巴拿赫空間中一類非線性二階微分方程組的邊值問題

周碧波,張潤玲

(呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 呂梁 033000)

巴拿赫空間中一類非線性二階微分方程組的邊值問題

周碧波,張潤玲

(呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 呂梁 033000)

利用空間中錐理論和不動點定理作為研究工具,由算子的不動點定理推導(dǎo)出了一類非線性二階微分方程組具有唯一一組解的不動點定理,降低了非線性算子具有不動點的條件,拓寬了研究二階微分方程組的方法.

錐;邊值問題;單調(diào)迭代序列

1 預(yù)備知識

隨著非線性科學(xué)的發(fā)展,在過去的十年中,非線性泛函分析在科學(xué)研究領(lǐng)域扮演者越來越重要的角色.作為非線性泛函的一個分支,非線性算子理論在各個科學(xué)領(lǐng)域的到了廣泛的研究和推廣,尤其是非線性算子理論在非線性微分方程積分方程的研究領(lǐng)域得到了極大的研究和推廣[1].眾所周知在理論研究和應(yīng)用方面,非線性算子不動點的存在性和唯一性是非常重要的,許多學(xué)者針對這個問題進(jìn)行了研究,如在參考文獻(xiàn)[2,3,5]中,作者研究了形如A(x)=x或者A(x,x)=x的不動點定理,在上述定理中對A算子要求是全連續(xù)的,條件比較強(qiáng);而對于二階非線性微分方程組的研究相關(guān)文獻(xiàn)很少,在這篇文章里研究一類二階非線性微分方程組,利用算子的緊性和上下解的方法得出了算子具有唯一一組不動點的定理,降低了算子具有不動點的條件,擴(kuò)展了它的應(yīng)用．

為了方便研究,我們給出以下定義,設(shè)E是實的巴拿赫空間,P是E中的錐,E中的半序“≤”由錐P導(dǎo)出,即x≤y當(dāng)且僅當(dāng)y-x∈P,用θ代表E中的零元素,若集合P滿足以下兩個條件:

1)x∈P,λ≥0?λx∈P;

2)x∈P,-x∈P?x=θ;

則稱P是E中的一個錐, 令Pc={u∈C[I,E]:u(t)≥θ,t∈I=[0,1]},則Pc是C[I,E]中的錐.對u0,v0∈C[I,E],u0≤v0,記序區(qū)[u0,v0]={u∈C[I,E]:u0(t)≤u(t)≤v0(t),t∈I},α(*)表示非緊性測度.

這篇文章我們主要討論以下巴拿赫空間E中二階微分方程組的兩點邊值問題(BVP):

(1)

其中t∈I,f,g∈C[I×E×E,E],x0≤x1,y0≤y1,對B?C[I,E],t∈I,記

B(t)={u(t):u∈B}.

為了更好的討論(1)中的二階非線性兩點邊值問題,首先我們考察巴拿赫空間E中二階線性微分方程組的兩點邊值問題(LBVP)

(2)

其中M>0,N≥0,ξ,η∈C[I,E].

2 幾個引理

引理2.1[2]設(shè)w∈C2[I,E],滿足

w″(t)≤Mw(t),w(0)≥θ,w(1)≥θ,其中M>0,則w(t)≥θ,t∈I.

(3)

引理2.2[2]設(shè)M+N<4,其中M>0,N≥0,則LBVP(2)有唯一解.

引理2.3[3](u,v)∈C2[I,E]×C2[I,E]是BVP(1)的解的充要條件是

(u,v)∈C[I,E]×C[I,E]是下列非線性積分方程組的解:

(4)

3 結(jié)論

定理3.1 設(shè)u,v∈C2[I,E]滿足

(5)

其中M>0,N≥0,M>N,則u(t)≥θ,v(t)≥θ,t∈I.

證明:令w(t)=u(t)+v(t),t∈I.由(5)知道:

w″(t)≤(M-N)w(t),w(0)≥θ,w(1)≥θ,

于是由引理2.1可以知道w(t)≥θ,t∈I.即u(t)+v(t)≥θ,t∈I.

(6)

再由(5)和(6)式,

u″(t)≤(M+N)u(t),u(0)≥θ,u(1)≥θ,

v″(t)≤(M+N)v(t),v(0)≥θ,v(1)≥θ,

因此,由引理2.1可以知道,u(t)≥θ,v(t)≥θ,t∈I.證畢.

定理3.2 設(shè)P?E是正則錐并且假設(shè)以下條件被滿足,

(H1)存在u0,v0∈C2[I,E],u0(t)≤v0(t),t∈I,使得

-u″0≤f(t,u0,v0),u0≤x0,u0(1)≤x1,

-v″0≤g(t,v0,u0),v0≥y0,v0(1)≥y1.

(H2)存在常數(shù)M≥0,N≥0,L≥0,對任意的ui,vi∈[u0,v0](i=1,2),u2≥u1,v1≥v2,t∈I,有

f(t,u2,v2)-f(t,u1,v1)≥-M(u2-u1)-N(v2-v1),

g(t,u2,v2)-g(t,u1,v1)≥-M(u2-u1)-N(v2-v1),

g(t,u2,v2)-f(t,u1,v1)≥-M(u2-u1)-N(v2-v1).

