響應率法求解二階部分極點配置問題

陳梅香

（華僑大學 數(shù)學科學學院，福建 泉州362021）

1 預備知識

二階控制系統(tǒng)為

式（1）中：正定矩陣M∈Rn×n為質量矩陣；半正定矩陣C∈Rn×n為阻尼矩陣；半正定K∈Rn×n為剛度矩陣；B∈Rn×m為輸入矩陣；關于時間t的n維向量x（t）和u（t）分別為狀態(tài)向量和控制向量.取

式（2）中：F∈Rn×m，G∈Rn×m稱為反饋矩陣；FT表示矩陣F的轉置.若有

則稱（λk，vk）為開環(huán)系統(tǒng)P（λ）＝λ2M＋λC＋K的特征對.式（3）中：λk稱為特征值；vk稱為特征向量.若有

則稱（μk，wk）為閉環(huán)系統(tǒng)Pc（λ）＝λ2M＋λ（C－BFT）＋（K－BGT）的特征對.

部分極點配置問題就是給定p個數(shù)μ1，…，μp，求得反饋矩陣F∈Rn×m，G∈Rn×m，使得μ1，…，μp將開環(huán)系統(tǒng)的p個特征值λ1，…，λp替換，成為Pc（λ）的特征值.而Pc（λ）剩余的2n－p對特征對滿足

式（5）中：（λk，vk）為開環(huán)系統(tǒng)P（λ）的特征對，即開環(huán)系統(tǒng)剩余的2n－p對特征對仍為閉環(huán)系統(tǒng)的特征對，也把它稱為保持無溢出性.

當m＞1，系統(tǒng)為多輸入系統(tǒng)時，反饋矩陣F和G的解不唯一［1－8］.因此，可以選取使反饋矩陣的范數(shù)為最小的解.其中：‖·‖指矩陣的Frobenius范數(shù)，將它稱為最小范數(shù)的部分極點配置問題.這種情況下得到的閉環(huán)系統(tǒng)可以盡量的減少能量的消耗及噪聲的影響.

目前，已有不少求解最小范數(shù)的部分極點配置問題的數(shù)值方法［1－2］，都需要用到系統(tǒng)的矩陣M，C，K.但是在實際應用中，可能已從實驗中測量得到系統(tǒng)的響應率，即

而系統(tǒng)的矩陣M，C，K是未知的.Ram等［8］提出只需利用響應率求解部分極點配置問題，但其求出的F和G的解不唯一.因此，本文提出一種只需利用響應率求解最小范數(shù)的部分極點配置問題的數(shù)值方法.

2 定理及其證明

假設｛μ1，…，μp｝∩｛λ1，…，λ2n｝＝?，｛λ1，…，λp｝∩｛λp＋1，…，λ2n｝＝?.控制矩陣B是列滿秩的，而且（P（λ），B）對于λ1，…，λp是部分可控的，即

對于所討論的部分極點配置問題，先給出定理1.

定理1設（λk，vk）為開環(huán)系統(tǒng)P（λ）的特征對，（μk，wk）為閉環(huán)系統(tǒng)Pc（λ）的特征對，若式（5）成立，即μk＝λk，wk＝vk.則

證明 （μk，wk）為閉環(huán)系統(tǒng)Pc（λ）的特征對，且μk＝λk，wk＝vk，故有

移項得

又（λk，vk）為開環(huán)系統(tǒng)P（λ）的特征對，即

因此，

因為是B列滿秩的，故有

即

另外，由文獻［1］有定理2.

定理2給定矩陣B∈Rn×m，p個自共軛的特征值，若F和G滿足

那么，｛μk｝pk＝1為Pc（λ）的p個特征值，即det（Pc（μj））＝0.式（9）中：Im指m×m的單位矩陣.

具體證明見文獻［1］的定理1.

綜合定理1，2，給定p個數(shù)μ1，…，μp，矩陣B∈Rn×m，響應率H（μi），i＝1，…，p及開環(huán)系統(tǒng)的2np對特征對（λj，vj），j＝p＋1，…，2n.最小范數(shù)部分極點配置問題可轉化為關于變量F∈Rn×m，G∈Rn×m的優(yōu)化問題，即

式（11）中：g（Y）＝（g1（Y），…，gp（Y））T；h（Y）＝（h1（Y），…，h2n－p（Y））T.且

在優(yōu)化問題（11）中，其目標函數(shù)是一個凸函數(shù)，滿足約束條件的解的集合是一個凸集.因此，優(yōu)化問題（11）的KKT條件為求解Y∈C2n×m，ξi∈C，i＝1，…，p，ηj∈Cm，j＝1，…，2n－p，使得

記為F（Y，ξ，η）＝0.其中，

式（14）中：adj（·）表示矩陣的伴隨矩陣.

由此，最小范數(shù)部分極點配置問題最終可轉化為求解非線性方程F（Y，ξ，η）＝0.而對于非線性方程F（Y，ξ，η）＝0，可以用經(jīng)典的Gauss－Newton或trustregion－reflective法［9－10］來求解.

在非線性方程F（Y，ξ，η）＝0中，需要用剩余的2n－p個特征向量.由（λ2jM＋λjC＋K）vj＝H（λj）－1vj＝0可知，2n－p個特征向量可以由響應率H（λj）求解出來，而不需要系統(tǒng)矩陣M，C，K.因此，提出的算法只需利用響應率就可以求解最小范數(shù)的部分極點配置問題.

3 數(shù)值實驗

為了更直接地呈現(xiàn)所考慮的二階系統(tǒng)，直接給出系統(tǒng)的矩陣M，C，K.但在算法的運行過程中，用的是系統(tǒng)相應的響應率H（λj）.

例1首先考慮文獻［8］中的例子.設

將前p＝2個絕對值最小的自共軛特征值用｛－1±i）替換，其余的特征值保持不變，由提出的算法可得最小范數(shù)解為

閉環(huán)特征值的誤差為

反饋矩陣F和G的范數(shù)而在文獻［8］的例2中，得到的反饋矩陣的解為

F和G的范數(shù)因此，提出的算法所求得的反饋矩陣的范數(shù)比文獻［8］的例2中的小得多.

例2將文中的算法與Bai－Chen－Datta［1］的算法進行比較.設

取n＝10，并將前p＝2個絕對值最小的特征值用｛－0.1，－0.2｝替換，而其余的特征值保持不變.由文中的算法得出的解的范數(shù)為‖F(xiàn)‖＝1.687 2，‖G‖＝1.078 6，閉環(huán)特征值的誤差為

而Bai－Chen－Datta的算法得出的解的范數(shù)為‖F(xiàn)‖＝1.410 4，‖G‖＝1.389 1，閉環(huán)特征值的誤差為

文中的算法與Bai－Chen－Datta的算法相比，所得解的范數(shù)差值不大，因此與Bai－Chen－Datta的算法一樣，都能達到取最小范數(shù)解的要求.但是，Bai－Chen－Datta的算法需要用到系統(tǒng)矩陣M和K，而文中算法只需用到響應率.

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