一類具有飽和發(fā)生率和治療的SEIS模型的分析

劉國(guó)永,李桂花

(中北大學(xué) 數(shù)學(xué)系，山西 太原 030051)

一類具有飽和發(fā)生率和治療的SEIS模型的分析

劉國(guó)永,李桂花

(中北大學(xué) 數(shù)學(xué)系，山西 太原 030051)

研究了一類具有飽和發(fā)生率和治療的SEIS模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài).利用定義法給出模型的基本再生數(shù),得到各類平衡點(diǎn)存在的條件.采用 Routh-Hurwitz 判據(jù)證明了地方病平衡點(diǎn)P*是局部漸近穩(wěn)定的; 利用第二加性復(fù)合矩陣證明了地方病平衡點(diǎn)P*全局穩(wěn)定性的充分條件.

飽和發(fā)生率;治療;基本再生數(shù);穩(wěn)定性

0 引 言

關(guān)于治療函數(shù)的研究,Wang和Ruan在文獻(xiàn)[1]中提出在醫(yī)療資源有限時(shí)采用常數(shù)治療率(將社區(qū)的治療容量看作常數(shù)), 當(dāng)患病者的數(shù)量很大時(shí), 這種治療函數(shù)是比較合理的.Wang等在文獻(xiàn)[2]中考慮了更符合實(shí)際治療的治療函數(shù)h(I),

(1)

其中m=kI0,k是治療率. 研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)治療能力較弱時(shí), 模型會(huì)出現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)的平衡點(diǎn), 同時(shí)也會(huì)出現(xiàn)后向分支.Zhang等在文獻(xiàn)[3]中研究了具有飽和發(fā)生率及治療函數(shù)如(1)的SIS模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài), 發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)發(fā)生后向分支;Li等在文獻(xiàn)[5]中考慮了具有非線性發(fā)生率的治療函數(shù)如(1)的SIR模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài), 發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)同樣存在后向分支. 本文將考慮具有飽和發(fā)生率和治療的SEIS模型, 假設(shè)潛伏期的患者不具有傳染性, 染病者治愈后具有短暫免疫力, 過(guò)一段時(shí)間后又變?yōu)橐赘姓? 將總?cè)丝?N)分為易感者(S), 潛伏者(E), 染病者(I), 考慮具有飽和發(fā)生率和治療的SEIS模型如下:

(2)

其中正參數(shù)A表示人口的輸入,d表示人口的自然死亡率,γ表示自然恢復(fù)率,μ表示因病死亡率,ε表示由潛伏者轉(zhuǎn)化為患病者的概率,β是接觸率系數(shù),α為正常數(shù)并且0≤α≤1,h(I)是(1)中的治療函數(shù).

2 平衡點(diǎn)的存在性

本節(jié)將討論系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)的存在性. 很顯然,系統(tǒng)(2)有一個(gè)無(wú)病平衡點(diǎn)P0(A/d,0). 若0≤I≤I0時(shí), 令系統(tǒng)(2)右端為零, 有

(3)

若I0≤I時(shí), 令系統(tǒng)(2)右端為零, 有

(4)

定理1 當(dāng)0≤I≤I0, 也即1

下面討論I>I0時(shí), 系統(tǒng)(2)平衡點(diǎn)的存在性, 也即討論方程組(4)的解的存在性. 由方程組(4)可以得到I滿足如下方程:

f(I)=A1I2+A2I+A3=0,

(5)

其中,

A1=αdεγ+[dδ+ε(d+μ)](β+αd)>0,

A2=d(d+ε)(δ+k)(1-R0)+d[mβ+(mα-k)(d+ε)],A3=(d+ε)md>0.

(6)

由Δ≥0, 得

(7)

或

(8)

同理, 由I2>I0, 得

(9)

綜上所述,得到下面的定理：

定理2I>I0時(shí)，有

(i)系統(tǒng)(2)不存在正平衡點(diǎn), 若滿足以下條件之一: (a)R0

(ii)如果R0>p2且p4

(iii)如果R0>p2且R0>p3時(shí), 系統(tǒng)(2)存在兩個(gè)正平衡點(diǎn)P1和P2.

定理3 如果1

證明 由定理2可知, 如果R0

2 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

首先討論無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性. 系統(tǒng)(2)在無(wú)病平衡點(diǎn)P0處的Jacobian矩陣為

特征方程為

(λ+d)[λ2+(d+ε+δ+k)λ+d(d+ε)(δ+k)(1-R0)]=0.

當(dāng)且僅當(dāng)R0<1時(shí), 該特征方程的特征根均有負(fù)實(shí)部. 因此, 當(dāng)R0<1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)P0是局部漸近穩(wěn)定的; 當(dāng)R0>1時(shí), 無(wú)病平衡點(diǎn)P0不穩(wěn)定.

定理4 如果R0<1時(shí), 無(wú)病平衡點(diǎn)P0是局部漸近穩(wěn)定的; 若R0>1時(shí), 無(wú)病平衡點(diǎn)P0不穩(wěn)定.

下面討論正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性. 當(dāng)1

特征方程為

λ3+B1λ2+B2λ+B3=0.

其中

顯然, 由計(jì)算機(jī)得到B1B2-B3>0成立, 根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)可知, 矩陣J(P*)的特征根均具有負(fù)實(shí)部. 即地方病平衡點(diǎn)P*是局部漸近穩(wěn)定的.

