含間隙彈簧振動(dòng)系統(tǒng)的非線性模態(tài)特性*

李艷清 江俊

（西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049）

引言

線性振動(dòng)系統(tǒng)的模態(tài)在工程實(shí)際系統(tǒng)的分析中發(fā)揮著重要作用，如：避免結(jié)構(gòu)的共振發(fā)生，利用模態(tài)疊加法求解結(jié)構(gòu)的響應(yīng)等.Rosenberg［1，2］基于線性模態(tài)的思想提出了非線性模態(tài)的定義：保守系統(tǒng)的模態(tài)是周期解，模態(tài)曲線在系統(tǒng)總能量曲線所圍得閉區(qū)域是單值函數(shù)，系統(tǒng)解同時(shí)通過(guò)平衡點(diǎn)，且同時(shí)到達(dá)最大值點(diǎn).在非線性系統(tǒng)中，非線性模態(tài)也有很重要作用，當(dāng)外激勵(lì)頻率和模態(tài)頻率相近時(shí)，系統(tǒng)同樣會(huì)產(chǎn)生共振行為［3］；在一定條件下，非線性模態(tài)的合成解可以近似表示原系統(tǒng)的準(zhǔn)確解［4，5］，因此求解并研究非線性模態(tài)，特別是多余模態(tài)，如何影響系統(tǒng)響應(yīng)有著實(shí)際的應(yīng)用意義.

確定非線性模態(tài)主要基于三種思想：一種是先將非線性系統(tǒng)預(yù)處理，使其近似看作線性系統(tǒng)，然后求解線性系統(tǒng)的模態(tài)，在此基礎(chǔ)上將模態(tài)解展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，通過(guò)參數(shù)變化來(lái)近似確定原系統(tǒng)的非線性模態(tài)［6］，但是此方法不能獲得系統(tǒng)的模態(tài)頻率，并且非線性模態(tài)的精度與泰勒級(jí)數(shù)的階數(shù)有關(guān)；另一種是采用Poincaré截面圖和動(dòng)力系統(tǒng)不變流行理論構(gòu)建求解分段線性振動(dòng)系統(tǒng)的非線性模態(tài)，并在極坐標(biāo)系下將其級(jí)數(shù)展開(kāi)，確定系統(tǒng)的不同模態(tài)，模態(tài)的頻率-振幅的關(guān)系［7］，此方法只能獲取在平衡點(diǎn)附近的系統(tǒng)模態(tài)以及頻率；最后一種是采用擾動(dòng)方法求解系統(tǒng)的非線性模態(tài)，并獲取相應(yīng)的多余模態(tài)［8］，用級(jí)數(shù)近似擬合突變剛度，將分段剛度系統(tǒng)看作光滑系統(tǒng)來(lái)近似求解.

系統(tǒng)的參數(shù)對(duì)非線性模態(tài)影響很大，相對(duì)于相似模態(tài)運(yùn)動(dòng)，多余模態(tài)的運(yùn)動(dòng)形式多樣化，包括模態(tài)的數(shù)量和振動(dòng)方式等，因此非線性模態(tài)會(huì)出現(xiàn)內(nèi)共振［9］和分岔［8，10］等.文獻(xiàn)［11］分析了兩自由度分段線性系統(tǒng)的模態(tài)形式及分岔的條件.文獻(xiàn)［12］分析了單自由度雙線性剛度系統(tǒng)中，間隙的大小和數(shù)目以及系統(tǒng)剛度對(duì)模態(tài)頻率的影響，采用線性系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)擾動(dòng)可以近似獲得弱非線性系統(tǒng)的模態(tài).在強(qiáng)非線性系統(tǒng)中，文獻(xiàn)［13］基于不變流行概念，采用Galerkin方法求解偏微分方程獲取大振幅強(qiáng)非線性振動(dòng)系統(tǒng)的非線性模態(tài).文獻(xiàn)［14］采用實(shí)驗(yàn)方法驗(yàn)證系統(tǒng)的非線性模態(tài)和多余模態(tài)，模態(tài)分岔和內(nèi)共振條件.一般地，對(duì)于分段光滑系統(tǒng)可以采用先對(duì)系統(tǒng)剛度［6，8］或模態(tài)運(yùn)動(dòng)區(qū)域［7］進(jìn)行分析，然后再求解系統(tǒng)的模態(tài)，而模態(tài)解的精度由預(yù)處理的剛度或模態(tài)區(qū)域決定.

