冪級數(shù)零點(diǎn)的詹逖生-斯?jié)晒哦ɡ須v史探析

王全來,曲安京

(1.天津師范大學(xué) 計算機(jī)與信息工程學(xué)院, 300387;2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)與科學(xué)史研究中心, 陜西 西安 710127)

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·科學(xué)技術(shù)史·

冪級數(shù)零點(diǎn)的詹逖生-斯?jié)晒哦ɡ須v史探析

王全來1,曲安京2

(1.天津師范大學(xué) 計算機(jī)與信息工程學(xué)院, 300387;2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)與科學(xué)史研究中心, 陜西 西安 710127)

該文基于原始文獻(xiàn),利用歷史分析和比較的方法，首次梳理了該定理發(fā)展的歷史脈絡(luò)(1900—1980),研究了該定理提出的歷史背景,林德瓦特、波利亞和盧卡奇等人的工作為其思想基礎(chǔ);探討了詹逖生和斯?jié)晒旁谠摱ɡ砩纤龅墓ぷ?及該定理的進(jìn)一步發(fā)展。深入分析了數(shù)學(xué)研究者的一些重要思想和方法,揭示了該定理所蘊(yùn)含的思想內(nèi)涵。

詹逖生;斯?jié)晒?冪級數(shù)部分列;零點(diǎn);聚點(diǎn)

冪級數(shù)部分列的零點(diǎn)分布研究是冪級數(shù)理論研究中的一個重要內(nèi)容,該研究有許多重要的相關(guān)理論成果問世,詹逖生(R.Jentzsch,1890—1918)-斯?jié)晒?(G.Szeg?,1895—1985)定理即是其中之一。詹逖生-斯?jié)晒哦ɡ硎紫扔烧插焉?914年的博士論文中提出,在1922年,斯?jié)晒艑φ插焉慕Y(jié)果做了深入探討,成為其后許多數(shù)學(xué)家研究該問題的理論基石,故在許多數(shù)學(xué)著作中把該結(jié)果稱為詹逖生-斯?jié)晒哦ɡ怼Ｕ插焉?斯?jié)晒哦ɡ斫?jīng)過數(shù)學(xué)研究者的不斷努力,出現(xiàn)了諸多深刻結(jié)果。其結(jié)果散見于一些數(shù)學(xué)理論著作中,如文獻(xiàn)[1-3]等。從歷史角度對該定理進(jìn)行論述和研究的,目前國內(nèi)外尚未見到相關(guān)研究文獻(xiàn)。鑒于此，基于原始文獻(xiàn),依據(jù)歷史分析和比較的方法對該定理的歷史發(fā)展進(jìn)行研究,以補(bǔ)現(xiàn)有文獻(xiàn)之不足。

1 詹逖生-斯?jié)晒哦ɡ硖岢龅乃枷氡尘?/h2>

2 詹逖生和斯?jié)晒旁谠摱ɡ砩系墓ぷ?/h2>

詹逖生在冪級數(shù)相關(guān)理論方面做出了奠基性的工作。他在1914年在弗羅貝尼烏斯(G.Frobenius,1849—1917)指導(dǎo)下完成博士論文《解析函數(shù)列理論研究》。弗羅貝尼烏斯和肖特基(F.Schottky)對其關(guān)于冪級數(shù)部分和及相關(guān)主題的論述感到欽佩。在對他的論文書面評價中,弗羅貝尼烏斯概述了詹逖生的結(jié)果,并寫道:作者的結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了在這個領(lǐng)域所得的結(jié)果。他以相當(dāng)簡單的方式推導(dǎo)了他的主要結(jié)果。他的工作對于解析函數(shù)理論研究有很高的科學(xué)價值,堪稱智力和聰明的典范[7]。他在文獻(xiàn)[8]中證明了其稱為的主定理,即詹逖生-斯?jié)晒哦ɡ?該定理為部分列零點(diǎn)理論研究的理論基礎(chǔ)。

