帶擾動(dòng)的廣義Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)過程最大虧損問題研究

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帶擾動(dòng)的廣義Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)過程最大虧損問題研究

王健，王傳玉，周金樂

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,安徽 蕪湖241000)

摘要：運(yùn)用Laplace變換，研究了帶擾動(dòng)的廣義Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)模型最大虧損的分布，求得滿足生存概率的一個(gè)積分-微分方程的解。它的解可以表示為2n階線性獨(dú)立特解的一個(gè)線性組合，當(dāng)n=2時(shí)，得到最大虧損分布的精確表達(dá)式,再通過一個(gè)實(shí)例來說明該研究結(jié)果。

關(guān)鍵詞：帶擾動(dòng)的廣義Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)模型；廣義Erlang(n)索賠間隔；積分-微分方程；最大虧損

風(fēng)險(xiǎn)理論是對(duì)風(fēng)險(xiǎn)定量分析和預(yù)測(cè)的一種理論。保險(xiǎn)公司在經(jīng)營(yíng)過程中面臨許多潛在風(fēng)險(xiǎn)，嚴(yán)重影響著保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)成果。當(dāng)保險(xiǎn)公司賠付發(fā)生后，其盈余可能為負(fù)，這時(shí)如果保費(fèi)收入遠(yuǎn)小于保險(xiǎn)公司的賠付，就會(huì)導(dǎo)致保險(xiǎn)公司破產(chǎn)。最大虧損(公司盈余首次為負(fù)后的最大破產(chǎn)值分布)是研究保險(xiǎn)公司破產(chǎn)的一個(gè)重要指標(biāo)，保監(jiān)會(huì)也需要通過這個(gè)指標(biāo)來衡量保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)承受能力。研究最大虧損量可以有效控制保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)，保護(hù)保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)成果，所以對(duì)保險(xiǎn)公司最大虧損的研究具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。

破產(chǎn)理論的研究可以追溯到瑞典精算師Filip Lundberg在1903年發(fā)表的博士論文[1]。在這篇論文中，Lundberg首次提出了一類重要的隨機(jī)過程Poisson過程，但Lundberg的工作還是不太符合現(xiàn)代數(shù)學(xué)的嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)。后來以Harald Cramer為首的瑞典學(xué)派將Lundberg的工作奠定在堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上，同時(shí)Cramer也將破產(chǎn)論建立在隨機(jī)過程理論的基礎(chǔ)上，并發(fā)展了隨機(jī)過程理論。Bergel等[2-3]研究了Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)模型和廣義Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)模型下的Lundberg方程，運(yùn)用得到的結(jié)果去計(jì)算出破產(chǎn)最大虧損的分布，然后考慮一個(gè)利息力，研究了預(yù)期紅利貼現(xiàn)，考慮一般索賠額分布，通過Albrecher[4]所提出的更一般的方法去代替。Li等[5]研究了Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)過程中破產(chǎn)前的最大盈余分布所滿足的積分-微分方程及其邊界條件，它的解可以表示為n個(gè)線性獨(dú)立特解的一個(gè)線性組合。特別地，當(dāng)索賠服從有理分布時(shí)，給出了精確結(jié)果。最后運(yùn)用以上結(jié)果表示出最大虧損的分布和在一個(gè)常利率情況下考慮一個(gè)障礙策略。

國(guó)內(nèi)學(xué)者，張春生等[6]主要研究了帶干擾的Erlang(2)風(fēng)險(xiǎn)模型中的生存概率問題。王珊珊等[7]研究了帶干擾的廣義Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)前資產(chǎn)余額的最大值的分布問題，推導(dǎo)出破產(chǎn)前資產(chǎn)余額的最大值滿足具有一定邊界條件的齊次積分微分方程，與單純的廣義Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)模型相比較，他們的論證更為復(fù)雜，結(jié)果更為精細(xì)。江五元等[8]考慮了索賠時(shí)間間距為廣義Erlang(n)分布的帶干擾更新風(fēng)險(xiǎn)過程，建立了破產(chǎn)前最大盈余所滿足的積分微分方程，討論了索賠量分布為Km分布時(shí)的特殊情形。以上研究結(jié)果都對(duì)本課題的研究提供了理論方法上的借鑒。

