一類非線性時滯微分方程的奇異攝動研究

謝英超，程 燕(．陸軍軍官學院研究生管理大隊，安徽合肥 3003;．陸軍軍官學院基礎部，安徽合肥 3003)

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一類非線性時滯微分方程的奇異攝動研究

謝英超1，程 燕2
(1．陸軍軍官學院研究生管理大隊，安徽合肥 230031;2．陸軍軍官學院基礎部，安徽合肥 230031)

摘 要:研究了一類依賴于小參數的小時滯微分方程．首先利用擬合函數法將雙參數問題轉換為便于分析的單參數問題，再利用校正函數法得到了方程的一致有效的漸近解，并利用微分不等式理論給出了證明，最后將其與數值解進行了精度比較．結果表明該攝動方法是有效的，從而可以更好地分析這類方程的解的性態(tài)．

關鍵詞:奇異攝動;時滯微分方程;非線性;漸近解

引用格式:謝英超，程燕．一類非線性時滯微分方程的奇異攝動研究［J］．安徽師范大學學報:自然科學版，2015，38(2) :129－133．

引言

非線性時滯微分方程的研究目前仍然是國內外工程界和學術界十分關注的重點和熱點之一［1］，在許多領域都有重要的作用［2］．許多學者利用奇異攝動的理論和方法研究時滯微分方程，取得了可喜的成果［3－15］．但對于依賴于小參數的小時滯微分方程研究較少，本文對解這類方程進行了一定的探索．

考慮如下一類依賴于小參數的小時滯微分方程:

其中:ε是正的小參數，τ是正的小時滯參數，Τ為適當的正數，φ(t)為初始函數;記［u(t)］= u(t－τ)．問題(1)－(2)是一個具有兩參數的非線性時滯微分方程的奇異攝動問題．

為研究方便，現(xiàn)作如下假設:

［H1］當τ→0時，ε= O(τ) ;

［H2］f和φ在各自的定義區(qū)間內為充分光滑函數，且存在常數δ1≥0，δ2＞0，使得fu(t，u，［u］)≤－δ1≤0，f［u］(t，u，［u］)≤－δ2＜0，(t，u，［u］)∈［0，T］×R×R; ［H3］退化問題f(t，u(t)，u(t) ) = 0在t∈［0，T］存在唯一的連續(xù)可微解u*(t)．

1　問題的奇異攝動研究

問題(1)－(2)為依賴于小參數的小時滯微分方程，由于其奇異的雙重性，研究起來較為困難．本文考慮用一個關于時滯參數的光滑函數去擬合這個小參數，從而轉換為只依賴于小時滯參數的問題．事實上，對于實際模型、工程應用等問題，人們更關心的是給定參數下的方程的解，所以這種方法在實際應用中具有一定的活力．

由假設［H1］知，當ε∈(0，ε0)時，其中ε0為適當小的正常數，ε可以表示為τ的冪級數之和，即存在足夠小的正常數τ0，當τ∈(0，τ0)時，可選擇適當的足夠光滑的函數g(τ)，使得其中gi= g(i)(0)為適當的常數，且g(0) = 0，g1≠0．

對于t∈［0，T］，尋找問題(1)－(2)具有如下形式的解

其中U(t，τ)為外部解，設其形式為

滿足時滯微分方程(1) ;ξ= t/τ為伸長變量，V(ξ，τ)為初始層校正項，設其形式為

2　外部解

首先按τ展開u(t－τ)2

將式(3)、(4)和(7)代入(1)式，按τ展開方程兩邊，合并τ的同次冪項．關于τ0，可得:

f(t，u0(t)，u0(t) ) = 0．

(8)由假設［H3］知，方程(8)存在唯一解，且

u0(t) = u*(t)．

(9)關于τi(i = 1，2，…)的系數，記fu= fu(t，u0(t)，u0(t) )，f［u］= f［u］(t，u0(t)，u0(t) )可分別得到: (fu+ f［u］) ui= Gi－Fi，

(10)

，…，故Gi為逐次已知的函數，可以證明Fi也為逐次已知的函數，特別地

其中fuu= fuu(t，u0(t)，u0(t) )，fu［u］= fu［u］(t，u0(t)，u0(t) )，f［u］［u］(t，u0(t)，u0(t) )．

方程(10)退化為代數方程，由假設［H2］可知，(fu+ f［u］)≠0，故可依次求得其唯一解為ui(t) (t∈［0，T］)，i = 1，2，…．至此，外部解已經構造完成，但它未必滿足初始條件(2)，故還需要構造初始層校正項．

3　初始層校正項和解的漸近表達式

令t = 0代入式(4)，并由條件(2)可得

因為完全展開式(4)和外部展開式(5)滿足時滯微分方程(1)，所以初始層校正項V(ξ，τ)必須滿足

對于初始層校正項vi(ξ)可以通過逐步積分法，在區(qū)間s≤ξ≤s + 1(s = 0，1，2，…)上逐次求得．由式(3)、(5)、(6)、(11)、(12)和(13)，關于τ0，v0(ξ)，必為

