淺談數(shù)學思維對解題的重要意義

張文波（農(nóng)安縣萬順鄉(xiāng)中學 吉林農(nóng)安 130200）

淺談數(shù)學思維對解題的重要意義

張文波
（農(nóng)安縣萬順鄉(xiāng)中學 吉林農(nóng)安 130200）

本文以中考例題為切入點，闡述了數(shù)學思維在解題過程中的重要作用。

數(shù)學 中考 方法 體驗 解題

請看以下例題

（1）連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點O的對應點O|恰好落在該拋物線的對稱軸上，求實數(shù)。的值：

（2）在正方形EFGH中，點E、F的坐標分別是（4，4）、（4，3），邊HG位于邊EF的右側(cè)。小林同學經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)了一個正確的命題：“若點P是邊EH或邊HG上的任意一點，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個平行四邊形的四條邊對應相等（即這四條線段不能構(gòu)成平行四邊形）?！比酎cP是邊EF或邊FG上的任意一點，剛才的結(jié)論是否也成立？請你積極探索，并寫出探索過程；

（3）當點P在拋物線對稱軸上時，設點P的縱坐標t是大于3的常數(shù)，試問：是否存在一個正數(shù)a，使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個平行四邊形的四條邊對應相等（即這四條線段能構(gòu)成平行四邊形）？請說明理由。

【教學反思】

本題共計390字符，閱讀量偏大。題中均有拋物線，故以二次函數(shù)為“載體”，考查三角形與四邊形，起點較高，難度較大。主要體現(xiàn)在兩方面：一是考查知識點較多且需深入挖掘；二是數(shù)學思想運用得較為廣泛，對學生綜合素質(zhì)要求較高。一見到本題，大多數(shù)學生感覺無從下手，即使是尖子生，面對第（2）題同時也難免一頭霧水。真的這么難嗎？

一、理清基本知識點，尋找解題思路

教學時，首先讓學生嘗試說出本題考查的知識點，主要包括折疊問題、三角形的有關(guān)知識、命題、二次函數(shù)的交點式及對稱性、平行四邊形、解直角三角形、垂線段、解方程、解不等式等。從這么多知識點中快速尋找解題思路，對基本能力（特別是化歸能力）要求頗高：同時，本題閱讀量偏大，還應關(guān)注學生獲取、收集、處理和運用信息能力；題目新穎，又考查學生創(chuàng)新精神和實踐能力。教師在教學中應做到：

1.及時歸納，尋找“突破點”

俗話說，萬變不離其宗。圖形在平移、旋轉(zhuǎn)或翻折過程中，位置和方向會有所改變，但其本質(zhì)是全等變換，其中蘊含的不變往往是解決問題的突破口。針對第（1）小題，學生大都思路清晰，能把握住“折疊”這一全等變換，從而利用對應邊、對應角的不變性進行分析。再聯(lián)系到求解二次函數(shù)與坐標軸的交點坐標及對稱性這經(jīng)常性問題，通過解直角三角形求解。教師在引導學生歸納解題思路時應緊扣不變量，關(guān)注方法，要把解題思維貫穿于一種題型中，讓學生自我形成知識建構(gòu)。

2.適時提升，體驗“全過程”

在日常教學中，教師要重視學生體驗知識產(chǎn)生和發(fā)展過程，理順知識的來龍去脈，理清知識呈現(xiàn)的過程，理解公式、定理和法則等的推導過程，杜絕死記硬背，給學生充分反思時間，逐步提升學生能力。第（2）問考查的知識，需要提醒學生關(guān)注第一個正確命題，找準關(guān)鍵點，體會不構(gòu)成平行四邊形是考慮邊的數(shù)量關(guān)系不滿足平行四邊形的判定，從而大膽猜測證明一條與另外三條不相等，類似解決方法在2011年《中考數(shù)學能力自測》208頁第2題最后一問中有所體現(xiàn)。對于新穎的能力提升題，應讓學生在體驗分析和解決問題的全過程，做到事半功倍。

二、挖掘思想方法，體驗解題過程

本題運用的數(shù)學思想方法較多，包括化歸、數(shù)形結(jié)合、特殊到般，以及方程等思想。解決本題離不開數(shù)學思想的綜合運用，教師在教學中應關(guān)注這幾種思想的展現(xiàn)過程：

1.體驗過程，重視思考和交流

“解題就是把要解的題轉(zhuǎn)化為已解過的題”。數(shù)學解題過程就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程?！皩W而不思則罔”，教師應引導學生解題時勤于思考，不僅立足原題思考，還要有舉一反三和觸類旁通的變式思考。拿到壓軸題后，不要急于動手，而是思維在先。有相當一部分學生在壓軸題上失分，并不是沒有解題思路，而是錯在非?；靖拍詈秃唵斡嬎慊蜉斣凇皩忣}”上。講解本題時，我讓學生嘗試把自己體會主動大膽講給其他同學聽，遇到問題要善于和同學、老師辯一辯，堅持真理，改正錯誤。當時第（2）問他們討論得很熱烈，討論重點并不是淺顯的成立不成立，而是如何去說明不構(gòu)成平行四邊形，個別同學甚至已初步得出PB比另外3條小的突破點。通過思考、交流和體驗過程，慢慢展示自己分析問題能力，再加上扎實基本功，壓軸題也不在話下。

2.優(yōu)化思維，提煉思想和方法

講課時，教師要注意展示學生解題的思維過程，更要注重典型題目的運算技巧。2011年蘇州市中考數(shù)學閱卷老師深有感觸：許多同學做壓軸題時存在思維混亂問題。中考時間畢竟有限，要解決這么多問題，應在考前沖刺做文章。臺上一分鐘，臺下十年功。日常訓練中對待一些疑難問題，應引導學生多些思考、探究和嘗試，發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新性解法。要教會學生“大題小做”，即對一些綜合題應化“大”為“小”，以“庖丁解牛”的精、氣、神，把它“肢解”成小問題，然后對這些小問題逐個推導，找出規(guī)律，再將其融合升華為大題。要注重培養(yǎng)學生直接觀察、大膽猜測及多種數(shù)學思想的靈活運用，讓學生碰見難題時“化難為易，化繁為簡，化未知為已知”，切實提高學生基本功。

俗話說，“授人以魚不如授人以漁?！庇梢坏李}的解決方法出發(fā)，掌握一類題的普遍做法，是應倡導的教學技巧?；诖?，針對蘇州市2011年中考數(shù)學中的這道壓軸題，要引導學生理清這類題的大致思路及般解法，找出其共性；更要抓住其中細微區(qū)別，找出其特殊性。當然，更希望學生不僅會對老師講過的題“依葫蘆畫瓢”，而且對其變式題更要做到求“同”存“異”。其實，數(shù)學題目存在無限的數(shù)量，題型類別也豐富多彩，但數(shù)學的思想方法卻還是相對有限的，特別是還存在中考大綱的范圍限制。因此，相信只要學好有關(guān)基礎知識，掌握必要數(shù)學思想方法，就能輕松應對各種題目和題型，提升數(shù)學邏輯和思維能力。