本文將在帶干擾的廣義Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)過程，通過Laplace變換求出一個(gè)積分-微分方程的解，繼而對(duì)最大虧損進(jìn)行研究。

1模型的建立

本文中，我們將通過以下模型來研究盈余過程：

(1)

我們對(duì)(1)模型中感興趣的主要研究對(duì)象，設(shè)置一些數(shù)學(xué)定義：

定義1破產(chǎn)時(shí)刻表示為

當(dāng)且僅當(dāng)?t≥0,U(t)≥0。

定義2最終破產(chǎn)概率定義為Ψ(u)=P(T<∞)和相應(yīng)的不破產(chǎn)概率(生存概率)

定義3盈余水平從最初盈余水平u達(dá)到水平b(不包括第1次跌破0)的概率為

其中τb=inf{t>0:U(t)≥b|U(0)=u}表示盈余水平第1次達(dá)到水平b的時(shí)刻。

2積分-微分方程

定理1χ(u,b)滿足一個(gè)n階積分-微分方程，表示為以下形式：

(2)

其中，D表示一個(gè)微分算子，

是一個(gè)2n階線性微分算子。

證明：通過Gerber等[9]，我們可以得到定理中需要的積分-微分方程。

通過積分微分方程定理[5]，方程(2)的一般解形式為：

(3)

其中，對(duì)i=1,2,…,2n，vi(u)是(2)式的2n個(gè)線性獨(dú)立的特解，ηi(b)是任意實(shí)數(shù)。這樣得到：

(4)

其中，η1(b)、η2(b)、…、η2n(b)由下列線性方程組決定

(5)

(6)

通過上述分析，為了方便，我們?cè)O(shè)v(u)表示(2)式的特解。下面我們對(duì)v(u)進(jìn)行精細(xì)的分析。

3積分-微分方程的解

定理2假設(shè)ρ1、ρ2、…、ρn、ρ0=0是互不相同的，下列方程是積分-微分方程(2)的線性獨(dú)立特解：

(7)

其中，

證明：首先，由文獻(xiàn)[10]中的(12)式，我們知道

(8)

這是一個(gè)廣義的Lundberg方程。設(shè)ρ1,ρ2,…,ρn,ρ0=0是方程(8)的實(shí)部大于0的2n個(gè)根。

定義積分實(shí)函數(shù)f算子[11]Tr為

r∈C,R(r)≥0,x≥0

對(duì)方程(2)兩邊同時(shí)進(jìn)行Laplace變換，左邊有：

右邊有：

這樣得到：

則得：

(9)

因?yàn)棣?,ρ2,…,ρn互不相同，根據(jù)拉格朗日插值定理得：

通過差分定理得：

這樣，(9)式可以寫為：

(10)

轉(zhuǎn)化(10)式，我們就可以得到定理中的結(jié)論。

4最大虧損

假設(shè)破產(chǎn)后盈余過程繼續(xù)，考慮從破產(chǎn)發(fā)生時(shí)刻到公司再次盈余時(shí)公司破產(chǎn)的最大程度。定義以下概念：

定義4破產(chǎn)后盈余過程首次突破0的時(shí)刻為T′=inf{t:t>T，U(t)≥0},T為有限的。

定義5盈余在T≤t≤T′的時(shí)間間隔中最大破產(chǎn)為

定義6破產(chǎn)發(fā)生后，最大破產(chǎn)的條件分布函數(shù)定義為

定義7破產(chǎn)發(fā)生后，破產(chǎn)發(fā)生時(shí)的赤字最大為y時(shí)的概率為

定理3在模型(1)中，當(dāng)n=2時(shí)，最大虧損可以寫成如下形式：

證明由Dickson[12]可知，

(11)

