各向異性砂土剪切帶角度的理論分析

李學豐，袁 琪，馬文國

（寧夏大學 固體力學研究所，銀川 750021）

各向異性砂土剪切帶角度的理論分析

李學豐，袁 琪，馬文國

（寧夏大學 固體力學研究所，銀川 750021）

針對平面應(yīng)變條件下各向異性砂土剪切帶角度的試驗規(guī)律，采用傳統(tǒng)的3種理論和分叉理論進行對比分析。將平面應(yīng)變條件下剪切帶角度的試驗結(jié)果按照傳統(tǒng)3種理論整理發(fā)現(xiàn)，盡管傳統(tǒng)3種理論可以估算同種砂剪切帶角度的極小、中間和極大值，但無法解釋其各向異性規(guī)律。砂土在平面應(yīng)變條件下破壞時會產(chǎn)生明顯的剪切帶，當剪切帶方向和砂土沉積面方向接近時，會較早誘發(fā)剪切帶的產(chǎn)生，使材料強度降低，造成了平面應(yīng)變條件下各向異性強度規(guī)律明顯不同于常規(guī)三軸條件下的試驗規(guī)律，采用分叉理論結(jié)合各向異性模型則可以有效解釋這個規(guī)律。隨砂土沉積面角度的變化，模型可以從細觀角度解釋常規(guī)三軸條件下剪切帶角度的單調(diào)變化的試驗規(guī)律，結(jié)合分叉理論可以描述平面應(yīng)變條件下其先減小然后增大的規(guī)律。通過幾種理論對比分析表明，模型結(jié)合分叉理論不但能夠描述多種應(yīng)力狀態(tài)下的平面應(yīng)變和常規(guī)三軸應(yīng)力條件下剪切帶角度表現(xiàn)的不同規(guī)律，而且能夠從細觀角度解釋其各向異性成因。

剪切帶；分叉理論；各向異性；平面應(yīng)變；細觀特性

剪切帶是土體變形破壞的常見現(xiàn)象，它直接導致巖土材料強度降低、承載力下降。剪切帶與土體的薄弱點或應(yīng)力集中點有關(guān)，在荷載作用下，土顆粒沿該點定向排列，逐步擴展成貫通的破壞帶。數(shù)學上解釋為：可將土體物理特性視為一個復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，當滿足某些臨界條件時，土體均勻變形模式發(fā)生分叉，取而代之的是不均勻變形模式。

剪切帶形成機理一直困擾著巖土工作者。最初Roscoe等［1］的單剪試驗把剪切帶歸因于某種邊界條件下的特有現(xiàn)象，與土性無關(guān)。后來研究發(fā)現(xiàn)：即使改進試驗儀器和優(yōu)化試驗方法，也無法避免剪切帶的產(chǎn)生，它是特定應(yīng)力條件下（如平面應(yīng)變條件下）土體必然出現(xiàn)的破壞形式。而且剪切帶形成前后土體的變形機理明顯不同，形成前趨于均勻變形，形成后則為剪切帶的局部化變形為主。其變形的深層機理與土體細觀特性密切相關(guān)。