(H3)M>N,M+N<4.

則BVP(1.1)有唯一一組解(u*,v*)∈[u0,v0]×[u0,v0],并且存在單調(diào)迭代序列

{un},{vn}?[u0,v0],使得{un(t)}和{vn(t)}關(guān)于t∈I分別一致收斂于u*(t)和v*(t),更進(jìn)一

步,{un(t)}和{vn(t)}滿足

un(t)=x0+t(x1-x0)

(7)

vn(t)=y0+t(y1-y0)

(8)

u0≤u1≤…≤un≤…≤u*≤v*≤…≤vn≤…≤v1≤v0.

(9)

證明:對任意(ξ,η)∈[u0,v0]×[u0,v0],由條件(H3)和引理2.2可以知道,LBVP(2)有唯一解(u,v)∈C2[I,E]×C2[I,E].

定義算子A(ξ,η)=(A1(ξ,η),A2(η,ξ))=(u,v).

令un=A1(un-1,vn-1),vn=A2(vn-1,un-1),(n=1,2,…).

顯然,由引理2.3可知{un},{vn}滿足(7)和(8)式,以下用歸納法證明

un-1≤un≤vn≤vn-1,n=1,2,…

(10)

由(H1)和(H2),有

(u1-u0)″(t)≤M(u1-u0)-N(v0-v1)

(u1-u0)(0)≥x0-x0=θ,(u1-u0)(1)≥x1-x1=θ,

(v0-v1)″(t)≤M(v0-v1)-N(u1-u0),

(v0-v1)(0)≥y0-y0=θ,(v0-v1)(1)≥y1-y1=θ,

(v1-u1)″(t)≤M(v1-u1)-N(v1-u1),

(v1-u1)(0)=y0-x0≥θ,(v1-u1)(1)=y1-x1≥θ.

因此,由引理2.1和定理3.1可知,u0≤u1≤v1≤v0.

假設(shè)un-1≤un≤vn≤vn-1.由(H2)得

(un+1-un)″(t)≤M(un+1-un)-N(vv-vn+1),

(un+1-un)(0)=x0-x0=θ,(un+1-un)(1)=x1-x1=θ,

(vn-vn+1)″(t)≤M(vn-vn+1)-N(uv+1-un),

(vn-vn+1)(0)=y0-y0=θ,(vn-vn+1)(1)=y1-y1=θ,

(vn+1-un+1)″(t)≤(M-N)(vn+1-un+1),

(vn+1-un+1)(0)=y0-x0≥θ,(vn+1-un+1)(1)=y1-x1≥θ,

因此,再由引理2.1和定理3.1可知,un≤un+1≤vn+1≤vn.故對任何自然數(shù)n,不等式

(11)

式成立.再利用(10)式得到u0≤u1≤…≤un≤…≤vn≤…≤v1≤v0.

(12)

在上述條件下我們再定義U={un},V={vn},U(t)={un(t)}?E,V(t)={vn(t)}?E,t∈I.所以U,V?[u0,v0],因為P?E是空間中的一個正則錐,所以由正則錐的性質(zhì)Pc?[I,E]是空間中的一個正規(guī)錐.因此,U,V都是C[I,E]空間中的的有界集.由條件(H1)和(H2)并利用定理易證,U和V在區(qū)間I上都是等度連續(xù)的集合.

由Pc?[I,E]的正規(guī)性,可以證明,{un},{vn}在I上分別一致收斂于u*,v*∈[u0,v0],在(7)和(8)中令n→+∞,我們有:

(12)

即(u*,v*)是非線性微分方程組的(4)的解,由極限性質(zhì)知是唯一一組解,再由上面已知引理2.3得到(u*,v*)∈[u0,v0]×[u0,v0]是巴拿赫空間中二階非線性微分方程組兩點邊值問題(1)的一組解,且具有唯一性,且上述不等式(10)成立,證畢.

[1] 孫經(jīng)先.非線性泛函分析及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2007

[2] Suzuki T.Characterizations of Fixed points of nonexpansivem appings[J].Int JM athSci,2005:1723-1735

[3] 蔣秉華,張 敏.不動點定理的應(yīng)用[J].德州學(xué)報，2004，21(5):76-79

[4] 吳幼明,王向東，岳珠峰.一類二階微分方程組的通解[J].汕頭大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2007(3):15-20

[5] 譚長明,龍 麗.不動點定理在方程解方面的應(yīng)用[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2006(3):83-85

The Two-Point Boundary Value Problems for the Systems of Second Order Nonlinear Differential Equations

Zhou Bibo,Zhang Runling

(Department of Mathematics Lvliang University, Lvliang 033000,China)

By using the cone stretching method,To study the two-point boundary value problems for the systems of second order nonlinear differential equations.Some new results are obtained, some relevant results are extended and improved.

cone theory; completely continuous operator; banach space

2014-10-28

山西省呂梁學(xué)院自然科學(xué)校內(nèi)青年基金項目(2RXY201306).

周碧波(1978-)，男，山西運城人，呂梁學(xué)院數(shù)學(xué)系助教，主要從事非線性泛函分析研究.

1672-2027(2015)01-0005-04

O175

A