多渦卷Chua混沌吸引子的設(shè)計與性能分析*

孫克輝 艾星星 左婷 朱從旭

(1.中南大學(xué)物理與電子學(xué)院，長沙 410083)(2.新疆大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，烏魯木齊 830046)

引言

相比單渦卷和雙渦卷混沌系統(tǒng)，多渦卷混沌系統(tǒng)具有更加復(fù)雜的動力學(xué)行為和更廣泛的應(yīng)用前景，因此，關(guān)于多渦卷混沌吸引子的研究正成為混沌領(lǐng)域的研究熱點.國內(nèi)外研究人員在該領(lǐng)域先后提出了用分段線性、階梯波和符號函數(shù)等來產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的方法［1-7］.然而這些提出的非線性函數(shù)多為不連續(xù)的，存在突變點［1-12］.眾所周知，混沌具有初值敏感性［13］，而函數(shù)的不連續(xù)和突變對混沌信號可能會造成一定的影響，物理實現(xiàn)也存在一定的困難.因此，研究采用連續(xù)的非線性函數(shù)產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子具有重要研究意義.在非線性電路研究中，蔡氏電路是最早提出并且研究得最為透徹的一個混沌電路.Chua電路中，隨著電路參數(shù)的變化，系統(tǒng)可呈現(xiàn)十分豐富的動力學(xué)行為，如倍周期分岔、單渦卷、周期、雙渦卷等.由于Chua電路簡單且容易實現(xiàn)，本文在Chua電路基礎(chǔ)上，采用由連續(xù)函數(shù)雙曲正切函數(shù)和線性函數(shù)疊加而成的非線性函數(shù)，研究基于連續(xù)非線性函數(shù)的多渦卷混沌吸引子設(shè)計方法及其動力學(xué)性能.

論文的安排如下，首先設(shè)計了兩類連續(xù)的非線性函數(shù)，并將連續(xù)的非線性函數(shù)應(yīng)用于Chua系統(tǒng)中，得到了單方向的多渦卷混沌吸引子，并對其進(jìn)行了性能分析，討論了系統(tǒng)參數(shù)的選取方法;然后設(shè)計了基于非線性函數(shù)的網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子，并對網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng)進(jìn)行了性能分析，最后給出結(jié)論.

1 基于Chua系統(tǒng)的單方向多渦卷混沌吸引子模型與性能分析

1.1 單方向多渦卷混沌吸引子的建模

多渦卷混沌系統(tǒng)的設(shè)計方法如下:選取適當(dāng)?shù)幕煦缦到y(tǒng)并設(shè)計合適的非線性項，進(jìn)行非線性項替代，并且使得在求平衡點的過程中能將平衡點計算簡化為一元方程和一個線性方程組的求解.此方法的關(guān)鍵在于設(shè)計能產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的非線性函數(shù)，并注意調(diào)整平衡點的位置與類型.若設(shè)計的平衡點為指標(biāo)2的鞍焦點則能產(chǎn)生渦卷，若為指標(biāo)1的鞍焦點則能產(chǎn)生鍵帶，設(shè)計的平衡點是指標(biāo)1與指標(biāo)2相間隔便能產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子［5-7］.Chua系統(tǒng)微分方程為

其中α=10，β=16，h(x)是一個分段線性函數(shù).

構(gòu)造一個連續(xù)非線性函數(shù)替代原有的分段線性函數(shù)產(chǎn)生多渦卷吸引子，設(shè)計系統(tǒng)的非線性函數(shù)h(x)為

以上非線性函數(shù)h(x)是由線性的kx和非線性tanh(x)組合而成.因tanh(x)是連續(xù)的，連續(xù)函數(shù)相加減還是連續(xù)的，所以函數(shù)h(x)是連續(xù)的.k是線性項kx的斜率，p是非線性項的平移因子，可以控制產(chǎn)生渦卷的大小，p越大，吸引子范圍越大.參數(shù)n的選取對非線性函數(shù)有較大的影響，n越大，tanh(nx)在各點的斜率越大，當(dāng)n趨于無窮大時，tanh(nx)無限逼近符號函數(shù).這里連續(xù)非線性函數(shù)是多渦卷混沌系統(tǒng)中產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的關(guān)鍵所在，tanh(x)函數(shù)波形如圖1所示，當(dāng)k=0.3，p=0.5，n=20時，以能產(chǎn)生六個渦卷為例，h(x)的波形如圖2所示.