本文主要針對(duì)分段光滑線性兩自由度系統(tǒng)的非線性模態(tài)進(jìn)行研究，該系統(tǒng)在位形空間不同區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)由不同的具有線性剛度的子系統(tǒng)控制.本文將直接求解各個(gè)子線性系統(tǒng)的相應(yīng)模態(tài)，然后通過(guò)在分段剛度變化處進(jìn)行組裝來(lái)獲取系統(tǒng)的非線性模態(tài)，而系統(tǒng)的模態(tài)頻率則通過(guò)采用加權(quán)平均的方法獲得.最后，本文將基于理論分析的結(jié)果，采用數(shù)值計(jì)算的方法尋找系統(tǒng)的多余模態(tài)，并分析多余模態(tài)與同、異相模態(tài)的關(guān)系.

1 系統(tǒng)模型

本文研究的系統(tǒng)模型是一個(gè)兩自由度具有分段階躍剛度、無(wú)阻尼的彈簧-質(zhì)量塊系統(tǒng)（見(jiàn)圖1）.兩質(zhì)量塊與地面光滑接觸，兩彈簧為含間隙彈簧，x1＝0和x2-x1＝0分別為兩彈簧剛度發(fā)生變化的分界點(diǎn).當(dāng)振子位移小于分界點(diǎn)時(shí)，彈簧間隙閉合，剛度為 ki，i＝1，2；當(dāng)振子位移大于分界點(diǎn)時(shí)，彈簧間隙分開(kāi)，剛度為 ki-εi，其中 εi，i＝1，2，是彈簧間隙引起的系統(tǒng)剛度的變化量（見(jiàn)圖2）.系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

圖1 兩自由度分段剛度模型Fig.1 DOFmodelwith piecewise stiffness

其中

m1和m2分別為兩振子的質(zhì)量，其對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱方程為：

其中

因本文只分析剛度變化對(duì)模態(tài)的影響，所以在分析系統(tǒng)模態(tài)時(shí)，不失一般性，取單位質(zhì)量，即m1＝m2＝1.0，則可得：

圖2 模型在位形空間中不同區(qū)域內(nèi)的剛度取值，直線分別為x1＝0和x2-x1＝0Fig.2 The stiffness values in different regions of configuration space for themodel，lines represent x1＝0 and x2-x1＝0 respectively

圖2中橢圓曲線表示系統(tǒng)的能量曲線，在保守系統(tǒng)中，兩振子在能量曲線所圍的封閉區(qū)域內(nèi)振動(dòng).當(dāng)質(zhì)量塊在能量線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能為零，勢(shì)能取最大值；當(dāng)質(zhì)量塊在封閉區(qū)域內(nèi)振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)同時(shí)具有動(dòng)能和勢(shì)能，但總能量恒定.當(dāng)x1＝0和x1＝x2兩彈簧變形量為零，為彈簧剛度變化的分界線，此分界線將質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)分為了四個(gè)區(qū)域，在不同區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)的剛度取不同值，且在分界直線處發(fā)生變化.當(dāng)振子在第一個(gè)區(qū)域內(nèi)時(shí)，兩彈簧同時(shí)處在拉伸狀態(tài)，間隙張開(kāi)，因此剛度減小，這時(shí)兩彈簧的剛度分別為 k1-ε1，k2-ε2；在第二個(gè)區(qū)域內(nèi)，彈簧1處于壓縮狀態(tài)，間隙閉合，剛度為k1，此時(shí)彈簧2仍處于拉伸狀態(tài)，間隙張開(kāi)，剛度為k2-ε2；在第三個(gè)區(qū)域內(nèi)，兩彈簧同時(shí)處于壓縮狀態(tài)，間隙閉合，兩彈簧的剛度分別為k1，k2；在第四個(gè)區(qū)域內(nèi)，彈簧2處于壓縮狀態(tài)，間隙閉合，剛度為k2，而彈簧1處于拉伸狀態(tài)，間隙張開(kāi)，剛度為k1-ε1.可以看出：振子在不同的區(qū)域內(nèi)，兩彈簧剛度的取值不同，對(duì)應(yīng)的振幅也不同.

