基于輸出反饋的建筑結構閉開環(huán)次優(yōu)控制①

宋　剛， 譚　川， 陳　果

(招商局重慶交通科研設計院有限公司橋梁工程結構動力學國家重點實驗室，重慶 400067)

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基于輸出反饋的建筑結構閉開環(huán)次優(yōu)控制①

宋剛， 譚川， 陳果

(招商局重慶交通科研設計院有限公司橋梁工程結構動力學國家重點實驗室，重慶 400067)

摘要：對傳統(tǒng)的結構抗震閉開環(huán)控制算法進行改進?；诘孛孢\動自回歸模型，采用Kalman濾波利用可以量測到的地面加速度激勵對未來時段即將發(fā)生的地面加速度激勵進行預估，并在微分方程的求解中引入精確高效的精細積分算法?？紤]到實際控制中量測全部狀態(tài)變量的困難，改進算法僅需量測部分狀態(tài)變量。數(shù)值仿真表明，基于輸出反饋的閉開環(huán)次優(yōu)控制策略能大大降低結構的地震響應。

關鍵詞：地震激勵； 輸出反饋； 閉開環(huán)控制； Kalman濾波； 精細積分

0引言

近幾十年來控制在理論和實際工程中都獲得了很大進展[1-3]，其中線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)在很多工程中得到了應用[4-5]。在傳統(tǒng)的二次型調(diào)節(jié)器問題中，目標函數(shù)定義為由結構狀態(tài)和控制力向量組成的二次表達式在一定時間區(qū)段上的積分，通過龐德里亞金極大值原理或貝爾曼動態(tài)規(guī)劃等方法可推導出相應的最優(yōu)控制器。然而，在公式推導過程中Riccati方程是通過忽略外激勵項而得出的。因此從這種意義上說，傳統(tǒng)的二次型閉環(huán)最優(yōu)控制只是一種近似的最優(yōu)控制，在公式推導過程中保留外激勵項的閉開環(huán)控制比閉環(huán)控制有一定的優(yōu)越性。但是傳統(tǒng)的閉開環(huán)控制需要預先知道整個控制時間區(qū)段上的外激勵，這對結構抗震等工程問題來說是無法實現(xiàn)的。地震激勵是隨機的，人們無法事先知道作用在結構上的確切地震激勵。相應地不需要事先知道作用在結構上的確切外激勵的閉開環(huán)次優(yōu)控制方法應運而生。文獻[6]基于地震自回歸模型，通過Kalman濾波預測一步或多步的地震動輸入，采用Taylor級數(shù)進行數(shù)值積分，提出一種次優(yōu)的結構抗震閉開環(huán)控制策略，并通過數(shù)值算例驗證了該閉開環(huán)次優(yōu)控制方法相對于其他控制方法的優(yōu)點。文獻[7]進一步提出具有指定穩(wěn)定度的結構閉開環(huán)次優(yōu)控制算法。除此之外，為了避免Riccati方程的求解和確定未來時段的地震激勵，文獻[8]提出一種基于多點瞬態(tài)激勵的閉環(huán)控制。為了提高控制精度，文獻[9]在結構瞬態(tài)閉環(huán)及瞬態(tài)閉開環(huán)控制中采用了精細積分算法。

然而，以上文獻[6-9]都假定結構的全部狀態(tài)可以量測，這在實際控制中往往是難以做到的。鐘萬勰近年來提出的精細積分法求解常微分方程精度之高[10-12]，是其他時域積分法無法比擬的。本文在文獻[6-9]的基礎上，提出基于輸出反饋的結構抗震閉開環(huán)次優(yōu)控制策略，對微分方程的求解采用精細積分法來代替文獻[6]和[7]中所采用的Taylor級數(shù)展開法。

1問題描述

以單維地震動輸入下的n自由度線性結構為例。假定地面均勻一致運動，結構的運動方程可寫為：

(1)

(2)

其中:

1.1基于狀態(tài)反饋的閉環(huán)控制

采用性能指標

(3)