圖1 tanh(x)函數(shù)波形Fig.1 Wave of tanh(x)

圖2 非線性連續(xù)函數(shù)波形Fig.2 Wave of continuous nonlinear function

下面分析系統(tǒng)的平衡點特性，令式(1)左邊等于零，得到平衡點方程組為h(x)=0，x+z=0，y=0.以兩渦卷為例，則有x-0.5tanh(nx)=0，用一元不動點迭代法可求得x1=0.125，x2=-0.125，x3=0.系統(tǒng)在平衡點的Jacobian矩陣為

其中i=1，2，3.由此可得平衡點x1的3個特征值分別為-3.6228，0.2103±3.1116i.x2的3個特征值分別為-3.6228，0.2103±3.1116i.x3的3個特征值分別為27.3457，-0.6728±3.9173i.可見x1、x2平衡點為指標(biāo)2的鞍焦點，可以形成渦卷，而x3平衡點為指標(biāo)1的鞍焦點可以形成鍵帶，通過鍵帶將兩個渦卷連接在一起，從而形成兩渦卷吸引子.

1.2 單方向多渦卷混沌吸引子的數(shù)值仿真

取k=0.3，p=0.5，n=20，初始值為(0.3，0.1，0)，在Matlab中利用龍格-庫塔法進(jìn)行數(shù)值仿真，渦卷數(shù)目越多，呈現(xiàn)出完整吸引子的仿真時間越長，得單方向多渦卷吸引子相圖如圖3所示.

圖3 單方向多渦卷吸引子相圖(a)兩渦卷(b)三渦卷(c)四渦卷(d)五渦卷(e)六渦卷(f)七渦卷Fig.3 Phase phase diagram of single direction multi-scroll attractors(a)two-scroll(b)three-scroll(c)four-scroll(d)five-scroll(e)six-scroll(f)seven-scroll

由圖可知，利用連續(xù)的非線性函數(shù)可得到多渦卷混沌吸引子，并且系統(tǒng)是在x方向產(chǎn)生多渦卷吸引子，平衡點的分布位置是由連續(xù)非線性項所確定，得到吸引子清晰，大小一致，處于同一水平位置，y的取值范圍一致，有利于電路實現(xiàn)，因為若每個吸引子的y范圍太大，當(dāng)渦卷數(shù)目太多時，會導(dǎo)致有些渦卷的y值會超出元器件的取值范圍，不利于電路實現(xiàn).

1.3 單方向多渦卷混沌吸引子的性能分析

這里以四渦卷吸引子為例，分析當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化時，系統(tǒng)的動力學(xué)特性.設(shè)p=0.5、n=20，參數(shù)k在［0，1］內(nèi)變化，仿真步長為0.002，得到四渦卷吸引子隨參數(shù)k變化的分岔圖如圖4所示.可見，縱坐標(biāo)分為四個區(qū)域，這與四渦卷吸引子相圖相對應(yīng);系統(tǒng)k參數(shù)在較大范圍內(nèi)處于混沌狀態(tài)，對于保密通信應(yīng)用而言，相應(yīng)密鑰范圍空間大，可提高保密系統(tǒng)抗窮舉攻擊的能力.計算四渦卷吸引子關(guān)于參數(shù)k的最大Lyapunov指數(shù)曲線如圖5所示，可見，最大Lyapunov指數(shù)在［0.072，0.826］范圍內(nèi)是正的，結(jié)果與圖4所示的分岔圖顯示的范圍相一致.此外，從圖中可知，對于k參數(shù)而言，當(dāng)k取0.3時吸引子大小和系統(tǒng)復(fù)雜性都比較合適.

圖4 四渦卷吸引子關(guān)于參數(shù)k的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram about k of four-scroll attractors

設(shè)k=0.3，n=20，參數(shù)p在［0.2，10］范圍內(nèi)變化，且仿真步長為0.002，四渦卷吸引子的關(guān)于參數(shù)p的分岔圖如圖6所示，可見參數(shù)p在該區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)是混沌的，p取0.5是正確的，而且隨著參數(shù)p的增大，分岔圖呈現(xiàn)持續(xù)增長的趨勢，說明吸引子隨p參數(shù)增加而變大，可見通過改變p的大小能夠控制渦卷的大小，這對多渦卷混沌系統(tǒng)的應(yīng)用具有實際意義.同樣，計算四渦卷吸引子關(guān)于參數(shù)p的最大Lyapunov指數(shù)如圖7所示.可見，系統(tǒng)在［0.2，10］范圍內(nèi)最大Lyapunov指數(shù)為正，表明系統(tǒng)在該范圍內(nèi)處于混沌狀態(tài)，與分岔圖6相一致，盡管在p=2.79附近，系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)出現(xiàn)極小值，但其值仍然為正，所以此時附近系統(tǒng)也是處于混沌狀態(tài).