砂土細觀特性影響了剪切帶形式、厚度和傾角。Nemat-Nasser等［2］對剪切帶內(nèi)外變形的定量研究發(fā)現(xiàn)：剪切帶中心的剪應(yīng)變高于帶外數(shù)十倍，并導致了帶內(nèi)很高的孔隙比；Alshibli等［3］研究表明：剪切帶厚度大約為9.6～10.63倍粒徑，且隨密度增加而增加；Francesco等［4］用三維X射線技術(shù)對Ottawa砂分析認為：剪切帶厚度約為12～13倍的顆粒直徑；剪切帶傾角方面，F(xiàn)inno等［5］采用立體攝影技術(shù)檢測到平面應(yīng)變條件下飽和松砂剪切帶角度約為55°～65°。Vardoulakis等［6］的試驗表明：剪切帶角度在細砂中為62.5°，中砂中為60.1°；Abelev等［7］用改進的真三軸試驗表明：在中主應(yīng)力系數(shù)為0時，沒有觀測到剪切帶，剪切帶的形成主要在中主應(yīng)力系數(shù)為0.2～0.8的區(qū)間；更難解釋的是剪切帶各向異性規(guī)律，如 Tatsuoka等［8］、Oda等［9］和 Yoshida等［10］諸多學者的大量平面應(yīng)變試驗表明：激光斑紋法觀測的剪切帶角度表現(xiàn)了明顯的各向異性規(guī)律，即隨砂土沉積面角度在0°～90°范圍內(nèi)的變化，傾角先減小，然后增大。當砂土沉積面方向和大主應(yīng)力方向夾角為56°～67°，剪切帶角度最小，此時沉積面和剪切帶的方向接近。這與三軸試驗條件下觀測到強度單調(diào)變化規(guī)律完全不同。如果用傳統(tǒng)預(yù)測理論描述，當沉積面方向和大主應(yīng)力方向一致時，剪切帶角度與 M-C（Mohr-Coulomb）理論值接近；當沉積面方向和大主應(yīng)力方向夾角為56°～67°，剪切帶角度與Roscoe理論接近。平面應(yīng)變和三軸試驗條件下出現(xiàn)了不同規(guī)律，相同的試驗條件下不同沉積角度試樣的剪切帶角度需要不同理論解釋，這是傳統(tǒng)理論描述各向異性剪切破壞規(guī)律的難點。

針對以上問題，陳立平等［11］結(jié)合砂土細觀機理做了研究，宋飛等［12］也做了實驗研究。筆者針對砂土剪切帶試驗規(guī)律，基于筆者在砂土宏細觀各向異性力學特性［13－14］和應(yīng)變局部化［15］方面工作，在本文中提出了理論預(yù)測砂土剪切帶角度的方法，采用傳統(tǒng)的M-C理論、Rosco理論和Arthur等理論對各向異性砂土剪切帶角度規(guī)律進行歸納總結(jié)，分析幾個理論的特點；然后用基于細觀組構(gòu)張量建立的各向異性模型［15］結(jié)合分叉理論預(yù)測各向異性砂土剪切帶角度，從細觀角度解釋當砂土沉積面和剪切面接近時，剪切帶角度最小的規(guī)律。

1 剪切帶角度的分叉理論預(yù)測

剪切帶的各向異性規(guī)律需要用各向異性模型描述。有關(guān)模型和分叉理論的詳細描述見文獻［15］，本文中只對分叉理論預(yù)測平面應(yīng)變條件下剪切帶角度做簡要介紹。

巖土材料應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系普遍的特征如圖1所示：加載初期材料處于彈性變形階段，隨著變形的增大材料進入塑性狀態(tài)，應(yīng)力隨著變形的增大而增大，此時材料處于應(yīng)變硬化階段；當塑性變形達到一定程度后，應(yīng)力達到材料強度值，隨著變形的繼續(xù)增大，應(yīng)力開始逐漸降低，即材料進入應(yīng)變軟化階段。從硬化階段到軟化階段的轉(zhuǎn)變，一般認為是材料變形模式的分叉所造成，轉(zhuǎn)變的臨界點即為分叉點。分叉前材料狀態(tài)相對穩(wěn)定，分叉后則處于失穩(wěn)狀態(tài)，此時應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系不唯一。

分叉的物理機制材料中的薄弱點與應(yīng)力集中點有關(guān)，在荷載作用下，土顆粒從這些點開始定向排列，逐步擴展形成一個貫穿的剪切帶。剪切帶產(chǎn)生意味著材料原先均勻變形模式的分叉，使得變形模式不再均勻。在數(shù)學上，描述應(yīng)變局部化的發(fā)生條件一般為：在均勻變形場上假設(shè)一個附加變形場的存在，當材料受到進一步加載作用時，尋求滿足這種附加變形存在和發(fā)展的條件，即分叉條件。