定理5 如果1

下面討論I>I0時(shí)系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性. 即當(dāng)R0>max{p2,p3}時(shí), 系統(tǒng)(2)的地方病平衡點(diǎn)P1和P2均存在, 但利用解析的方法很難判斷其穩(wěn)定性, 這里不再深入討論其穩(wěn)定性.

3 平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

定理6 如果1

證明 系統(tǒng)(2)在P*處的Jacobian矩陣為

矩陣JP*的第二加性復(fù)合矩陣為

矩陣B = PfP-1+ PJP*[2]P-1可以寫成分塊矩陣

其中

(d+δ+k).

因此

所以

即有

所以滿足文獻(xiàn)[9]中定理3.3.7條件, 從而當(dāng)1

4 總 結(jié)

本文研究了一類具有飽和發(fā)生率和治療的SEIS模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài). 利用定義法算出模型的基本再生數(shù), 從而得到各類平衡點(diǎn)存在的閾值條件. 利用Routh-Hurwitz判據(jù)證明了地方病平衡點(diǎn)P*是局部漸近穩(wěn)定的; 研究發(fā)現(xiàn), 當(dāng)1

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[責(zé)任編輯：王軍]

·學(xué)術(shù)動(dòng)態(tài)·

華東師范大學(xué)博士生導(dǎo)師何品剛教授蒞臨我校講學(xué)

2015年4月27日上午，應(yīng)我?；瘜W(xué)化工學(xué)院的邀請(qǐng)，華東師范大學(xué)化學(xué)系博士生導(dǎo)師何品剛教授在文化路校區(qū)化學(xué)實(shí)驗(yàn)樓311室作了題為“DNA電化學(xué)生物傳感技術(shù)研究”的學(xué)術(shù)報(bào)告.報(bào)告會(huì)由化學(xué)化工學(xué)院院長(zhǎng)趙文獻(xiàn)主持，化學(xué)化工學(xué)院部分師生聆聽(tīng)了報(bào)告.

何品剛教授首先從傳統(tǒng)DNA電化學(xué)傳感器、納米材料修飾電極的DNA電化學(xué)傳感器和均相非固定體系DNA傳感器三個(gè)方面介紹了他的課題組開(kāi)展相關(guān)科研工作的研究背景.隨后，何品剛教授介紹了他的課題組在利用電子掃描電鏡進(jìn)行多通道基因突變的檢測(cè)、基于熒光on-off原理實(shí)現(xiàn)電化學(xué)的基因檢測(cè)以及合成多種聯(lián)吡啶釕功能化的環(huán)糊精分子用于DNA及其他生物分子檢測(cè)分析方向的最新研究成果，并與化學(xué)化工學(xué)院的教師們進(jìn)行了深入的學(xué)術(shù)交流.

何品剛教授語(yǔ)言樸實(shí)幽默、邏輯清晰，研究背景貼近生活，研究?jī)?nèi)容新穎前沿.本場(chǎng)精彩的學(xué)術(shù)報(bào)告讓大家受益匪淺，博得了全體與會(huì)師生的陣陣掌聲，尤其何教授的課題組在多通道基因突變分析方面的創(chuàng)新性研究工作博得了在場(chǎng)師生的一致贊許.會(huì)后，何教授與我校生物分子識(shí)別與傳感河南省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室的科研人員就研究生培養(yǎng)及專業(yè)方向的一些學(xué)術(shù)問(wèn)題進(jìn)行了討論和交流.

何品剛，博士，教授，華東師范大學(xué)博士生導(dǎo)師，任上海化學(xué)化工學(xué)會(huì)分析化學(xué)專業(yè)委員會(huì)主任，上海市歐美同學(xué)會(huì)常務(wù)理事，華東師大分會(huì)會(huì)長(zhǎng).主持科技部863重點(diǎn)項(xiàng)目“重大環(huán)境污染事件特征污染物現(xiàn)場(chǎng)快速檢測(cè)技術(shù)系統(tǒng)”課題；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“電致化學(xué)發(fā)光DNA探針”、“基于有序納米電極材料和納米標(biāo)識(shí)劑構(gòu)建新型納米生物傳感器的研究”、“基于新型聯(lián)吡啶釕環(huán)糊精衍生物和主-客體識(shí)別的電致化學(xué)發(fā)光生物傳感技術(shù)研究”和“均相DNA雜交電化學(xué)生物分子識(shí)別技術(shù)的研究”等課題.在J.Am.Chem.Soc，Chem.Comm.，Anal.Chem.等SCI雜志上發(fā)表研究論文160余篇.

Analysis of an SEIS epidemic model with saturated rate and treatment

LIU Guoyong, LI Guihua

(Department of Mathematics, North University of China, Taiyuan 030051,China)

The dynamical behaviors of an SEIS model with saturated rate and treatment is investigated. The basic reproduction number of the model is given by using the definition,and the existing threshold conditions of all kinds of the equilibrium points are obtained. Locally asymptotic stability of the endemic equilibriumP*isprovedbyusingtheRouth-Hurwitzcriterion，andthesufficientconditionsofglobalasymptoticstabilityoftheendemicequilibriumP*isalsoobtainedbyusingthesecondadditivecompoundmatrix.

saturated rate; treatment; basic reproduction number; stability

2015-01-15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201434)

劉國(guó)永(1989-)，男，山西塑州人，中北大學(xué)碩士研究生，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究.

O

A文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：1672-3600(2015)06-0010-06