圖5 系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)隨參數(shù)k變化的波形Fig.5 Largest Lyapunov exponent about k of system

圖6 四渦卷吸引子關(guān)于參數(shù)p的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram about p of four-scroll attractors

圖7 最大Lyapunov指數(shù)隨參數(shù)p變化的波形Fig.7 Largest Lyapunov exponent about p of system

設(shè)k=0.3，p=0.5，參數(shù)n在［3，25］范圍內(nèi)變化，且仿真步長為0.005，四渦卷吸引子的關(guān)于參數(shù)n的分岔圖如圖8所示，為了能夠清楚的觀察其分岔行為，將區(qū)間［3，5］放大可得圖9，可見系統(tǒng)是以倍周期分岔方式進(jìn)入混沌.同樣，計算四渦卷吸引子關(guān)于參數(shù)n的最大Lyapunov指數(shù)如圖10所示.可見，系統(tǒng)在［3.66，25］范圍內(nèi)最大Lyapunov指數(shù)為正，表明系統(tǒng)在該范圍內(nèi)處于混沌狀態(tài)，與分岔圖8相一致.而且隨著參數(shù)n的變化，系統(tǒng)可呈現(xiàn)極限環(huán)、周期、混沌等動力學(xué)狀態(tài)，如圖11示.

圖8 四渦卷吸引子關(guān)于參數(shù)n的分岔圖Fig.8 Bifurcation diagram about n of four-scroll

圖9 區(qū)間放大后的分岔圖Fig.9 Bifurcation diagram of region expinson

圖10 最大Lyapunov指數(shù)隨參數(shù)n變化的波形Fig.10 The largest Lyapunov exponent about n

為了更好地驗證系統(tǒng)的混沌特性，計算y=0.01為截面的四渦卷混沌吸引子的Poincaré截面如圖12示，截面上是一些成片的密集點，說明系統(tǒng)是混沌的，并且主要密集地分布在四條并行的線上，說明系統(tǒng)處于四渦卷混沌吸引子狀態(tài)，截面上分散的點，說明渦卷之間通過鍵帶連接.

圖11 參數(shù)n變化時的吸引子相圖Fig.11 Phase diagrams with different n

圖12 四渦卷混沌吸引子的Poincaré截面圖Fig.12 Poincarésection of four-scroll chaotic attractor

2 基于Chua系統(tǒng)的網(wǎng)格多渦卷吸引子的建模與仿真

2.1 網(wǎng)格多渦卷吸引子的建模

網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子在不同的方向上同時產(chǎn)生多渦卷，具有更為復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).為了設(shè)計網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子，在y方向上引入一個非線性項，其微分方程為

式中，α=10，β=16，h(x)控制x方向的渦卷數(shù)目，f(y)控制y方向渦卷的數(shù)目.

以上函數(shù)中，k是線性項kx的斜率，p是非線性項的平移因子，能夠控制產(chǎn)生渦卷的大小，p越大，吸引子范圍越大，q為比例因子，控制y方向平衡點的位置.設(shè)k=0.5，p=0.25，q=0.25，n=20，以5×4網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子的平衡點為例，可得x-y相平面上鞍焦點分布如圖13所示，圖中符號“○”表示平衡點為指標(biāo)2的鞍焦點，可產(chǎn)生渦卷.

圖13 5×4網(wǎng)格多渦卷吸引子的鞍焦點分布Fig.13 Saddle-focus distribution of grid 5×4 multi-scroll attractor

2.2 網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子的數(shù)值仿真

取k=0.5，p=0.25，q=0.25，n=20，取初始值為(0.3，0.1，0)，采用龍格庫塔法進(jìn)行數(shù)值計算，得到的吸引子相圖如圖14所示.