圖1 應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系Fig.1 Stress-strain relations

Valanis［16］認為分叉點對應(yīng)于材料失穩(wěn)的極限點，也是判斷材料失穩(wěn)的充分必要條件。極限點對應(yīng)的應(yīng)力率為零，切線模量具有零特征值，即

2 剪切帶角度的傳統(tǒng)理論預(yù)測

土力學中，傳統(tǒng)剪切帶角度判別準則常用的是M-C理論，還有Roscoe理論和Arthur理論。

2.1 M-C理論

式中：φf為土體破壞時的內(nèi)摩擦角；各向同時，φf是一個常量。如圖2，剪切帶方向與小主應(yīng)力σ3方向的夾角為

M-C理論沒有考慮中主應(yīng)力的影響，它是在試驗的基礎(chǔ)上的一種簡單線性假設(shè)，應(yīng)力水平較高時，理論預(yù)測與試驗結(jié)果有偏差。

圖2 M-C理論破壞面Fig.2 Failure surface of M-C theory

2.2 Roscoe理論

Roscoe等［1］認為土體應(yīng)變大小與土體破壞密切相關(guān)，假設(shè)剪切帶方向與零伸長方向相同，用Mohr圓表示應(yīng)變增量，剪切帶與主應(yīng)變軸dε3的夾角為

如圖3所示，Roscoe理論確定的剪切帶方向?qū)嵸|(zhì)上是滑移面的方向。相對M-C理論，Roscoe理論強調(diào)了應(yīng)變增量對土體破壞的影響，理論采用剪切帶方向平行于零伸長線的假設(shè)，沒有形成具體的剪切帶判別準則。

圖3 Roscoe理論破壞面Fig.3 Failure surface of Roscoe theory

2.3 Authur理論

在工程實踐中，M-C理論預(yù)測剪切帶角度偏大、偏保守，可作為剪切帶的上限值。相反，Roscoe理論的預(yù)測值則偏小、不安全，該值可作為剪切帶角度的下限值。鑒于上述兩種經(jīng)典理論對剪切帶方向預(yù)測特點，Authur等［18］建議用兩個理論的算術(shù)平均值預(yù)測剪切帶傾角

3 剪切帶角度的試驗結(jié)果

圖4（a）、（b）分別是 Tatsuoka等［8］和 Yoshida等［10］的平面應(yīng)變試驗結(jié)果，試驗都清晰地觀測到剪切帶。

圖4 平面應(yīng)變試驗的剪切帶Fig.4 Shear bands of Plane strain test

圖4中Tatsuoka等［8］用Toyoura重塑砂和天然砂平面應(yīng)變試驗觀測到剪切帶傾角的規(guī)律為：

1）剪切帶方向和峰值狀態(tài)內(nèi)摩擦角和剪脹角相關(guān)且內(nèi)摩擦角度遠遠大于剪脹角。

2）豎向沉積的砂土有明顯的各向異性，因此剪切帶受其沉積方向影響顯著，然而理論研究時往往忽略了各向異性的影響。

3）當應(yīng)力增量軸和應(yīng)變增量軸發(fā)生旋轉(zhuǎn)時，它們的增量方向不相同，表現(xiàn)為非共軸。

4）剪切帶方向會受邊界條件的限制。如應(yīng)力的均勻性和位移以及砂粒粒徑與試樣尺寸等。

5）不同沉積角度砂樣的剪切帶角度變化很大，各向異性規(guī)律明顯。當沉積面方向和大主應(yīng)力方向一致時，剪切帶角度與M-C理論值接近；當沉積面方向和大主應(yīng)力方向夾角為56°～67°，剪切帶傾角最小，此時沉積面和剪切帶的方向接近，剪切帶角度和Roscoe理論接近。