2 非線性模態(tài)的求解

2.1 非線性模態(tài)運(yùn)動(dòng)的初始位移

模態(tài)運(yùn)動(dòng)是指兩個(gè)質(zhì)量塊同時(shí)通過(guò)平衡點(diǎn)，即間隙分界點(diǎn)，且同時(shí)達(dá)到最大位移點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).為此假設(shè)模態(tài)運(yùn)動(dòng)的解形式為：

其中，當(dāng)A、B符號(hào)相同時(shí)，表示同向模態(tài)運(yùn)動(dòng)，兩振子的相位差為0.當(dāng)A、B符號(hào)相反時(shí)，表示反相模態(tài)運(yùn)動(dòng)，兩振子的相位差為π.將解（4）代入方程（1）中可得：

振幅A、B和ω為待求的值，其中幅值還需滿足系統(tǒng)的能量方程.

在保守系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，無(wú)初始速度的系統(tǒng)振子，系統(tǒng)的動(dòng)能為零，機(jī)械能等于兩振子的彈性勢(shì)能之和，即：

其中E為系統(tǒng)的機(jī)械能.

根據(jù)最小勢(shì)能原理可以得到控制方程：

其中V為系統(tǒng)的勢(shì)能，x＂2和x′2分別為x2對(duì)x1的二階導(dǎo)數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)，Vx1和Vx2分別為在能量曲線上對(duì)x1和x2求導(dǎo).Vx1和Vx2滿足以下關(guān)系

將（8）代入控制方程（7）中可得：

其中η＝x′2是x1歸一化后，系統(tǒng)的模態(tài)解，表示模態(tài)曲線在位形空間中的斜率.如果系統(tǒng)的模態(tài)曲線為一次函數(shù)，則 η為常數(shù)，有 x＂2＝η′＝0.

由（2）和（3）可知，振子在不同位置，剛度 K1和K2的取值不同，其對(duì)應(yīng)的幅值也不同.由能量方程（6）和控制方程（9）可以求解得模態(tài)解的振幅A和B.其將作為數(shù)值求解系統(tǒng)非線性模態(tài)的初始位移.

2.2 非線性模態(tài)頻率的求解

方程（5）中公因子 cos（ωt）是關(guān)于 t的變量，若方程（5）恒為零，其對(duì)應(yīng)系數(shù)為零，可得如下關(guān)于振幅比A／B和ω的方程組：

采用帶入消元法可得到關(guān)于ω的方程：

方程（10）是關(guān)于ω2的二次方程有兩個(gè)解，分別為：

在圖2中不同的區(qū)域內(nèi)，K1和K2取值不同.將式（2）和（3）中的第一個(gè)值或第二個(gè)值代入公式（11）可求得系統(tǒng)模態(tài)頻率的最大值：

或最小值：

為求解該分段光滑線性系統(tǒng)的近似模態(tài)頻率，本文定義如下加權(quán)平均剛度：

將（13）代入（11）可求得系統(tǒng)的模態(tài)頻率為：

該公式不同于文獻(xiàn)［8］中給出的等效模態(tài)頻率公式：

其中：

在下一節(jié)中將通過(guò)數(shù)值方法來(lái)比較兩種計(jì)算分段光滑線性系統(tǒng)模態(tài)頻率的公式的精度.

2.3 非線性模態(tài)曲線斜率的確定

系統(tǒng)的模態(tài)運(yùn)動(dòng)在位形空間（x1-x2）中是彈簧剛度的函數(shù)，從方程（9）中可以得到系統(tǒng)在初始位移處模態(tài)運(yùn)動(dòng)的曲線：

（a）當(dāng)兩振子在圖2第一區(qū)域時(shí)，K1＝k1-ε1，K2＝k2-ε2，代入系統(tǒng)模態(tài)曲線斜率公式得：

（b）當(dāng)兩振子在圖2第二區(qū)域時(shí)，K1＝k1，K2＝k2-ε2，模態(tài)曲線斜率公式為：

（c）當(dāng)兩振子在圖2第三區(qū)域時(shí)，K1＝k1，K2＝k2-ε2，代入系統(tǒng)模態(tài)曲線斜率公式得：

（d）當(dāng)兩振子在圖2第四區(qū)域時(shí)，K1＝k1-ε1，K2＝k2，模態(tài)曲線斜率公式為：

各個(gè)區(qū)域的模態(tài)曲線的斜率都是一正一負(fù)成對(duì)出現(xiàn)，在取模態(tài)斜率時(shí)，要根據(jù)其在不同區(qū)域的其模態(tài)走勢(shì)，來(lái)決定斜率的正負(fù)值，模態(tài)運(yùn)動(dòng)曲線滿足方程