其中，g(u,y)=?G(u,y)/?y

當(dāng)n=2時(shí)，由(4)知：

由Wang等[7]得：

則，

(12)

因此，只要知道v2(u),v4(u)就可以得到χ(u,b)的具體表達(dá)式了。

Li[13]中給出，

(13)

(14)

同理可得

(15)

綜合(12)、(14)、(15)，得到χ(u,b)的具體表達(dá)式

根據(jù)式(11)，得到

而

整理以上結(jié)論得到破產(chǎn)后最大虧損的精確表達(dá)式，即定理所給出的形式。

5實(shí)例分析

前述給出了公司破產(chǎn)最大虧損的表達(dá)式，下面將通過實(shí)例來說明。首先，考慮破產(chǎn)概率Ψ(u)=P(T<∞)。

引理1風(fēng)險(xiǎn)模型(1)的最終破產(chǎn)概率為

(16)

其中，R為調(diào)節(jié)系數(shù)。

證明詳見文獻(xiàn)[14]中的證明。

又由定義(2)得

(17)

考慮調(diào)節(jié)系數(shù)R，文獻(xiàn)[15]詳細(xì)地介紹了干擾項(xiàng){W(t)∶t≥0}對(duì)破產(chǎn)概率的影響，其中最重要的影響就是擾動(dòng)系數(shù)σ對(duì)于調(diào)節(jié)系數(shù)R的影響。文中給出調(diào)節(jié)系數(shù)R明顯地依賴于布朗運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)系數(shù)σ，具體來說就是調(diào)節(jié)系數(shù)R與擾動(dòng)強(qiáng)度σ呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，擾動(dòng)強(qiáng)度σ越大，調(diào)節(jié)系數(shù)R就越小，破產(chǎn)概率Ψ(u)就越大，這與實(shí)際情況是相符合的。

例考慮風(fēng)險(xiǎn)模型(1)為索賠額服從參數(shù)為β的指數(shù)分布，相對(duì)安全負(fù)載系數(shù)c，設(shè)ρ1=ρ2=ρ是廣義Lundberg方程的一個(gè)實(shí)部大于0的重根，R為調(diào)節(jié)系數(shù)。

由(17)可得定理3中部分式為：

(18)

(19)

將式(18)(19)帶入定理3，可得

(20)

(21)

(22)

綜合(21)、(22)式，可得

J(z;u)=0.09η4(0.007e4.596z+0.167e-z+

1.043e-0.768z-0.283)+60.093η2(0.007e4.596z+0.043e-0.768z-0.05)

同理，

當(dāng)擾動(dòng)強(qiáng)度σ2=1，調(diào)節(jié)系數(shù)R=0.452時(shí)，可得

(23)

(24)

綜合(23)、(24)式，可得

J(z;u)=0.18η4(0.011e4.596z+0.098e-z+

1.145e-0.452z-0.667)+60.093η2(0.011e4.596z+0.145e-0.452z-0.119)

當(dāng)擾動(dòng)強(qiáng)度σ2=2，調(diào)節(jié)系數(shù)R=0.292時(shí)，可得

(25)

(26)

綜合(25)、(26)式，可得

J(z;u)=0.045η4(0.009e4.596z+0.064e-z-

0.292e-0.292z-0.862)+60.093η2(0.009e4.596z+0.184e-0.292z-0.154)

最后，運(yùn)用Matlab軟件進(jìn)行模擬。

當(dāng)σ2=1時(shí)，可以得出如圖1結(jié)果。

當(dāng)σ2等于2和0.5時(shí)，結(jié)合σ2=1可得如圖2結(jié)果。

圖1　σ2=1，J(z;u)的值Fig.1　The results of J(z;u) when σ2=1

圖2　σ2為不同值時(shí)，J(z;u)值比較Fig.2　The results of J(z;u) when σ2 is different values

由圖2可以明顯的看出擾動(dòng)系數(shù)越小(σ2=0.5)對(duì)保險(xiǎn)公司最大破產(chǎn)的干擾就越偏低，擾動(dòng)系數(shù)越大(σ2=2)對(duì)保險(xiǎn)公司最大破產(chǎn)的影響就偏大，這也是符合實(shí)際的。