砂土剪切帶的細觀研究［2－4］表明其粒徑、形狀等對剪切帶的厚度有很大影響，因此，結(jié)合細觀特性研究剪切帶形成機理更符合材料的物理性質(zhì)。

4 分叉理論與傳統(tǒng)理論的對比

圖5 破壞面與砂土沉積面試驗值Fig.5 Test results between failure surface and sand deposition surface

圖5為Tatsuoka等［8］通過試驗觀測到的剪切帶角度的平面應(yīng)變結(jié)果。試驗做了49、98和392 k Pa三種圍壓、不同沉積角度試驗。為了能夠較好觀測剪切帶，飽和試樣的表面都做了潤滑處理，在中主應(yīng)力加載面上采用激光斑紋法觀測剪切帶的形成過程。

試驗結(jié)果給出了剪切帶角度、內(nèi)摩擦角和剪脹角的試驗檢測值，將該試驗結(jié)果按照前面介紹的3種傳統(tǒng)理論整理，即 M-C理論、Roscoe理論和Arthur理論。圖5為剪切帶觀測的試驗數(shù)據(jù)按傳統(tǒng)3種理論整理的結(jié)果。圖中可以看出，同種砂在相同的實驗條件下，剪切帶傾角試驗值不唯一，不同沉積角度的砂樣剪切帶角度變化很大，表現(xiàn)出很強的各向異性。當沉積面方向和大主應(yīng)力方向一致時，剪切帶方向和最大應(yīng)力等傾面方向（M-C理論）接近；當沉積面方向和小主應(yīng)力方向夾角為56°～67°，剪切帶傾角最小，接近于Roscoe理論值；3組圍壓下剪切帶傾角變化趨勢都相似，整體上隨剪切帶角度圍壓升高而略有降低，試驗得到的3種理論的計算值都無法描述其表現(xiàn)的各向異性；圖5從試驗角度證實了傳統(tǒng)的3種理論都無法較好解釋剪切帶傾角的各向異性規(guī)律。

Toyoura砂的剪切帶傾角試驗值和傳統(tǒng)的3種理論的對比仍然得到了：M-C理論是試驗上限值，Roscoe理論是試驗的下限值，取上、下限的簡單平均值的Arthur理論，盡管較前兩種理論有所改善，然而，對其表現(xiàn)很強的各向異性還是很難解釋。因此，本文用分叉理論進行預(yù)測。

圖6為分叉理論預(yù)測與剪切帶傾角的試驗值的對比。分叉理論采用的模型詳見文獻［15］。從圖6可以看出：同一孔隙比和同一圍壓條件下，分叉理論能夠較好描述剪切帶角度隨沉積面角度的變化規(guī)律；3種圍壓下比較，整體上剪切帶角度隨圍壓的增大而減小；綜合可以看出分叉理論對其表現(xiàn)的各向異性的變化趨勢有較好的描述效果，但是預(yù)測值略低于試驗結(jié)果，尤其在圖6（c）中，392 kPa圍壓下比較明顯，文獻［15］對本構(gòu)模型做了修正后有效解決了這個問題。

5 平面應(yīng)變強度與三軸強度對比分析

圖6 分叉理論預(yù)測切帶角度Fig.6 The angle simulations of shear band with bifurcation theory