2.4 非線性模態(tài)的數(shù)值求解

對(duì)于給定系統(tǒng)，非線性模態(tài)是一種特殊的運(yùn)動(dòng)方式，且由初始位移決定.對(duì)于保守系統(tǒng)，如果系統(tǒng)的初始速度為零，則由方程（6）確定滿足非線性模態(tài)運(yùn)動(dòng)的初始位移是關(guān)鍵.在位形空間內(nèi)，模態(tài)運(yùn)動(dòng)曲線連接能量曲線上的兩個(gè)固定點(diǎn)（即拉伸或壓縮的最大位移點(diǎn)），并且在兩定點(diǎn)處，曲線斜率不變（即兩振子的速度同時(shí)為零）.也就是說(shuō)，上述兩質(zhì)點(diǎn)位移和速度需滿足以下條件：i）兩振子位移滿足方程（6），即該位移點(diǎn)在能量曲線上；ii）兩振子的速度均為零，或在i）中位移點(diǎn)的兩側(cè)其符號(hào)同時(shí)發(fā)生變化.

圖3中實(shí)線表示的是非線性模態(tài)運(yùn)動(dòng)，而虛線所表示的一般運(yùn)動(dòng)曲線，其與能量曲線可以有多個(gè)交點(diǎn)，且在每個(gè)交點(diǎn)處，趨近交點(diǎn)和遠(yuǎn)離交點(diǎn)的斜率不同，所以兩振子的速度不同時(shí)為零.由此可采用如下數(shù)值解法來(lái)求解非線性模態(tài)：

1）在能量曲線上取一個(gè)初始位移點(diǎn)，為求同相和反相模態(tài)，可以把3.1節(jié)的理論幅值作為初始位移點(diǎn)的預(yù)估值.對(duì)于多余模態(tài)，其初始位移點(diǎn)必定在能量曲線上同相和反相模態(tài)初始位移點(diǎn)的預(yù)估值之間；

2）選定初始位移點(diǎn)后，采用龍格庫(kù)塔法求解方程（1），獲取兩振子的位移和速度.a）當(dāng)所求位移和速度同時(shí)滿足條件i）和ii）時(shí)，計(jì)算停止，兩振子的位移曲線即為模態(tài)曲線；b）若位移滿足i），而速度不滿足ii）時(shí)，停止計(jì)算，說(shuō)明所取的初始位移點(diǎn)不在模態(tài)運(yùn)動(dòng)的曲線上；c）若所求的位移點(diǎn)與選定的初始位移點(diǎn)的差值小于預(yù)設(shè)的誤差，則計(jì)算停止，說(shuō)明兩振子完成了一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)，該運(yùn)動(dòng)曲線不滿足條件，不是非線性模態(tài)運(yùn)動(dòng)曲線.

圖3 位形空間中的非線性模態(tài)解和一般運(yùn)動(dòng)解.（a）同相模態(tài)的確定；（b）反相模態(tài)的確定Fig.3 The solutions of nonlinear normalmode and of othermotions.（a）The determination of the in-phasemodes；（b）The determination of the anti-phasemodes

3 非線性模態(tài)特性的分析

由于上節(jié)的分析是針對(duì)分段線性系統(tǒng)各個(gè)光滑段分別進(jìn)行分析處理，其只是對(duì)于真實(shí)系統(tǒng)非線性模態(tài)的近似處理，其可為數(shù)值求解該系統(tǒng)非線性模態(tài)提供初值的估算方法.通過(guò)數(shù)值計(jì)算與理論結(jié)果的比較也可以幫助我們認(rèn)識(shí)，在多大程度上近似理論分析可以用來(lái)對(duì)非線性模態(tài)特性進(jìn)行估計(jì).在本文下面的分析中系統(tǒng)參數(shù)將取如下值：m1＝1.0，m2＝1.0，k1＝1.0，k2＝1.8，E＝10.0.