詹逖生的主定理是冪級數(shù)部分列表現(xiàn)行為研究的結(jié)果,也是有關(guān)冪級數(shù)部分列大量重要研究的起點(diǎn)。當(dāng)然,對于一般的多項式序列,詹逖生定理是不正確的。奧斯特洛斯基和斯?jié)晒艦榱吮ＷC對于一般多項式序列的一致收斂區(qū)域的邊界點(diǎn)是其零點(diǎn)的聚點(diǎn)分別在1922年給出了充分條件。稍后,斯?jié)晒旁谖墨I(xiàn)[13]中給出了充要條件。

奧斯特洛斯基在文獻(xiàn)[14]中考慮了解析函數(shù)列fn(z)在區(qū)域D的每個緊致集上一致收斂于f(z)的情況。他選擇了D為最大可能區(qū)域,即所謂的一致收斂的完全區(qū)域。在對fn(z)的增長、收斂速度、f(z)的性質(zhì)做各種假設(shè)下,他討論了fn(z)的零點(diǎn)在E的一個特殊邊界點(diǎn)的鄰域內(nèi)的各種情況,把詹逖生定理一般化?！叭龍A定理”是其結(jié)論證明的重要理論基礎(chǔ)。

2)若在(1)中等號成立,則全部的Pn(z)的零點(diǎn)集合以|z|=1為聚點(diǎn);

定理1)的證明采用了柯西不等式。2)和5)的證明為上述文章方法。3)和4)的推導(dǎo)方法依賴于方程根與系數(shù)的關(guān)系和反證法。斯?jié)晒旁谠撐哪┪蔡幹赋?在收斂域不是圓的情況下上述結(jié)論依然成立。由上述結(jié)論可以看出,在1)中等號成立時,收斂區(qū)域的邊界點(diǎn)為部分列零點(diǎn)的聚點(diǎn)的充要條件是k(n)=o(n)。

3 詹逖生-斯?jié)晒哦ɡ淼倪M(jìn)一步發(fā)展

布洛赫(P.Bloch)和波利亞在1931年第一個給出了f(x)=a0+a1x+…+anxn的實(shí)數(shù)根R的上界估計問題。在1932年7月,在柏林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)討論會上,施密特(Erhardt-Schmidt)告知舒爾(I.Schur),他得到了一個布洛赫和波利亞結(jié)果的一個加強(qiáng)定理。舒爾在文獻(xiàn)[20]中指出,施密特基于函數(shù)理論方法,多次運(yùn)用泊松-詹森(Poisson-Jensen)公式證得該定理。舒爾運(yùn)用代數(shù)方法給出了一個新證明,并給出更為準(zhǔn)確的結(jié)果。斯?jié)晒旁?934年進(jìn)一步對舒爾的結(jié)果精確化,并且指出舒爾的最佳多項式為雅可比多項式。利特爾伍德(J.E.Littlewood)和奧福德(A.C.Offord)在1939年對施密特的結(jié)果給出了較為簡單的證明[21]。埃爾德什(P.Erd?s)和圖蘭(P.Turn)在文獻(xiàn)[22]中給出了代數(shù)方程根的均勻分布定理,并指出詹逖生-斯?jié)晒哦ɡ砗褪┟芴囟ɡ頌樵摱ɡ淼耐普摗?/p>

施密特定理和詹逖生-斯?jié)晒哦ɡ碛幸粋€共同來源的思想可能并不是新的。這可從舒爾在1934年3月3日遞交給普魯士科學(xué)院的物理數(shù)學(xué)專輯的報告中知曉。報告的內(nèi)容只能從下面的內(nèi)容中得知:“我將指出詹逖生具有有限收斂半徑的冪級數(shù)部分列零點(diǎn)的定理可來自一個一般性的定理,不用函數(shù)理論工具證明。為了證明,可以利用矩陣方法對代數(shù)方程的根進(jìn)行估計?！盵22]埃爾德什和圖蘭在該文中指出, 在重要刊物和數(shù)學(xué)評論中未能找到舒爾關(guān)于包含了施密特定理的一個更為一般性的定理的任何內(nèi)容。故他們對舒爾的說法表示懷疑。但無論如何,因為埃爾德什和圖蘭不使用矩陣方法,故應(yīng)該與舒爾方法不同。

