橫向流中細長圓柱的熱彈性顫振*

李云東 楊翊仁

(1.西南交通大學力學與工程學院 成都 610031)(2.四川理工學院理學院，自貢 643000)

引言

管束振動是當流體流過換熱器的管陣時，流體力、慣性力、和彈性力聯(lián)合作用下動力失穩(wěn)而發(fā)生的自激振動.動力失穩(wěn)將引起管的毀壞，管大幅度的振動可能會引起管與管之間的碰撞以及管與折流板之間的磨損［1］.在一定流速下，如果流體給管子的能量大于管子阻力消耗的能量，管子的振幅突然增大，即發(fā)生了一般所說的流彈性振動.在流彈性失穩(wěn)后，隨著流速增加，結(jié)構(gòu)運動的幅度增大，系統(tǒng)非線性影響變得重要.Weaver［2］指出非線性是換熱器管陣結(jié)構(gòu)的固有性質(zhì)，主要來自于管與松散支撐 的 折 流 板 的 碰 撞.Paidoussis和Li［3］、Chen etal［4］、Cai和Chen［5］、de Bedout［6］、王琳［7］都研究過管陣中管子帶有結(jié)構(gòu)強非線性的橫向流致振動，復雜的動力學行為可能出現(xiàn)，尤且是可能出現(xiàn)混沌運動.以上研究均未考慮熱效應的影響，實際上換能器中的管陣，將經(jīng)歷嚴酷的熱環(huán)境.

本文是在Paidoussis和Li［3］研究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)考慮管的非線性響應問題.以圓柱陣中一根典型單柱為研究對象，首先建立了考慮熱效應的圓柱的動力學方程，然后應用Galerkin方法離散運動方程，首先分析了熱載荷對系統(tǒng)臨界流速的影響，采用數(shù)值方法研究了隨著橫向流速的變化，系統(tǒng)出現(xiàn)的非線性動力學現(xiàn)象，包括混沌和周期窗口在內(nèi)的各種復雜響應.

1 動力學方程

本文為了分析方便，把管當作圓柱來處理，橫向流作用下的圓柱陣中，取一根彈性圓柱，其兩端固支，中間受到折流板的約束的圓柱模型，如圖1所示.圓柱排外部遭受橫向流，流體速度和密度為U和ρ，圓柱直徑為D，圓柱長度為l.

在模型中，考慮振動圓柱中間受到折流板的約束，模擬為圓柱中間作用有非線性彈簧，其彈簧約束考慮為立方非線性彈簧，彈簧約束力與圓柱振動位移關(guān)系為:

其中:k1為剛度，δ為Dirac delta函數(shù)

Mx是圓柱的彎矩;w為圓柱橫向振動的變形;c是結(jié)構(gòu)的黏性阻力系數(shù);m是每單位長度圓柱質(zhì)量;F是橫向流作用在圓柱上的流體力.

圓柱橫向位移導致圓柱軸向伸長而引起的附加力

其中:σ是應力，A是圓柱的橫截面.

根據(jù)Wickert的彈性梁簡化模型，應變位移關(guān)系為:

設(shè)材料為完全彈性材料，考慮溫度的影響，有:

其中:E是彈性模量，αT是熱膨脹系數(shù)，ΔT=TT0，T0:初始溫度，T:升高溫度.

把(3)代入(4)得到沿x軸變化的附加軸力為:

彎矩Mx:

其中:I截面慣性矩.

把(5)(6)代入(1)，有:

流體力F是圓柱運動位移函數(shù)，文獻［3］［7］給出了“準穩(wěn)態(tài)”模型來表示，Price和Paidoussis［8］展示了運用此模型的得到的管陣穩(wěn)定性結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)具有較好的一致性.

圖1 (a)橫向流中的圓柱陣(b)中間約束的彈性圓柱Fig.1 (a)Array of cylinders in cross flow(b)A single elastic cylinder with intermediate constraints

其中:

CL和CD是圓柱陣中圓柱的升力和阻力系數(shù)，Cma是流體附加在圓柱上的附加質(zhì)量系數(shù)，U是來流速度，D是圓柱直徑，ρ是流體密度，Δt是時間延遲來自于圓柱運動和流體力之間的耦合作用時有滯后效應.

引入無量綱參數(shù):

把無量綱量(10)代入方程(7)得到無量綱的運動方程為

2 運動方程離散

采用Galekin方法對方程(11)進行離散，滿足固支邊界條件的圓柱位移函數(shù)取為:

其中:

為固支梁的振型函數(shù).

