上，Koenker[6]等提出了分位自回歸條件異方差模型，并推導(dǎo)了其估計(jì)量的漸進(jìn)分布. Park[7]利用分位門限GARCH模型分析了德國(guó)馬克匯率的波動(dòng)性，發(fā)現(xiàn)分位門限GARCH模型很好地描述不同收益沖擊對(duì)波動(dòng)的非對(duì)稱性影響.為了估計(jì)分位門限GARCH模型，把分位門限GARCH模型表示為狀態(tài)空間模型，用遞歸分位回歸方法估計(jì)了門限GARCH模型. Xiao[8]等提出了一類線性分位回歸GARCH模型，并給出了模型的2步估計(jì)方法以及估計(jì)量的漸近性質(zhì).Chen[9]等提出了ARCH模型的一步估計(jì)，并提出了分位回歸模型的格蘭杰因果檢驗(yàn).本文在文獻(xiàn)[8]研究工作基礎(chǔ)上提出一類非線性分位回歸GARCH模型，并給出了模型的貝葉斯推斷.

1模型結(jié)構(gòu)分析

在ARCH模型基礎(chǔ)上，Bollerslev[10]提出了廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型.GARCH模型是對(duì)ARCH模型的重要推廣，比ARCH模型需要更小的滯后階數(shù)，因此GARCH模型的結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，便于實(shí)際應(yīng)用.考慮GARCH模型

(1)

傳統(tǒng)上假設(shè)殘差項(xiàng)服從正態(tài)分布，用極大似然方法(MLE)來(lái)估計(jì)參數(shù)，但是該方法對(duì)異常點(diǎn)非常敏感.隨后，許多學(xué)者提出了擬極大似然方法(QMLE)，因?yàn)镼MLE具有更廣泛的適應(yīng)范圍.但是，若yt的四階矩不存在，由QMLE得到的估計(jì)量的漸近分布將不會(huì)是正態(tài)的.針對(duì)QMLE的缺陷，Peng[11]等從估計(jì)方法的角度來(lái)處理厚尾問(wèn)題，指出可以對(duì)GARCH模型做出稍許修改，即將殘差平方的均值為1改為令殘差平方的中位數(shù)為1.此改動(dòng)相當(dāng)于把原始的GARCH模型殘差項(xiàng)乘以一個(gè)非負(fù)的常量k，可以把模型(1)表示為

(2)

(3)

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對(duì)模型進(jìn)行分位回歸估計(jì)；重復(fù)以上步驟，直到參數(shù)估計(jì)結(jié)果比較穩(wěn)定.

2模型的貝葉斯估計(jì)

(5)

(6)

(7)

其中ξt是服從非對(duì)稱Laplace分布的隨機(jī)變量，ξt的τ分位數(shù)等于0.這樣，分位回歸GARCH模型的似然函數(shù)可以表示為

(8)

(9)

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3仿真分析

首先，通過(guò)LADE估計(jì)得到的條件方差方程中參數(shù)的全局估計(jì).選擇先驗(yàn)分布為均勻分布，利用MCMC算法可以模擬得到各個(gè)參數(shù)的邊緣后驗(yàn)分布.在模型運(yùn)行的過(guò)程中，一共迭代了10 500次，為確保參數(shù)估計(jì)的一致性，把開始迭代的500次丟棄，然后用501次到10 500次迭代得到的樣本來(lái)估計(jì)參數(shù).圖1給出了條件方差方程中參數(shù)的迭代軌跡.從參數(shù)的迭代軌跡圖可以發(fā)現(xiàn)各條馬爾可夫鏈?zhǔn)鞘諗康模f(shuō)明MCMC仿真過(guò)程是平穩(wěn)的.圖2給出了參數(shù)后驗(yàn)分布的核密度估計(jì)，密度曲線表現(xiàn)比較平滑且呈鐘型，說(shuō)明MCMC算法有效地模擬了模型中各參數(shù)的邊緣后驗(yàn)分布.