伊得來(A.Edrei)在研究Pade多項式的有關(guān)問題時把詹逖生-斯?jié)晒哦ɡ硗茝V到Pade逼近解析函數(shù)的分子上。在文獻(xiàn)[25]中,他處理了解析函數(shù)有有限收斂半徑的情況。在文獻(xiàn)[26]中,他處理了階是λ的整函數(shù),0<λ≤∞。在文獻(xiàn)[27]中在研究阿賓(A.Abian)猜想時,他把詹逖生-斯?jié)晒哦ɡ硗茝V到洛朗級數(shù)上,利用函數(shù)模理論和詹森公式進(jìn)行證明。

沃爾什(J.L.Walsh)在研究最大收斂多項式在一個緊致集上逼近解析函數(shù)的問題時,采用蒙泰爾證明解析函數(shù)列零點(diǎn)定理的相關(guān)思路在文獻(xiàn)[28]中證明了與詹逖生定理相類似的定理,指出若Eρ表示關(guān)于f解析的最大橢圓,則Pn(f)的零點(diǎn)在Eρ的邊界上稠密。其中Pn(f)表示f的一致最佳逼近序列。特別是對f(z)恒等于0的特殊情況推廣了詹逖生定理,其中特殊的雅可比級數(shù)為其推廣的重要例證。博爾維恩(P.Borwein)在沃爾什工作的影響下,在文獻(xiàn)[29]中探討了在[-1,1]上連續(xù)函數(shù)的解析性質(zhì)和最佳多項式逼近序列零點(diǎn)分布的關(guān)系,指出若逼近多項式序列在某個橢圓內(nèi)無零點(diǎn),則被逼近的函數(shù)在這個橢圓內(nèi)一定解析。在該文中,他指出當(dāng)E為單區(qū)間,且f為實(shí)值函數(shù)時,則若假設(shè)f在E內(nèi)連續(xù),而在E外不解析時隱含了至少存在E的一個點(diǎn)為最佳逼近多項式零點(diǎn)的聚點(diǎn)。他研究方法的理論依據(jù)為級數(shù)的系數(shù)模不等式、伯恩斯坦-詹科森定理。該問題由布拉特(H.P.Blatt)和薩夫(E.B.Saff)在文獻(xiàn)[30]中得到了完美解答。他把沃爾什給出的詹逖生定理推廣到ρ=1的情況,格林公式和沃爾什有關(guān)多項式逼近函數(shù)方面的研究定理為其重要的證明基礎(chǔ)。

詹逖生-斯?jié)晒哦ɡ硎乾F(xiàn)代函數(shù)零點(diǎn)理論研究中的一個重要定理,該定理與其他數(shù)學(xué)分支的有機(jī)結(jié)合,呈現(xiàn)出不同的表述形式,揭示出深刻的數(shù)學(xué)思想內(nèi)涵[32]。本文基于原始文獻(xiàn)梳理了該定理發(fā)展的歷史脈絡(luò),深入探討了數(shù)學(xué)研究者們在該定理上所做的工作以及思想方法,為深入理解該定理在現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用提供了重要史料。

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(編 輯亢小玉)

The research on the history of the theorem of Jentzsch-Szeg?

WANG Quan-lai1， QU An-jing2

(1.The College of Computer and Information Engineering,Tianjin Normal University, Tianjing 300387， China; 2.Research Center for the History of Mathematics and Science, Northwest University, Xi′an 710127, China)

To discuss the distribution of the zeros of the sequences of the power series is important in the theory of the function. There are many results at present. Jentzsch-Szeg? theory is one of the outcomes. This paper first analyses the historical context of the development of this theorem based on the original material by historical analysis and comparative methods. The historical background of the theorem was studied. The work of E.Lindwart, G.Polya and F.Luk?cs are the foundation.This paper discusses Jentzsch and Szeg?’s work, and the development. It deeply analyses the important mathematical ideas and methods of the researchers, and reveals the idea connotations in the theorem.

R.Jentzsch; G.Szeg?; the sequences of the power series; zeros; cluster point

2014-05-22

國家自然科學(xué)基金資助項目(11001199)

王全來,天津人,天津師范大學(xué)副教授,從事近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史研究。

O173

：ADOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2015-03-030