圖7為同一圍壓、同一孔隙比、不同沉積面角度的平面應(yīng)變試驗和三軸試驗值與模擬值。平面應(yīng)變試驗為Tatsuoka等［8］的研究成果，三軸試驗為Oda等［9］和Lam 等［19］不同試樣尺寸的試驗結(jié)果，試驗的圍壓均為98 k Pa，孔隙比控制接近。為了能夠直觀反映平面應(yīng)變試驗強度和三軸試驗強度值的關(guān)系，圖7做了歸一化，歸一化強度為φf／φ（β＝90°）。從圖7可以看出平面應(yīng)變試驗和三軸壓縮試驗的規(guī)律差別很大，三軸壓縮強度隨沉積面角度是單調(diào)變化的，然而平面應(yīng)變試驗則是在大主應(yīng)力軸與沉積平面夾角為56°～64°時強度達到最小值，然后隨沉積面角度的增大強度又有一定增加；另外，圖7中的試驗可以看出，平面應(yīng)變和三軸壓縮強度的關(guān)系并不是像一般土力學中關(guān)于土的抗剪強度形成的概念，即：在相同條件下平面應(yīng)變強度總是比三軸壓縮強度高20%左右，而是在大主應(yīng)力軸與沉積平面夾角為56°～64°時，平面應(yīng)變強度可能接近三軸壓縮強度。因此，就會產(chǎn)生這樣的疑問：相同的砂、相同的制樣方法和相同應(yīng)力條件，兩者的強度規(guī)律差異為什么如此明顯？

強度差異的根本原因在于砂土的各向異性和是否有剪切帶的產(chǎn)生。砂土為各向同性時，兩者關(guān)系簡單，都不隨旋轉(zhuǎn)角的變化而變化，三軸強度高于平面應(yīng)變強度；砂土為各向異性時，兩者都隨旋轉(zhuǎn)角的變化而變化。三軸試驗強度單調(diào)增加，平面應(yīng)變強度則是先減小然后增大。兩者相比，三軸壓縮試驗很難觀察到剪切帶的形成，然而平面應(yīng)變試驗都觀測到了明顯的剪切帶，因此，平面應(yīng)變狀態(tài)下必須考慮剪切帶對強度的影響。剪切帶形成的內(nèi)在機理還需要結(jié)合砂土的細觀分析才能夠較好解釋。

圖7 Toyoura砂的各向異性強度規(guī)律（文獻［9］）Fig.7 Anisotropy strength of Toyoura sand

6 平面應(yīng)變各向異性強度的細觀解釋

砂土的各向異性強度受砂土細觀特性和組構(gòu)方向的影響。圖8是剪切帶方向相對沉積面方向的兩種關(guān)系。Tatsuoka等［8］試驗發(fā)現(xiàn)：當大主應(yīng)力相對沉積面為56°和67°時，只得到了圖8（b）型剪切帶，當旋轉(zhuǎn)角為23°和79°時，多數(shù)試驗都表現(xiàn)出圖8（a）型的剪切帶，當沉積面角度為45°時，兩種形式的剪切帶都會出現(xiàn)。可見剪切帶不一定沿沉積面方向，但是沉積面角和剪切帶角接近時會誘發(fā)剪切帶過早產(chǎn)生。

結(jié)合平面應(yīng)變剪切帶試驗分析結(jié)果和沉積面與剪切帶產(chǎn)生的關(guān)系可以解釋平面應(yīng)變強度的特性。當大主應(yīng)力軸與沉積平面夾角為56°～65°時，此時剪切帶和沉積面方向很接近，而且只得到了b型剪切帶，因此，當沉積面角度和剪切帶角度接近時，較早觸發(fā)應(yīng)變局部化產(chǎn)生，從而，土體表現(xiàn)了比較低的強度；當大主應(yīng)力軸與沉積平面方向夾角為0°時，即沉積面和中主應(yīng)力方向一致，沉積面方向受剛性約束，抑制了應(yīng)變局部化的發(fā)生，因此，這種條件下強度達到最大值。

圖8 砂土沉積面和破壞面的關(guān)系Fig.8.The relationship between sand bedding plane and failure surface

同時，細觀研究發(fā)現(xiàn)平面應(yīng)變狀態(tài)和軸對稱狀態(tài)各向異性程度存在差異的主要原因是：砂土在平面應(yīng)變狀態(tài)下會表現(xiàn)更多的局部化變形，顆粒排列不易改變；然而，在軸對稱條件下砂土會表現(xiàn)更多的均勻變形，這種條件下顆粒排列容易變化。因此，同種砂的平面應(yīng)變強度各向異性比常規(guī)三軸試驗強度表現(xiàn)的更明顯。