在初始條件v0(0) =φ(0)－u0(0)的連續(xù)解，通過逐段積分可求得v0(ξ)．在滿足假設［H1］和［H2］的前提下，可以證明v0(ξ)是當ξ→∞時指數型地趨于零的函數．關于τ1，v1(ξ)必為

在初始條件v1(0) =－u1(0)的連續(xù)解，通過逐段積分可求得v1(ξ)．在滿足假設［H1］和［H2］的前提下，可以證明v1(ξ)也是當ξ→∞時指數型地趨于零的函數．

關于τi(i = 2，3，…)，vi(ξ)必為

在初始條件vi(0) =－ui(0)的連續(xù)解，其中，為逐次已知的函數，可以證明i和也為逐次已知的函數．在滿足假設［H］1

和［H2］的前提下，可以證明vi(ξ)也是當ξ→∞時指數型地趨于零的函數．’’至此，外部解和初始層校正項構造完成，得到問題(1)－(2)解的形式漸近展開式為

4　漸近解的一致有效性

我們有如下定理:

定理 在滿足假設［H1］－［H2］的前提下，當ε∈(0，ε0)，τ∈(0，τ0)時，依賴于小參數的小時滯微分方程初值問題(1)－(2)存在一個解u，并具有形如式(17)的一致有效的漸近展開式．

證明 首先構造如下形式的輔助函數α(t，τ)和β(t，τ)

(18) (19)其中為r足夠大的正數，在證明中將給定，

顯然有

對足夠大r的和τ∈(0，τ0)，有

下面證

事實上，將式(3)、(18)和(20)代入(23)，對于0≤ξ≤1和τ∈(0，τ0)，存在一個常數R＞0，有

由式(21)、(22)、(23)和(24)，并利用微分不等式理論［16］，可得

由此可得，依賴于小參數的小時滯微分方程初值問題(1)－(2)存在一個解u，并具有形如式(17)的一致有效的漸近展開式．定理證畢．

5　漸近解與數值解的精度比較

為比較所求漸近解與數值解的精度，舉一個特殊的例子來說明，取定問題(1)－(2)的一組參數為:ε= 0．01，τ= 0．01，并且f(t，u(t)，［u(t)］) = 2t－u(t)－［u(t)］，φ(t) = ei，選取適當函數g(τ) =τ，則g1= 1，gk= 0(k = 2，3，…)．用上述攝動方法，可得問題(1)－(2)的外部解為

u0(t) = t，ui(t) = 0(i = 1，2，…)初始層校正項v0(ξ)為

在初始條件v0(0) = 1的連續(xù)解，通過逐段積分可求得v0(ξ)．故解的一次漸近展開式為

問題(1)－(2)的攝動解與數值解在ε=τ= 0．01，φ(t) = ei時的變化曲線如圖1所示．

由圖1可見，攝動解與數值解曲線非常接近，表明所述攝動方法是一個簡單而有效的方法．

6　結束語

本文研究了一類依賴于小參數的小時滯微分方程，在一定假設條件下對這類方程的解進行了探索，利用擬合函數法和校正函數法得到了方程的一致有效的漸近解．結果表明本文所述方法是一個簡單而有效的近似解析方法，不同于數值解法，它還能繼續(xù)進行解析運算．所以，能夠利用得到的漸近展開式更好地對這類方程解的性態(tài)進行更深層次的分析和研究，從而能更好地應用到物理、機械和工程技術等領域中．

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Singularly Perturbed Study on a Class of Nonlinear Delay Differential Equation

XIE Ying-chao1，CHENG Yan2
(1．Graduate Management Unit，Army Officer Academy，Hefei 230031，China;2．Basic department，Army Officer Academy，Hefei 230031，China)

Abstract:In this paper，a class of small delay differential equation depending on a small parameter is considered．Firstly using the fitting function method，the two parameters problem is converted to a single parameter problem for facilitating analysis．Then using the correction function method，the uniformly valid asymptotic solution of the equation is obtained，which is proved by using the theory of differential inequalities．Finally it’s compared with the numerical solution．The result shows that the perturbation method is effective，so we can analyze the behavior of solution for the class of delay differential equation much better．

Key words:singular perturbation; delay differential equation; nonlinear; asymptotic solution

作者簡介:謝英超(1989－)，男，碩士研究生，研究方向:應用數學．

基金項目:國家自然科學基金項目(11202106)，安徽省自然科學基金項目(1408085MA06)．

收稿日期:2013－12－12

DOI:10．14182/J．cnki．1001－2443．2015．02．005

文章編號:1001－2443(2015) 02－0129－05

文獻標志碼:A

中圖分類號:O175．7