［9］，得固支梁的前五階特征根為

由此算得:

將式(12)代入方程(11)，利用振型函數(shù)的正交性，并在［0，1］區(qū)間內(nèi)積分，可得微分方程:

式中

本文所用參數(shù)取值如下［2］:

3 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

由式(17)方程的系數(shù)可以得到，對于方程(16)的線性部分奇數(shù)階模態(tài)和偶數(shù)階模態(tài)是解耦.一般地，系統(tǒng)首先是發(fā)生低階模態(tài)失穩(wěn)，為了方便計算，本文截取前1，3階模態(tài)進行分析，由式(16)，且令

可得:

很顯然式(19)有一個平衡點(0，0，0，0)，在平衡點附近，線性化方程(19)，得:

其中:

這里各參數(shù)為:

設(shè)方程(20)的解為

把上式代入(20)得，特征方程為:

設(shè)λ=σ+iω，當σ＜0時，平衡態(tài)是漸進穩(wěn)定的，當σ＞0時，平衡態(tài)是不穩(wěn)定的.當σ=0，系統(tǒng)的特征值有一對純須根，一般地，這時候系統(tǒng)會出現(xiàn)顫振.把代入(22)，并且分離方程的實部和虛部，可以得到:

為虛部的方程.

為實部的方程.

通過求解方程(23)(24)，可以得到系統(tǒng)發(fā)生HOPF分岔的臨界速度和對應的無量綱頻率，如表1.接下來，作者將給出在不同熱載荷作用下的臨界速度.

表1 隨溫度升高無量綱臨界速度和頻率Table 1 Dimensionless critical velocity and frequency with increasing temperature

從表1可以看出，隨著熱載荷的增加，系統(tǒng)發(fā)生顫振的臨界速度在不斷降低.在實際工程應用中，管陣作為能量交換設(shè)備，我們應該考慮熱環(huán)境的影響，系統(tǒng)實際發(fā)生失穩(wěn)的臨界速度應該比沒有考慮熱載荷計算出來的臨界速度要小.

4 數(shù)值分析及結(jié)果

一般地，線性穩(wěn)定性分析是用來預測參數(shù)值接近穩(wěn)定邊界的行為.然而無法預測參數(shù)值遠離穩(wěn)定性邊界以后的系統(tǒng)響應情況.在這節(jié)里我們將采用數(shù)值算法，研究參數(shù)值遠離穩(wěn)定性邊界后的動力學行為.采用龍格-庫塔算法對運動控制常微分方程(16)進行計算，初始條件取為由方程(16)可以看到，在非線性項里，奇數(shù)階模態(tài)和偶數(shù)階模態(tài)不再解耦，所以我們?nèi)」讨Я旱那拔咫A模態(tài)進行數(shù)值計算.

取溫度Rx=1，γ=300，k=104，采用分岔圖和相圖描述圓柱位置ξ=0.5處的響應.當位置在ξ=0.5處的響應到達穩(wěn)態(tài)時，速度為零時，記錄此時的位移，便得到了位移隨流速變化的分岔圖，如圖2所示.從分岔圖可以看出，系統(tǒng)經(jīng)歷了穩(wěn)定狀態(tài)，周期運動狀態(tài)，擬周期運動狀態(tài)，最后是周期1運動變?yōu)榛煦邕\動.

圖2 ξ=0.5處流速參數(shù)區(qū)域分岔圖(a)0≤U≤7.2(b)7.2≤U≤8.2Fig.2 Bifurcation diagram of the parameter of fluid speed atξ=0.5(a)0≤U≤7.2(b)7.2≤U≤8.2

從圖2中看到，隨著橫向流速的不斷增加，系統(tǒng)呈現(xiàn)非常復雜的非線性動力學現(xiàn)象.當流速U＜1.562時，系統(tǒng)呈現(xiàn)為穩(wěn)態(tài)運動;當流速1.562＜U＜3.83時，系統(tǒng)發(fā)生極限環(huán)運動;流速在3.83＜U＜6.85時，系統(tǒng)呈現(xiàn)為周期3運動;流速在6.85＜U＜7.18時，系統(tǒng)發(fā)生短暫時的擬周期運動;流速在7.18＜U＜7.42時，系統(tǒng)又呈現(xiàn)極限環(huán)運動，當U＞7.42以后，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運動.

下面我們將以相圖更加清楚地描述了系統(tǒng)的運動過程.圖3(a)為U=1.9(U＞Ucr=1.562)時的情況，系統(tǒng)發(fā)生極限環(huán)振動.當U=5.5時，系統(tǒng)出現(xiàn)周期3運動(圖(b))，時，系統(tǒng)發(fā)生擬周期運動，U=7.3時，出現(xiàn)周期1運動，U=8.0時，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌運動相圖.

圖3 各流速下系統(tǒng)的相軌跡圖Fig.3 Phase portraits of system with various velocity

5 結(jié)論

本文考慮橫向流圓柱陣中單彈性細長圓柱體，在定常溫度下，圓柱的熱彈性顫振問題.基于橫向彎曲振動引起軸力變化的以及圓柱振動與折流板發(fā)生碰撞，建立了溫度效應下彈性圓柱橫向流致振動的動力學方程.研究了系統(tǒng)的分岔，并采用數(shù)值方法研究了系統(tǒng)的非線性響應，得到了一些結(jié)論:

(1)線性顫振分析得到了顫振臨界度隨溫度變化的關(guān)系，溫度升高降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

(2)隨著橫向流速增加，系統(tǒng)經(jīng)歷了穩(wěn)態(tài)運動和極限環(huán)運動、擬周期運動，然后再次發(fā)生周期運動，最后進入混沌運動.

參考文獻

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