圖1　模型參數(shù)的迭代軌跡

圖2　模型參數(shù)的后驗(yàn)密度

表1給出了各參數(shù)后驗(yàn)均值、標(biāo)準(zhǔn)差，MC誤差和95%的貝葉斯置信區(qū)間.從表1中估計(jì)結(jié)果可以看出，α0=2.325，α1=0.434 2，條件方差中的系數(shù)與數(shù)據(jù)產(chǎn)生過(guò)程非常接近，由此可以說(shuō)明，LADE可以穩(wěn)健地估計(jì)條件方差中的參數(shù).

表1　模型的最小一乘估計(jì)

把估計(jì)得到的參數(shù)代入條件方差中，利用分位回歸方法估計(jì)殘差項(xiàng)分布的分位數(shù).圖3給出了不同分位數(shù)τ=0.1,0.25,0.5,0.75,0.9下殘差項(xiàng)估計(jì)的后驗(yàn)分布.表2給出了殘差項(xiàng)的貝葉斯分位估計(jì).

圖3　殘差項(xiàng)分位估計(jì)的后驗(yàn)密度

參數(shù)均值 標(biāo)準(zhǔn)差MC誤差0.025分位數(shù)0.975分位數(shù) ?-1(0.1)-0.60980.04678.582E-4-0.7056 -0.5234 ?-1(0.25)-0.25870.03034.375E-4-0.3199 -0.2002 ?-1(0.5)0.03380.02113.426E-4-0.0065 0.0755 ?-1(0.75)0.29800.03165.678E-40.2362 0.3592 ?-1(0.9)0.63470.03986.626E-40.5524 0.7095

從表2中可以看出，在分位數(shù)時(shí)τ=0.1,0.25,0.5,0.75,0.9時(shí)，相應(yīng)的殘差項(xiàng)的分位估計(jì)為-0.609 8，-0.258 7，0.033 8，0.298 0，0.634 7.殘差項(xiàng)中位數(shù)估計(jì)為0.033 8，接近于零，并且殘差項(xiàng)的估計(jì)表現(xiàn)出對(duì)稱性.因此，從結(jié)果看說(shuō)明提出的新方法是有效的，而且比文獻(xiàn)[8]提出的方法更簡(jiǎn)單，更容易使用和理解.

4結(jié)論

GARCH模型被廣泛地應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)金融時(shí)間序列的波動(dòng)分析.由于經(jīng)濟(jì)金融時(shí)間序列波動(dòng)的復(fù)雜性，為了更靈活全面地刻畫經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的波動(dòng)性，在不考慮殘差項(xiàng)的分布形式的情況下，本文提出了一類非線性分位回歸GARCH模型，并考慮到了條件方差方程中的參數(shù)的全局依賴性，基于最小一乘法提出了一種新的2步估計(jì)方法實(shí)現(xiàn)了對(duì)非線性GARCH模型的貝葉斯分位回歸估計(jì)，得到了GARCH模型擾動(dòng)項(xiàng)的分位估計(jì).仿真分析發(fā)現(xiàn)，本文所提方法不僅可以有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)分位回歸GARCH 模型的估計(jì)，還可應(yīng)用于其他擴(kuò)展GARCH模型的估計(jì)，能夠有效地識(shí)別分位回歸GARCH模型中的變點(diǎn)問(wèn)題.

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Bayesian Analysis of Quantile GARCH Models Based on MCMC Algorithm

Zeng Huifang1, Xiong Peiyin2

(1. College of Business, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201，China;

2. School of Information and Electrical Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201，China)

Abstract：In the report, based on least absolute deviation, the two step estimation method for GARCH models using quantile regression was proposed, and based on double exponential distribution and asymmetric Laplace distribution, the likelihood function of GARCH model was constructed, dispersion and prior distribution was selected, and Bayes estimation for model was achieved. The simulation results showed that Bayes quantile regression estimation is effective to achieve the estimation for GARCH model.

Keywords：Bayesian; Quantile; GARCH models; economic volatility

中圖分類號(hào)：F 224.9； O 212

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2015.0022

文章編號(hào)：1004-1729(2015)02-0120-05

收稿日期：------------------------ 2014-10-25基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目(41301421)

作者簡(jiǎn)介：曾惠芳(1981-)，女，湖南邵陽(yáng)人，講師，博士.