一類偏微分方程特征值的估計(jì)

吳 平

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

一類偏微分方程特征值的估計(jì)

吳 平

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

考慮一類偏微分方程特征值的估計(jì)，利用Rayleigh定理、分部積分法和不等式估計(jì)等方法，得到第k+1個(gè)特征值用前k個(gè)特征值來(lái)估計(jì)的不等式，這個(gè)結(jié)果有廣泛的應(yīng)用價(jià)值.

一類偏微分方程；特征值；估計(jì)

設(shè)方程(1)的特征值為0＜η1≤η2≤…≤ηk≤ηk+1≤…，對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為w1，w2，…，wk，wk+1，…，且滿足

記???=? =2Δ，(i，j，l=1，2，…).

對(duì)問(wèn)題(1)，利用分部積分法有

假設(shè)

根據(jù)Rayleigh定理可得

求得

利用ψil與wj(j=1，2，…，k)的正交性，以及由式(6)得

利用式(7)得

利用式(5)和式(8)有

在式(9)中，用ηk替代所有的ηi(i=1，2，…，k)有

1 引理

引理1 設(shè)wi是問(wèn)題(1)對(duì)應(yīng)的特征值ηi(i=1，2，…，k)的特征函數(shù)，則

證利用分部積分法、Schwartz不等式得

同理

化簡(jiǎn)得利用分部積分法、Schwartz不等式、式(11)、式(12)和式(3)得

化簡(jiǎn)得引理1的1).引理1的1)代入式(12)得引理1的2).引理1的2)代入式(11)得引理1的3).

引理2 設(shè)wi是問(wèn)題(1)對(duì)應(yīng)的特征值ηi的特征函數(shù)(i=1，2，…，k)，則

證對(duì)于1)，利用分部積分法得

對(duì)于2)，類似地有

利用式(13)得

利用引理2的1)和式(14)得

引理3 設(shè)ηi(i=1，2，…，k)是問(wèn)題(1)的k個(gè)特征值，則

證，由于，，所以有從而得

利用引理2的2)和式(15)有

利用Schwartz不等式、式(3)和引理1的1)得

根據(jù)式(16)、式(17)可得引理3.

引理4 對(duì)ψil和ηi(i=1，2，…，k；l=1，2，…，m)，有

證由ψil的定義，有

即有

利用式(18)、式(19)得

根據(jù)式(20)、Schwartz不等式和引理2得

根據(jù)式(21)和引理1的2)有

從而得

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)ηi(i=1，2，…，k+1)是問(wèn)題(1)的特征值，則

證根據(jù)引理3和引理4，由式(10)得定理1的1)，ηi用ηn來(lái)代換，得定理1的2).

定理2 對(duì)于m≥2，k≥1，有

證選擇參數(shù)σ＞ηk，利用式(9)得

利用式(19) 和Young不等式有

式中δ＞0是待定常數(shù).

利用引理1的2)與式(25)得

選取

式(26)右端的值可達(dá)到最小，根據(jù)式(26)及式(27)有

把式 (28)代入式(24)得

式中σ＞ηk，選取σ，使不等式(29)右端等于0，即

3 結(jié)論

考慮一類偏微分方程特征值的估計(jì)，利用Rayleigh定理、分部積分法和不等式估計(jì)等方法，得到第k+1個(gè)特征值用前k個(gè)特征值來(lái)估計(jì)的不等式，這個(gè)結(jié)果有廣泛的應(yīng)用價(jià)值.

[1] HILE G N，YEN R Z.Inequalities for eigenvalues of the biharmonic operator[J].Pacific J.Math.，1984，112：115-133.

[2] 吳平. 一類偏微分系統(tǒng)譜的上界估計(jì)[J]. 寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2014(1)：94-97.

[3] 吳平. 一類5階常微分方程特征值的估計(jì)[J]. 商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2014(2)：1-5.

(責(zé)任編輯：沈鳳英)

Estimates of Eigenvalues for a Partial Differential Equation

WU Ping
(Department of Mathematics and Physics，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

This paper addresses the estimates of eigenvalues of a partial differential equation.We construct some test function and then use Rayleigh theorem to basic inequality.These estimates are that the (k+1)th eigenvalue is bounded from above by an amount depending on the first k eigenvalues and independent of the measure of the domain in which the problem is concerned.This kind of problem is significant in potential application to mechanics and physics.

a partial differential equation；eigenvalue；estimates

O175.9

A

1008-5475(2015)03-0045-05

2014-12-17；

2015-01-15

吳 平(1962-)，男，江蘇蘇州人，副教授，主要從事方程特征值研究.