3.1 同相模態(tài)

同相模態(tài)是指系統(tǒng)振子同步振動(dòng)，兩彈簧同時(shí)拉伸或同時(shí)壓縮，且同時(shí)同向達(dá)到最大位移或通過(guò)分界點(diǎn)，兩振子的運(yùn)動(dòng)在第Ⅰ和Ⅲ區(qū)域內(nèi)（見(jiàn)圖4）.如果模態(tài)曲線與x軸的夾角為45°，說(shuō)明兩振子的位移差是常數(shù)，兩振子的速度相同，兩彈簧的壓縮比不變，加速度大小也不變.如果模態(tài)曲線在第Ⅰ區(qū)域的傾角大于45°，則表明：Δx2大于Δx1，m2的速度和加速度也比較大.如果模態(tài)曲線在第Ⅲ區(qū)域的傾角大于225°，則表明：Δx2的大于 x1，m2的負(fù)向速度和負(fù)向加速度也較大.反之亦成立.

圖4 同相模態(tài)運(yùn)動(dòng)曲線，剛度值 k1＝1.0，k2＝1.8.虛線（ε1，ε2）＝（0.0，0.75），點(diǎn)劃線（ε1，ε2）＝（0.45，0.75），實(shí)線（ε1，ε2）＝（0.75，0.75）Fig.4 The in-phase normalmode curves，the stiffness is k1＝1.0，k2＝1.8.where dash line is in the case of（ε1，ε2）＝（0.0，0.75），the dot-dash line（ε1，ε2）＝（0.45，0.75），and the line（ε1，ε2）＝（0.75，0.75）

但非線性模態(tài)曲線的形狀由系統(tǒng)的剛度和間隙值決定，下面討論 ε2＝0.75，而 ε1變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的同相模態(tài)曲線的變化情況.由圖4可以看出：k1、k2和k2-ε2不變，能量曲線在Ⅰ和Ⅳ區(qū)域的形狀僅由ε1決定，且隨著ε1的增大而伸長(zhǎng).此時(shí)，模態(tài)曲線向右下方傾斜.由于能量曲線在Ⅱ和Ⅲ區(qū)域的形狀不由ε1決定，隨著ε1的增大，能量曲線的形狀未發(fā)生變化，但模態(tài)曲線傾斜和彎曲發(fā)生變化，并偏離x2-x1＝0直線，表明非線性特征逐漸增強(qiáng).

在圖5中，實(shí)線為數(shù)值計(jì)算的模態(tài)曲線，紅虛線為理論估算的模態(tài)曲線.當(dāng)間隙（裂紋）誘導(dǎo)的剛度變化量小時(shí)，理論模態(tài)曲線和數(shù)值模態(tài)曲線基本重合（見(jiàn)圖 5a，參數(shù)（k1，k2，ε1，ε2）＝（1.0，0.8，0.15，0.15））；而隨著間隙誘導(dǎo)的剛度變化量大時(shí)，理論模態(tài)曲線和數(shù)值模態(tài)曲線走勢(shì)雖然基本一致，但可以看出，數(shù)值模態(tài)曲線已不再是直線.表明此時(shí)非線性特征增強(qiáng)（見(jiàn)圖 5b，參數(shù)（k1，k2，ε1，ε2）＝（1.0，1.8，0.3，0.75））.

圖5 同相模態(tài)運(yùn)動(dòng)曲線.虛線表示理論結(jié)果，實(shí)線為數(shù)值計(jì)算結(jié)果.Fig.5 The in-phase normalmode curve.The dash line is the theoretical one and the line is the numerical one.

表1給出了間隙誘導(dǎo)不同剛度變化量下，采用理論公式（14）計(jì)算系統(tǒng)同相模態(tài)頻率與數(shù)值計(jì)算的同相模態(tài)頻率的比較，可以看出：本文提出的理論計(jì)算模態(tài)頻率，結(jié)果誤差不超過(guò)2%，較文獻(xiàn)［8］中采用的等效模態(tài)頻率更為準(zhǔn)確.表中還可以看出：數(shù)值確定的模態(tài)曲線的初始位移與理論預(yù)估的初始位移相差不大，后者可作為數(shù)值求解模態(tài)曲線的預(yù)估值.

