近似保正交線性映射的擾動

孔　亮

(商洛學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，陜西 商洛 726000)

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近似保正交線性映射的擾動

孔亮

(商洛學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，陜西 商洛 726000)

摘要：在復(fù)Hilbert空間中,給出了近似等距的定義,給出了近似保正交線性映射的一個充分條件,得到了近似保正交線性映射的擾動定理,即證明了在一定條件下,近似保正交線性映射與近似等距的和或積是近似保正交線性映射.

關(guān)鍵詞：擾動； 近似正交； 近似等距； 近似保正交映射

Hilbert空間中的正交性是泛函分析的重要概念之一, 由正交性定義的正交基、投影算子等概念, 豐富了Hilbert空間理論,是研究Hilbert空間的重要工具. 隨著一般賦范空間幾何性質(zhì)的深入研究,R-正交，B-正交和I-正交等各種正交性概念被相繼引入和研究, 關(guān)于正交性的研究也引起了國內(nèi)學(xué)者的關(guān)注，比如文獻(xiàn)[1]將實(shí)Banach空間中的B-正交推廣為非常B-正交；文獻(xiàn)[2]給出了Banach空間中B-正交的刻畫. 近年來, 保持各種正交和近似保持各種正交映射的性質(zhì)及穩(wěn)定性,得到了眾多學(xué)者的深入研究. 文獻(xiàn)[3]在具體的Banach空間中給出了等距的穩(wěn)定性； 文獻(xiàn)[4]在內(nèi)積空間給出了保正交線性映射的刻畫； 文獻(xiàn)[5]在有限維內(nèi)積空間中給出了保正交線性映射的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[6]在賦范線性空間中證明了保正交線性映射是等距的常數(shù)倍；文獻(xiàn)[7]在Hilbert空間中證明了非零近似保正交線性映射有界并且是下有界的, 并推廣了文獻(xiàn)[5]關(guān)于保正交線性映射穩(wěn)定性的結(jié)論, 關(guān)于其他各種近似保正交映射已有許多研究[8-18]. 為了研究振動系統(tǒng)受到微小擾動后的情況,考察線性算子的各種擾動問題, 現(xiàn)在線性算子擾動理論已經(jīng)是算子理論中的一個重要分支. 擾動理論的基本問題是:設(shè)T是線性空間的線性算子,A是擾動算子, 如何由T和A的性質(zhì)導(dǎo)出T+A的與T相似的性質(zhì)？受擾動理論基本問題的啟發(fā), 筆者研究了近似保正交線性映射的擾動, 證明在一定條件下, 近似保正交線性映射與近似等距的和或積是近似保正交線性映射.

1預(yù)備知識

H和K在本文中均表示復(fù)Hilbert空間，〈·,·〉是其內(nèi)積,R表示實(shí)數(shù)集,C表示復(fù)數(shù)集.

則稱U是δ-近似等距.

則稱U是(δ1,δ2)-近似等距.

證明由

和

(1)

則T-1為(δ1,δ2)-近似等距, 其中δ1=1-C2-1，δ2=C1-1-1.

故T-1為(δ1，δ2)-近似等距.

推論1 設(shè)線性映射T：H→H是滿射且滿足‖T‖≥1和‖T-I‖<2-1，其中I：H→K是恒等映射, 則T-1為(δ1，δ2)-近似等距, 其中δ1=1-‖T‖-1，δ2=(1-‖T-I‖)-1-1.

對于ε-近似保正交線性映射, 文獻(xiàn)[10]給出以下結(jié)論：

定理1[7]若T：H→K是ε-近似保正交線性映射, 則T有界且滿足

(2)

故T為(δ1，δ2)-近似等距.

注由命題3可知, 在一定條件下,ε-近似保正交線性映射是(δ1，δ2)-近似等距. 本文給出在一定條件下, (δ1，δ2)-近似等距是ε-近似保正交線性映射, 在此基礎(chǔ)上得到近似保正交線性映射的擾動.

2結(jié)論及其證明

引理1若U：H→K是(δ1，δ2)-近似等距, 則

(3)

證明由U是(δ1，δ2)-近似等距得

則有

和

從而

(4)

a(δ1，δ2)(‖U(x)‖2+‖U(y)‖2).

故式(3)成立.

證明 在式(3)中分別用tx,t-1y(t>0)替換x,y, 則式(3)的左邊不變. 由于

min{‖U(tx)‖2+‖U(t-1y)‖2:t>0}=2‖U(x)‖‖U(y)‖，

則

(5)

在式(5)中令ε=2a(δ1，δ2), 則

(6)

證明因?yàn)門是ε-近似保正交線性映射, 所以由定理1得

農(nóng)田灌溉人員在灌溉過程中忽視了節(jié)約水資源的重要性，即使采用較好的設(shè)備，很多灌溉人員也不能將設(shè)備的自身效果發(fā)揮到最大化，難以達(dá)到節(jié)約灌溉的效果，嚴(yán)重者還會適得其反造成嚴(yán)重的水資源浪費(fèi)[3]。

從而

則T+U是(σ1，σ2)-近似等距. 故由定理2得,T+U是η-近似保正交線性映射, 其中η=2a(σ1，σ2).

證明因?yàn)門是ε-近似保正交線性映射, 所以由定理1得

又因?yàn)閁是(δ1，δ2)-近似等距, 所以

故由定理2得, TU是μ-近似保正交線性映射.

證明由定理4的證明可得.

類似定理4的證明可得

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Perturbations of Approximate Orthogonality Preserving Mapping

Kong Liang

(Institute of Applied Mathematics, Shangluo University, Shangluo 726000，China)

Abstract：In complex Hilbert spaces, the definition of an approximate isometry was proposed, a sufficient condition for a linear mapping to be an approximate orthogonality preserving mapping was also proposed. The perturbations of an approximate orthogonality preserving linear mapping were obtained. Under certain conditions, it was proved that the sum or composition of an approximate orthonality preserving mapping and an almost isometry is an approximate orthonality preserving mapping.

Keywords：perturbation; approximate orthogonality; almost isometry; approximate orthogonality preserving mapping

中圖分類號：O 177.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2015.0021

文章編號：1004-1729(2015)02-0115-05

收稿日期：------------------------ 2014-10-20基金項(xiàng)目： 陜西省科技廳科研項(xiàng)目(2012JM1018);陜西省教育廳科研項(xiàng)目(2013JK0570);商洛學(xué)院科研項(xiàng)目(14SKY016)

作者簡介：孔亮(1983-),男,陜西商州人,碩士,講師.