其中:tf表示地震激勵持續(xù)時間。引入哈密頓函數(shù)

(4)

由方程

(5)

(6)

(7)

(8)

假定

(9)

聯(lián)立式(5)～式(9)，可得

(10)

(11)

聯(lián)立式(7)和(9)，可得

(12)

由式(11)解得P(t)，代入式(12)，便得到t時刻作用器應輸出的控制力。

1.2基于狀態(tài)反饋的閉開環(huán)控制

(13)

聯(lián)立式(5)、(6)、(7)和(13)，可得

(14)

式(14)在任何時刻均成立。聯(lián)立式(8)和式(14)，可得

(15)

(16)

聯(lián)立式(7)和(13)，可得

(17)

2基于輸出反饋的閉開環(huán)次優(yōu)控制

式(15)為微分Riccati方程，借助于鐘萬勰近年來提出的精細算法[10-12]，微分Riccati方程可以得到簡便地解決。然而在除臨近tf的時間段外，P(t)在大部分時間段都近似保持為常數(shù)矩陣，把式(15)簡化為代數(shù)Riccati方程來處理，見下式：

(18)

式(16)的求解需要從終端時刻進行后向積分，這需要事先知道整個控制時間區(qū)段作用在結構上的地面加速度激勵。雖然地面加速度激勵可以在線量測，但卻無法事先知道。采用地面運動自回歸模型利用Kalman濾波技術對未來時段即將發(fā)生的地面加速度激勵進行預估[6]。

對于每一時間步[tk-1,tk]，式(16)的解可表示為

(19)

其中:

(20)

(21)

記從初始時刻到終端時刻tf的積分步數(shù)為m，由q(tf)=0，可得

(22)

(23)

利用地面運動自回歸模型和Kalman濾波技術進行地面加速度激勵l步預估，即在tk時刻利用過去時段(包括現(xiàn)在時刻)量測到的地面加速度激勵估計未來時段tk+1,tk+2,…,tk+l(1≤l≤m-k)時刻的地面加速度激勵。將式(23)截取前l(fā)項，可得

(24)

關于截斷所帶來的誤差的討論，可見文獻[6-7]。式(17)需要量測結構全部狀態(tài)變量，對于高階系統(tǒng)，這在很多情況下是不可實現(xiàn)的。這里假定只有部分狀態(tài)變量可測，記為y(t)：

(25)

假定

(26)

定義目標函數(shù)

(27)

(28)

將式(24)和(28)代入式(26)中，就可得到基于輸出反饋的結構閉開環(huán)次優(yōu)控制。相應地忽略式(26)中的R-1BTq(t)，將式(28)代入式(26)，即得到基于輸出反饋的結構閉環(huán)次優(yōu)控制。

3算例

一個三層無阻尼結構受水平方向地面加速度激勵，相鄰層間安裝主動作用器，如圖1所示[6]。各層質(zhì)量均為48×103kg，層間剛度分別為k1=46 420 kN/m,k2=41 780 kN/m,k3=23 210 kN/m。地面加速度激勵采用El Centro地震波南北分量，地震加速度峰值為3.417 m/s2，時程記錄間距為0.02 s。假定結構速度可測，即Cy=[0I] 。對未來時段地面加速度激勵進行3步預估，采用基于輸出反饋的閉開環(huán)控制策略對結構進行控制。取加權矩陣為

(29)

其中:μ為可調(diào)參數(shù)。不同的μ值對應不同的控制力和控制效果，經(jīng)試算，取μ=1.0×108。

圖1　結構模型Fig.1　Structural model

這里僅給出閉開環(huán)控制和無控時結構峰值響應對比，見表1。關于閉開環(huán)控制和閉環(huán)控制控制效果的詳細比較，可見文獻[6-7]。從表1可以看出，施加控制力后，結構頂層的位移、速度、加速度峰值響應和2～3層層間相對位移峰值響應都大大降低。無控時，結構頂層位移峰值為12.7 cm，施加控制力后結構頂層位移峰值降為1.1 cm。