表1 E＝10.0、k1＝1.0、k2＝1.8同相模態(tài)對(duì)應(yīng)數(shù)值和理論結(jié)果Table 1 E＝10.0、k1＝1.0、k2＝1.8 The theoretical and numerical value about the in-phase normalmode

3.2 反相模態(tài)

在反相模態(tài)運(yùn)動(dòng)中，兩振子運(yùn)動(dòng)的相位差為180o，即同時(shí)反向達(dá)到最大位移，交替出現(xiàn)一個(gè)彈簧拉伸、另一個(gè)彈簧壓縮.圖6為間隙誘導(dǎo)不同剛度變化量下的反相模態(tài)曲線圖.可以看出：只要εi，i＝1，2，不為零，反相模態(tài)曲線就不經(jīng)過(guò)原點(diǎn).但間隙誘導(dǎo)的剛度變化量值越小，反相模態(tài)曲線越靠近原點(diǎn).另外，反相模態(tài)曲線經(jīng)過(guò)第Ⅰ、Ⅱ和Ⅳ區(qū)域，在第Ⅱ和Ⅳ區(qū)域，兩彈簧出現(xiàn)一拉、一壓的情形，而在第一區(qū)域，兩彈簧同時(shí)處在拉伸狀態(tài)，但是兩振子的運(yùn)動(dòng)方向相反.

圖6 反相模態(tài)運(yùn)動(dòng)曲線，剛度值 k1＝1.0，k2＝1.8.虛線（ε1，ε2）＝（0.0，0.75），點(diǎn)劃線（ε1，ε2）＝（0.45，0.75），實(shí)線（ε1，ε2）＝（0.75，0.75）Fig.6 The anti-phase normalmode curve，the stiffness is k1＝1.0，k2＝1.8.where the dash line is in the case of（ε1，ε2）＝（0.0，0.75），the dot-dash line（ε1，ε2）＝（0.45，0.75）and the line（ε1，ε2）＝（0.75，0.75）

在圖7中，實(shí)線為數(shù)值計(jì)算的模態(tài)曲線，虛線為理論估算的模態(tài)曲線.由于假設(shè)解的形式?jīng)Q定了理論模態(tài)曲線通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)間隙（裂紋）誘導(dǎo)的剛度變化量小時(shí)，理論模態(tài)曲線和數(shù)值模態(tài)曲線相接近（見(jiàn)圖7a，參數(shù)（k1，k2，ε1，ε2）＝（1.0，0.8，0.15，0.15））；而隨著間隙誘導(dǎo)的剛度變化量增大時(shí)，雖然理論模態(tài)曲線和數(shù)值模態(tài)曲線的斜率基本一致，但可以看出，數(shù)值模態(tài)曲線偏離原點(diǎn)的距離也在增大，其原因主要由于系統(tǒng)的非對(duì)稱性所致（見(jiàn)圖7b，參數(shù)（k1，k2，ε1，ε2）＝（1.0，1.8，0.3，0.75））.

圖7 反相模態(tài)運(yùn)動(dòng)曲線.虛線表示理論結(jié)果，實(shí)線為數(shù)值計(jì)算結(jié)果.Fig.7 The anti-phase normalmode curve.The dash line is the theoretical one and the line is the numerical one.

表2給出了間隙誘導(dǎo)不同剛度變化量下，采用理論公式（14）計(jì)算系統(tǒng)反相模態(tài)頻率與數(shù)值計(jì)算的反相模態(tài)頻率的比較，可以看出：本文提出的理論計(jì)算模態(tài)頻率較文獻(xiàn)［8］中采用的等效模態(tài)頻率更為準(zhǔn)確.表中還可以看出：隨著間隙誘導(dǎo)剛度變化量的增大，理論預(yù)估的初始位移與數(shù)值確定的模態(tài)曲線的初始位移相差越來(lái)越大，說(shuō)明理論假設(shè)的反相模態(tài)曲線的解有待于進(jìn)一步改進(jìn).

表 2 E＝10.0、k1＝1.0、k2＝1.8反相模態(tài)對(duì)應(yīng)數(shù)值和理論結(jié)果Table 2 E＝10.0、k1＝1.0、k2＝1.8 The theoretical and numerical value about the anti-phase normalmode

