非平穩(wěn)到達的非標準風險模型的破產概率

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非平穩(wěn)到達的非標準風險模型的破產概率

胡莎娜，王傳玉，王健

(安徽工程大學 數(shù)理學院，安徽 蕪湖241000)

摘要：考慮一種非標準風險模型，模型中假設風險過程是非平穩(wěn)到達的，在負相依場合下，當索賠次數(shù)滿足大偏差原理時，獲得了索賠額分布服從ERV下有限水平和無限水平的破產概率漸進表達式。

關鍵詞：風險模型；破產概率；ERV；非平穩(wěn)過程；負相依

近幾年來隨著保險行業(yè)的發(fā)展，對保險公司破產問題的研究已成為熱點。研究對象從小索賠到大索賠(這里大索賠是指由火險，風暴險與洪水險等災難性險種引起的索賠),索賠額分布從輕尾到重尾。研究中通常假設索賠額分布是獨立同分布的情形，而實際中常常不獨立，因此研究索賠額不獨立的風險模型更有意義；又經典風險模型中的平穩(wěn)假設條件太苛刻，與保險公司發(fā)生索賠的較強隨機性的實際經營不符合，因此對于風險模型的研究需要從泊松模型延伸到更新風險模型，非平穩(wěn)風險模型等。

Zhu[1]研究了在索賠額服從次指數(shù)的非平穩(wěn)到達的風險模型，利用大偏差原理來處理非平穩(wěn)條件，獲得了有限水平和無限水平的破產概率與整體尾部的漸進表達式；肖鴻民等[2]討論了基于客戶來到的更新風險模型，在潛在索賠額序列為負相依同分布的重尾隨機變量屬于L∩D族的假設下，得到了有限時間破產概率的漸近表達式；胡岸[3]考察了索賠過程為帶有常數(shù)利息力的延遲更新模型，在負相依場合下，索賠額分布服從ERV(-α,-β)假設下，得到了最終破產概率的一個漸進表達式。

本文在文獻[3]的基礎上研究了重尾索賠下非平穩(wěn)到達的非標準延遲風險模型，即在文獻[3]模型的基礎上，假設索賠額序列是負相依的正值隨機變量序列，利用負相依性質、重尾分布及大偏差原理，得出該模型的無限時間和有限時間破產概率漸進表達式。本文區(qū)別于胡岸[3]的是考慮風險過程Nt在非平穩(wěn)的情況下，將延遲更新風險模型拓展為非平穩(wěn)到達的風險模型，再根據Zhu[1]采用大偏差原理來處理Nt是非平穩(wěn)的條件。

1預備知識

重尾分布的幾個重要子類：

引理1[4]對于以上所述的重尾子族存在以下包含關系：

隨機變量的相依結構：

定義5[3]如果對于一切實數(shù)x1和x2,有

或者等價地

則稱兩個隨機變量是負相依的。我們稱一個隨機變量序列{X1,X2…}是兩兩負相依的，如果對于所有正數(shù)i≠j,隨機變量Xi和Xj是負相依的。

首先考慮文獻[1]的風險模型：

(1)

其中Xi是獨立同分布的索賠分布，是一正值的隨機變量；u>0為保險公司的初始資本盈余；p>0為保費率；Nt表示一個簡單的點過程。

這里我們考慮索賠額Xi是重尾的時候，分布函數(shù)B是次指數(shù)分布，B∈ζ,即

2模型建立

本文考慮一類非標準風險模型，該模型的盈余過程可表示為：

(2)

由引理1可知，對于模型(1)中索賠額性質在模型(2)中同樣滿足。

Ti=τi-τi-1是連續(xù)到達時間間隔，為保證保險公司運行上的安全，即凈利潤條件應為：

(3)

該模型的破產時刻定義為：

該風險過程的最終破產概率定義為：

3無限水平破產概率的求解

為求解模型(2)的破產概率，我們先介紹大偏差及重要假設。

大偏差原理的介紹：序列(Pn)n∈N的概率測度以率函數(shù)I:X→R在拓撲空間x滿足大偏差原理，如果I是非負的下半連續(xù)函數(shù)，且對任意可測集A,我們有

下面介紹本文的重點假設。

假設1(1)(Nt/t∈·)以率函數(shù)I(·)滿足大偏差原理，并且當且僅當x=μ時，I(x)=0。

(2)率函數(shù)I(·)在[μ,∞)是減函數(shù)，在[0,μ]是增函數(shù)。

由于以上假設條件滿足文獻[1]中的假設3.1條件，結合引理1，所以下列引理3和引理4成立。

引理3在假設1成立的前提下，對于任意ε,ε′>0,存在M>0,有：

(4)

引理4在假設1成立的前提下，進一步假設B0∈ζ,則對任意小的ε>0,有：

(5)