表 1　控制前后結構響應對比

4結論

針對實際控制中量測全部狀態(tài)的困難，提出一種基于輸出反饋的結構閉開環(huán)次優(yōu)控制算法，并對一個地震激勵下的三層無阻尼結構進行數(shù)值仿真。結果表明，輸出反饋閉開環(huán)次優(yōu)控制可以很好地實現(xiàn)控制效果。

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Closed/Open-loop Sub-optimal Control of Structures Based

on Output Feedbacks

SONG Gang, TAN Chuan, CHEN Guo

(StateKeyLaboratoryofBridgeEngineeringStructuralDynamics,ChinaMerchantsChongqingCommunications

Research&DesignInstituteCo.Ltd.,Chongqing400067,China)

Abstract：Most recent studies have been based on the application of linear quadratic regulator control to earthquake-excited structures. In linear quadratic regulator control problems, the objective function is defined as the integral of a quadratic expression in the control interval with respect to structural states and control vectors, and the optimal regulator can be derived using Pontryagin’s maximum principle or Bellman’s method of dynamic programming. In traditional linear quadratic regulator control problems, the Riccati equation is obtained without considering the earthquake excitation term. To optimize control and satisfy the optimality condition, in this study, we propose a new closed/open-loop control strategy for structures under earthquake excitation. We derive an analytical solution to a linear regulator problem for structural control without neglecting unknown disturbances. The optimal regulator depends on both the state and disturbances. The solution for this closed/open-loop control requires the knowledge of the earthquake in the control interval, which is approximated based on the real-time prediction of near-future earthquake excitation using the Kalman filtering technique. Earthquake excitation is modeled as an autoregressive process. The prediction algorithm can predict seismic excitation in the near future with high accuracy, although it lacks prediction accuracy for more distant future events. Considering the measurement difficulty of all state variables, especially for some high-order systems, the proposed control strategy only requires the measurement of a partial state. In the calculation of a state transition matrix, which is required to solve a differential equation, large rounding errors may occur when the time-step size is excessively small. To overcome this limitation, we introduce a precise integration algorithm to solve the differential equation. This algorithm is always numerically stable and yields very high precision solutions for numerical integration problems. To demonstrate the effectiveness of the proposed control strategy, we investigated the undamped vibration of a three-story building subjected to horizontal seismic forces. We assumed that the columns of the building are massless and that the mass of the structure is concentrated at floor levels. We implemented control using actuators exerting forces on each story. We also assumed that floor velocities can be measured in real time by sensors installed in every story unit. We used the NS component of the 1940 El Centro earthquake ground acceleration record as the excitation source and performed calculations for its entire duration. We modeled the columns of the building as linear elastic springs and assumed the response mitigation effect of the actuators to be sufficient for the building to behave in a linear elastic manner during earthquake excitation. We did not consider the soil-structure interaction or the dynamic characteristics of the actuators. We investigated the controlled and uncontrolled behavior of the three-story undamped building and compared the relative displacement, velocity, acceleration, and inter-story displacement responses. Our numerical simulation results show that the proposed closed/open-loop sub-optimal output feedback control strategy can significantly reduce structural earthquake responses.

Key words：earthquake excitation; output feedback; close/open-loop control; Kalman filter; precise integration

DOI:10.3969/j.issn.1000-0844.2015.04.0933

中圖分類號:TU352.1

文獻標志碼：A

文章編號:1000-0844(2015)04-0933-05

作者簡介：宋剛(1980-)，男，河南鎮(zhèn)平人，博士，副研究員，主要從事結構振動控制及安全監(jiān)測研究。E-mail: gangsong2008@163.com。

基金項目：交通運輸部應用基礎研究項目(2013319740080, 2014319740160)；交通運輸部信息化技術研究項目(2013364740600)；重慶市科技人才培養(yǎng)計劃項目(cstc2013kjrc-qnrc30001)

收稿日期：①2014-08-20