圖8 非線性系統(tǒng)的多余模態(tài)運(yùn)動(dòng)曲線及其對(duì)應(yīng)的初始坐標(biāo)，其中：參數(shù)（k1，k2，ε1，ε2）＝（1.0，1.8，0.3，0.75）.初始位移分別為：（a）（x0，y0）＝（-2.7000，-5.3573）；（b）（x0，y0）＝（-1.3250，-4.5087）；（c）（x0，y0）＝（0.4250，-2.8978）；（d）（x0，y0）＝（4.6000，2.9023）；（e）（x0，y0）＝（5.3000，4.8673）Fig.8 The abundant normalmode curves and the corresponding initial values.The parameters（k1，k2，ε1，ε2）＝（1.0，1.8，0.3，0.75）.The initial values are（a）（x0，y0）＝（-2.7000，-5.3573）；（b）（x0，y0）＝（-1.3250，-4.5087）；（c）（x0，y0）＝（0.4250，-2.8978）；（d）（x0，y0）＝（4.6000，2.9023）；（e）（x0，y0）＝（5.3000，4.8673），respectively

3.3 多余模態(tài)

非線性系統(tǒng)的模態(tài)數(shù)會(huì)大于系統(tǒng)的自由度數(shù).非線性模態(tài)除去與其線性化系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的模態(tài)外的其它模態(tài)，稱為多余模態(tài).多余模態(tài)往往是由于非線性系統(tǒng)滿足內(nèi)共振條件時(shí)產(chǎn)生的，其表現(xiàn)為基本（同相和反相）模態(tài)之間的能量轉(zhuǎn)換運(yùn)動(dòng).

由于非線性多余模態(tài)的形式和數(shù)量事先是未知的，本文采用數(shù)值方法，通過(guò)在能量曲線上搜索，來(lái)尋找滿足模態(tài)運(yùn)動(dòng)條件的多余模態(tài)的初值.圖8給出了在給定系統(tǒng)參數(shù)值時(shí)，找到的五個(gè)多余模態(tài)曲線和其相對(duì)應(yīng)的初值點(diǎn)坐標(biāo).可以看出：多余模態(tài)分別呈現(xiàn)Z型和S型.Z型模態(tài)曲線的上下兩段曲線與反相模態(tài)曲線方向相同，包含有反相模態(tài)運(yùn)動(dòng)的信息，而連接上下兩段曲線的中間曲線與同相模態(tài)曲線方向相同，含有同相模態(tài)的信息.S型模態(tài)曲線上下兩段曲線與同相模態(tài)曲線方向相同，包含同相模態(tài)運(yùn)動(dòng)信息，而連接上下兩段曲線的中間曲線與反相模態(tài)曲線方向相同，含有反相模態(tài)的信息.由此可知：多余模態(tài)確實(shí)是由同相模態(tài)運(yùn)動(dòng)和反相模態(tài)運(yùn)動(dòng)組合而成的.

4 結(jié)論

本文針對(duì)含間隙的二自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)模型的非線性模態(tài)開(kāi)展了研究.首先，通過(guò)假設(shè)模態(tài)解的形式，求解出了分段光滑系統(tǒng)的同相模態(tài)和反相模態(tài)解.并提出了一種加權(quán)估算系統(tǒng)同相和反相模態(tài)頻率的理論公式.通過(guò)數(shù)值求解系統(tǒng)的同相和反相模態(tài)，證實(shí)：本文所提的預(yù)估系統(tǒng)模態(tài)頻率的公式較之前文獻(xiàn)中的等價(jià)模態(tài)頻率的計(jì)算公式更為準(zhǔn)確.另外，理論模態(tài)解可以作為數(shù)值求解方法的預(yù)估初值.由于非線性系統(tǒng)的模態(tài)數(shù)會(huì)高于系統(tǒng)的自由度數(shù)，本文根據(jù)系統(tǒng)模態(tài)滿足的條件，并采用數(shù)值方法，通過(guò)對(duì)能量曲線上點(diǎn)的搜索，發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)的五個(gè)多余模態(tài).這五個(gè)多余模態(tài)均表現(xiàn)為同相和反相模態(tài)的內(nèi)共振運(yùn)動(dòng)行為.

雖然，理論分析的結(jié)果在一定程度上（間隙誘導(dǎo)的剛度變化量小時(shí)）可以反映該非光滑系統(tǒng)的同相和反相模態(tài)，但隨著間隙誘導(dǎo)的剛度變化量增大時(shí)，理論預(yù)測(cè)的誤差越來(lái)越大，因此，有待于進(jìn)一步改進(jìn)理論假設(shè)解函數(shù)的形式，以便更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)系統(tǒng)的同相和反相模態(tài)，甚至是多余模態(tài)，對(duì)此需要進(jìn)一步研究.

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