具體證明見文獻[1]。

定理1在假設1成立的前提下，模型(2)的最終破產概率漸進表達式可為：

(6)

證明：文獻[3]模型中的延遲更新風險過程是在更新過程的基礎上僅放寬第一個時間間隔T1,允許其分布不同，所以根據平穩(wěn)過程的定義，該過程在時間間隔T1之后仍滿足平穩(wěn)性條件。而模型(2)是將延遲更新風險過程擴展為非平穩(wěn)過程，因此需要運用Asmussen[8]中所提出的只要引理2成立便可放棄平穩(wěn)遍歷性假設的結論。所以當模型(2)考慮Nt是非平穩(wěn)過程時，在滿足引理2的條件下，文獻[3]中的定理2.1仍然成立，即模型(2)的最終破產概率漸進表達式可為：

4有限水平破產概率的求解

設e(u):=E[C1-u|C1>u]是平均超出函數(shù)，ψ(u,z):=P(τu>z),z>0,表示有限水平破產概率。

注1：[1](對數(shù)正態(tài)分布)如果

注2：[1](韋伯分布)如果B(u)=e-uα,這里

定理2在假設1成立的前提下，又B0∈ζ,則對?T>0,B∈g時，有：

(7)

證明：因為Nt滿足假設1,根據引理2,所以

所以對?ε″∈(0,1),對充分大的u有e(u)≥e(u+M)(1-ε″),可以得到：

(8)

對于B∈g,根據文獻[9]中Nt是更新過程時的結論以及引理5,

即

(9)

我們證明了下界，接著證明上界。

(10)

又由文獻[9]的推論1.6和文獻[9]的(2.19)式可得到

(11)

根據文獻[6]中第十章命題1.9有

(12)

因此對于?ε>0已經證明了上界成立。

5結語

本文在研究常利息力延遲更新場合破產概率的基礎上，構造索賠分布滿足ERV(-α,-β)下非平穩(wěn)風險過程風險模型，提出當索賠次數(shù)滿足大偏差原理時，采用大偏差原理來處理Nt是非平穩(wěn)性的條件，不再考慮模型中的索賠到達的非平穩(wěn)性條件，最終得到該風險模型下的索賠額滿足ERV(-α,-β)的無限時間和有限時間的破產概率漸近表達式，以期為保險公司更好地規(guī)避巨災風險提供理論依據。

參考文獻：

[1]ZhuLJ.Ruinprobabilitiesforriskprocesseswithnon-stationaryarrivalsandsubexponentialclaims[J].Insurance:MathematicsandEconomics, 2013,53(3):544-550.

[2] 肖鴻民, 劉建霞. 帶負相依重尾潛在索賠額的風險模型的有限時間破產概率[J].山東大學學報,2011,46(9):117-121.

[3] 胡岸. 常息力延遲更新場合下的破產概率[J].暨南大學學報：自然科學版,2013,34(1):47-50.

[4] 吳永, 邵明陽. 重尾索賠下常利力更新風險模型的破產概率[J].重慶理工大學學報：自然科學版,2010,24(10):97-100.

[5] Goldie C M, Resbick S. Distributions that are both subexponential and in the domain of attraction of an extreme value distributionP[J].Advance in Applied Probability, 1988,20:706-718.

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[7] Ambagaspitiya R S. On the distribution of a sum of correlated aggregate claim[J].Insurance: Mathematics and Economics, 1998,23(1):15-19.

[8] Asmussen S. Tail approximations for non-standard risk and queueing processes with subexponential tails[J].Advances in Applied Probability, 1999,31(2):422-447.

[9] Asmusssenet S, Klüppelberrg C. Large deviations results for subexponential tail with applications to insurance risk[J].Stochastic Processes and their Applications, 1996,64(1):103-125.

(責任編輯：李華云)

Ruin Probabilities with Non-Stationary Arrivals for the

Non-Standard Risk Model

HU Shana，WANG Chuanyu，WANG Jian

(College of Math & Phy, Anhui Polytechnic University, Wuhu Anhui241000, China)

Abstract：This paper considered a non-standard risk model, in which it was assumed that claims are negative dependent and the risk processes is non-stationary arrival. We obtain the asymptotic expression of claims that obeys ruin probability in finite level and infinite level under ERV distributions when claim satisfies the large deviation principle.

Keywords：Risk model; Ruin probability; ERV; Non-stationary processes; negative dependent

作者簡介：胡莎娜(1990-)，女，浙江紹興人，碩士生，主要研究方向為精算數(shù)學。

基金項目:國家自然科學基金項目(61203139);安徽省重點教研項目(2012jyxm277)

收稿日期：2014-10-12

中圖分類號：O211.9

文獻標識碼：A

文章編號：1671-5322(2015)01-0016-04

doi:10.16018/j.cnki.cn32-1650/n.201501004