圖14 Chua網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子(a)2×2多渦卷(b)2×3多渦卷(c)3×3多渦卷(d)3×5多渦卷(e)5×4多渦卷(f)6×5多渦卷Fig.14 Saddle-focus distribution of grid 5×4 multi-scroll attractor(a)2×2multi-scroll(b)2×3 multi-scroll(c)3×3 multi-scroll(d)3×5 multi-scroll(e)5×4 multi-scroll(f)6×5 multi-scroll

由圖可知，利用連續(xù)的非線性函數(shù)能夠得到網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子，平衡點的分布位置是由連續(xù)非線性項所確定，得到的吸引子清晰，大小一致，而且通過改變非線性函數(shù)可以得到任意數(shù)目的多渦卷混沌吸引子.

2.3 網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子的性能分析

以2×2網(wǎng)格多渦卷吸引子為例，分析系統(tǒng)參數(shù)變化時，系統(tǒng)的動力學(xué)特性，仿真步長均為0.002.1)設(shè)p=0.25，q=0.25，n=20，參數(shù)k在［0，2］內(nèi)變化，計算2×2網(wǎng)格多渦卷吸引子關(guān)于參數(shù)k的最大Lyapunov指數(shù)曲線如圖15(a)所示.可見，最大Lyapunov指數(shù)在［0.146，1.736］范圍內(nèi)是正的，表明該范圍內(nèi)系統(tǒng)處于混沌態(tài).2)設(shè)k=0.5，q=0.25，n=20，參數(shù)p變化，且p∈［0，4］，計算2×2網(wǎng)格多渦卷吸引子關(guān)于參數(shù)p的最大Lyapunov指數(shù)曲線如圖15(b)所示.可見，最大Lyapunov指數(shù)在［0，0.644］和［2.262，4］范圍內(nèi)是正的，表明在該范圍內(nèi)系統(tǒng)處于混沌態(tài)，但在區(qū)間［0.664，2.262］存在周期態(tài)窗口.3)k=0.3，p=0.25，n=20，參數(shù)q變化，且q∈［0，2］，計算2×2網(wǎng)格多渦卷吸引子關(guān)于參數(shù)q的最大Lyapunov指數(shù)曲線如圖15(c)所示，可見，最大Lyapunov指數(shù)在［0，0.51］和［0.766，0.95］范圍內(nèi)都是正的，表明在該范圍內(nèi)系統(tǒng)處于混沌態(tài)，且在區(qū)間［0.51，0.766］和［0.95，2］存在周期態(tài)窗口.4)設(shè)k=0.5，p=0.25，q=0.25，參數(shù)n在［0，25］內(nèi)變化，計算2×2網(wǎng)格多渦卷吸引子關(guān)于參數(shù)n的最大Lyapunov指數(shù)曲線如圖15(d)所示.可見，最大Lyapunov指數(shù)在［0，25］范圍內(nèi)是正的，表明在該范圍內(nèi)系統(tǒng)處于混沌態(tài).

圖15 2×2多渦卷系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)Fig.15 Largest Lyapunov exponent of 2×2 multi-scroll system(a)parameter of k(b)parameter of p(c)parameter of q(d)parameter of n

為了更好地驗證系統(tǒng)的混沌特性，計算z=-0.5為截面的2×2網(wǎng)格多渦卷吸引子Poincaré截面圖如圖16所示，截面上是一些成片的密集點，表明系統(tǒng)是混沌的，并且主要密集地分布在四塊區(qū)域，說明系統(tǒng)是處于2×2網(wǎng)格多渦卷吸引子的狀態(tài).

圖16 2×2多渦卷混沌吸引子的Poincaré截面圖Fig.16 Poincarésection of 2×2 multi-scroll chaotic attractor

3 結(jié)論

本文研究了基于連續(xù)非線性函數(shù)的Chua系統(tǒng)多渦卷混沌系統(tǒng)的建模、仿真與動力學(xué)特性問題，通過構(gòu)造連續(xù)的非線性函數(shù)，在Chua系統(tǒng)中得到了單方向與網(wǎng)格的多渦卷混沌吸引子，得到的多渦卷混沌吸引子相圖清晰、渦卷大小相同.討論了系統(tǒng)參數(shù)對多渦卷吸引子及其性能的影響，為正確選取系統(tǒng)參數(shù)提供了實驗依據(jù).研究表明，基于連續(xù)非線性函數(shù)的Chua多渦卷吸引子具有豐富的動力學(xué)特性，多渦卷混沌系統(tǒng)的理論分析和數(shù)值分析得到的結(jié)果相一致，說明多渦卷混沌吸引子設(shè)計方法可行.下一步將研究多渦卷吸引子的電路實現(xiàn)及其應(yīng)用.

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