非平穩(wěn)高斯序列最大值與部分和的幾乎處處中心極限定理

汪園芳， 吳群英

(桂林理工大學(xué) 理學(xué)院， 廣西 桂林 541004)

非平穩(wěn)高斯序列最大值與部分和的幾乎處處中心極限定理

汪園芳， 吳群英

(桂林理工大學(xué) 理學(xué)院， 廣西 桂林 541004)

摘要：假設(shè){Xspan,n≥1}為標(biāo)準(zhǔn)化非平穩(wěn)高斯序列，在協(xié)方差和常數(shù)列{uspan,1≤i≤n,n≥1}滿足適當(dāng)?shù)臈l件下，獲得了最大值與部分和的幾乎處處中心極限定理，并優(yōu)化了臧慶佩所獲得的結(jié)果.

關(guān)鍵詞：幾乎處處中心極限定理； 最大值與部分和； 非平穩(wěn)高斯序列； 收斂性

上式中：G為分布函數(shù).

對于G的任意連續(xù)點(diǎn)x都有

上式中：I(·)為示性函數(shù).

Fahrner等[3]及Cheng等[4]將部分和形式的幾乎處處中心極限定理推廣到最大值形式的幾乎處處中心極限定理.Csaki等[5]將幾乎處處中心極限定理應(yīng)用到平穩(wěn)高斯列.Dudzinski[6]將部分和形式的幾乎處處中心極限定理推廣到部分和與最大值的形式，記

對任意x,y∈R,有

上式中：I(·)為示性函數(shù)；Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).

Zang[7]將部分和與最大值的幾乎處處中心極限定理從平穩(wěn)的高斯序列推廣到非平穩(wěn)的高斯序列,本文在Zang[7]的基礎(chǔ)上將權(quán)重從1/k推廣到exp(lnβk)/k.記X1,X2,…,Xn為標(biāo)準(zhǔn)化的非平穩(wěn)高斯序列，有

記an～bn表示當(dāng)n→∞時(shí)，an/bn→1，an≤bn表示當(dāng)n→∞時(shí)，存在常數(shù)K>0使an≤Kbn.

1主要結(jié)果

定理1假定{Xn,n≥1}為標(biāo)準(zhǔn)化非平穩(wěn)高斯序列，其協(xié)方差陣中的元素ri,j滿足

且對任意n≥1，有

如果常數(shù)列{un,i}滿足n→∞，對某τ≥0,有

則對任意x∈R,有

(1)

2幾個(gè)引理

引理1[8]設(shè)ξ1,ξ2,…為一列有界的隨機(jī)變量序列，如果存在ε>0使得

成立, 則有

引理2[9]設(shè){Xn,n≥1}為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，ri,j=Cov(Xi,Xj)，則對任意的實(shí)數(shù)ui,i=1,2,…,n,有

引理3[7]在定理1的條件下，對1≤k0有

證明由文獻(xiàn)[7]得到

由文獻(xiàn)[8]可知

(2)

由式(2)，引理得證.

引理4[10](Toeplitz引理) 設(shè)實(shí)數(shù){xn;n≥1}滿足

如果x=0，并且實(shí)數(shù)陣列{an,k;n≥1,k≥1}符合條件

則有

3定理1的證明

證明當(dāng)β=0時(shí)，文獻(xiàn)[7]已經(jīng)給出證明，因此，只需證明0<β<1/2這種情況下成立即可.

當(dāng)0≤ri,j≤ρ|i-j|時(shí)，有

(3)

因此，存在δ和n0，對任意n>n0，有

(4)

設(shè)Yn是一標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量，且與Sn/σn有有相同的分布，并且與(X1,X2,…,Xn)相互獨(dú)立，則由正態(tài)比較引理和式(4)得

定義vn,使1-Φ(vn)=1/n，由文獻(xiàn)[9]知

(5)

再由式(5)可得

(6)

再根據(jù)引理4,得到

(7)

所以要證明定理1，只要轉(zhuǎn)換成證明

(8)

根據(jù)引理1，要證明式(8)，只要證明存在某ε>0，對任意y∈R，使

(9)

(10)

(11)

下面再來估計(jì)T2，首先來估計(jì)|E(ξkξl)|.由引理3推出

(12)

由定理1的條件知

(14)

取0<ε<γ/β-2，再根據(jù)式(2)推出

(15)

結(jié)合式(10)~式(15)，則式(9)成立.由引理1，則式(8)成立.再根據(jù)式(7)，定理1得證.

參考文獻(xiàn)：

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[10]吳群英.混合序列的概率極限理論[M].北京：科學(xué)出版社，2006:89-90.

(責(zé)任編輯： 陳志賢 英文審校： 黃心中)

Almost Sure Central Limit Theorem for Maxima and Partial

Sums of Non-Stationary Gaussian Sequence

WANG Yuan-fang, WU Qun-ying

(College of Science, Guilin University of Technology, Guilin 541004, China)

Abstract：Suppose {Xspan,n≥1} is a standardized non-stationary Gaussian sequence. The almost sure central limit theorem for maxima and partial sums is derived under some conditions on the covariance function and the constant sequence {uspan,1≤i≤n,n≥1}. The result generalizes the one obtained by Zang Qing-pei.

Keywords：almost sure central limit theorem; maxima and partial sums; non-stationary Gaussian sequence； convergence

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11361019)； 廣西省研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目(YCSZ2014158)

通信作者：吳群英(1961-)，女，教授，博士，主要從事極限理論的研究.E-mail:wqy666@glut.edu.cn.

收稿日期：2014-05-21

中圖分類號：O 22.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2015.01.0116

文章編號：1000-5013(2015)01-0116-05