綜上所述，考慮砂土的細觀組構(gòu)影響時，模型能夠較好反映三軸條件下主應(yīng)力相對砂土沉積面不同角度的強度規(guī)律，結(jié)合分叉理論模型可以自然描述平面條件下剪切傾角受砂土細觀沉積角度的影響，再次驗證了宏細觀結(jié)合本構(gòu)模型描述砂土各向異性的合理性。

7 結(jié) 語

根據(jù)各向異性Toyoura砂的剪切帶角度的試驗結(jié)果，用傳統(tǒng)三種理論預(yù)測的剪破度與分叉理論預(yù)測的結(jié)果進行了對比分析。

按照三種傳統(tǒng)理論對試驗數(shù)據(jù)整理后發(fā)現(xiàn)，各向異性砂土的三軸試驗剪切帶角度和平面應(yīng)變條件下的剪切帶角度表現(xiàn)出明顯不同的各向異性，必須建立各向異性本構(gòu)關(guān)系對其特性進行描述。然而，建立在三軸試驗基礎(chǔ)上的本構(gòu)關(guān)系對該試驗條件下的剪切帶角度規(guī)律可以較好描述，但無法對平面應(yīng)變條件下的剪切帶角度規(guī)律進行描述。各向異性模型結(jié)合分叉理論則可以較好解決了這個問題。

對比分析結(jié)果表明，模型結(jié)合分叉理論能夠描述多種應(yīng)力狀態(tài)下平面應(yīng)變剪切帶角度的變化規(guī)律。能夠從細觀角度解釋平面應(yīng)變條件下砂土沉積面對各向異性剪切帶角度規(guī)律的影響。

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（編輯 王秀玲）

2015-02-28

National Natural Sciencal Foundation of China（No.5168050，61463043）；Ningxia Natural Sciencal Foundation of Key Projects（No.NZ13001）；Science and Technology Support Project in Ningxia（In2013）.

Author brief：Li Xuefeng（1976-），Ph D，associate professor，main interests：geotechnical engineering and the constitutive model，（E-mail）lixuefeng1928＠163.com.

Theoretical analysis of shear band angle for anisotropy sand

Li Xuefeng，Yuan Qi，Ma Wenguo

（Solid Mechanics Institute，Ningxia University，Yinchuan 750021，P.R.China）

Aiming at the test results of shear band angle under plane strain conditions for anisotropy sand，a comparative analysis was carried out based on the three traditional theories and bifurcation theory.The results of shear band under plane strain condition described by the three traditional theories showed the traditional theories could estimate the minimum，middle and maximum values of the shear band angle of sand，whilst it could not t explain the anisotropy behaviors of shear band.The shear band under the plane strain conditions was easily observed，and it induced shear bands that reduced material strength when the directions of shear band and sand deposition were the same.It resulted in the different anisotropy characteristics in the conventional triaxial conditions and plane strain conditions.Such different characteristics could be explained using bifurcation theory together with anisotropy model.With the direction variation of sand deposition，the model ccould explain the monotonic behaviors of shear angled under conventional triaxial condition from microscopic viewpoint，the bifurcation theory combined with the model could describe the behavior of shear angled under plane strain condition which decreased first and then increased.The comparative analysis of four theories showed that bifurcation theory together with anisotropic model well explained the different shear properties between plane strain and conventional triaxial under various stress conditions，and one could well explain it from the microscopic viewpoint.

shear band；bifurcation theory；anisotropy；plane strain；meso feature

TU443

A

1674-4764（2015）04-0090-07

10.11835／j.issn.1674-4764.2015.04.012

2015-02-28

國家自然科學基金（5168050、61463043）；寧夏自然科學基金重點項目（NZ13001）；寧夏科技支撐計劃（2013年）

李學豐（1976-），男，博士，副教授，主要從事巖土工程及本構(gòu)模型的研究，（E-mail）lixuefeng1928＠163.com。