上例中我們給出了計(jì)算保險(xiǎn)公司最大虧損的實(shí)例，通過圖1和圖2可以看出擾動(dòng)的大小對(duì)保險(xiǎn)公司最大虧損存在著影響。由于本文中所取擾動(dòng)量相近，圖中所呈現(xiàn)的變化不太大，但是在保險(xiǎn)公司的實(shí)際經(jīng)營(yíng)中，干擾的情況會(huì)隨時(shí)的發(fā)生，而且每個(gè)干擾之間可能有很大的區(qū)別，所以可能會(huì)給保險(xiǎn)公司帶來較大的風(fēng)險(xiǎn)。根據(jù)以上結(jié)果我們建議保險(xiǎn)公司在經(jīng)營(yíng)時(shí)應(yīng)該保持穩(wěn)定，避免有大起大落，在簽署保單的時(shí)候應(yīng)控制保單的數(shù)量和質(zhì)量，有利于避免騙?，F(xiàn)象，防止出現(xiàn)由于大量質(zhì)量不好的保單造成大額索賠，避免對(duì)保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)的干擾。

6小結(jié)

最大虧損是研究公司破產(chǎn)的一個(gè)重要指標(biāo)，研究最大虧損量可以有效控制保險(xiǎn)公司的賠付，進(jìn)而有利于保護(hù)保險(xiǎn)公司和有利于其監(jiān)督機(jī)構(gòu)對(duì)保險(xiǎn)公司的監(jiān)督。本文主要討論了在帶擾動(dòng)的廣義Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)過程中公司盈余首次為負(fù)后，盈余過程繼續(xù)，考慮從破產(chǎn)發(fā)生時(shí)刻到公司再次盈余過程公司破產(chǎn)的最大程度，并給出n=2時(shí)最大虧損的精確表達(dá)式。本文在前學(xué)者研究帶擾動(dòng)的廣義Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)過程的基礎(chǔ)上進(jìn)行了進(jìn)一步研究，使最大虧損得到更好的表達(dá)，以期有利于后來學(xué)者對(duì)于保險(xiǎn)公司破產(chǎn)的研究。

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(責(zé)任編輯：張英健)

The Maximum Severity of Ruin in a Generalized Erlang(n)

Risk Process Perturbed by Diffusion

WANG Jian, WANG Chuanyu, ZHOU Jinle

(School of Mathematics and Physics, Anhui Polytechnic University, Wuhu Anhui241000, China)

Abstract：In this paper, we discuss the distribution of the maximum severity of ruin from the time of ruin until the time that the surplus returns to level 0 in a generalized Erlang(n) risk process perturbed by diffusion. Then, we solve an integro-differential equation that is satisfied by the survival probability by the way of Laplace transform. Its solution can be expressed as a linear combination of 2n linearly independent particular solutions of the integro-differential equation. When n=2, the maximum severity of ruin can be expressed explicitly in terms of the non-ruin probability. Finally, the research results of this paper are illustrated through an instance.

Keywords：the generalized Erlang(n) risk process perturbed by diffusion; generalized Erlang(n) claim waiting time; the integro-differential equation; the maximum severity of ruin

作者簡(jiǎn)介：王健(1989-)，男，安徽六安人，碩士生，主要研究方向?yàn)榫銛?shù)學(xué)。

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61203139);安徽省重點(diǎn)教研項(xiàng)目(2012jyxm277)

收稿日期：2014-11-19

中圖分類號(hào)：O211.9

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1671-5322(2015)01-0009-07

doi:10.16018/j.cnki.cn32-1650/n.201501003