Ka波段過(guò)模慢波結(jié)構(gòu)色散曲線的數(shù)值求解*

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Ka波段過(guò)模慢波結(jié)構(gòu)色散曲線的數(shù)值求解*

武大鵬，舒挺，張華

(國(guó)防科技大學(xué) 光電科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙410073)

摘要：運(yùn)用場(chǎng)匹配法，結(jié)合Ka波段過(guò)模慢波結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況，進(jìn)行軸對(duì)稱周期慢波結(jié)構(gòu)色散關(guān)系的理論推導(dǎo)，得到了一種快速、準(zhǔn)確計(jì)算適應(yīng)Ka波段過(guò)模慢波結(jié)構(gòu)的色散特性計(jì)算方法。根據(jù)推導(dǎo)結(jié)果，采用MATLAB程序編程計(jì)算了Ka波段過(guò)模盤荷波導(dǎo)的色散曲線。將計(jì)算得到的色散曲線與成熟的商業(yè)軟件計(jì)算得到的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，兩者誤差在2%以內(nèi)，驗(yàn)證了數(shù)值算法的可靠性。計(jì)算得到的色散曲線可以輔助選取Ka波段微波源的結(jié)構(gòu)參數(shù)，對(duì)器件設(shè)計(jì)有一定參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：色散曲線；Ka波段過(guò)模慢波結(jié)構(gòu)；數(shù)值計(jì)算算法

在高功率微波源器件的設(shè)計(jì)和研制過(guò)程中，需要了解其慢波結(jié)構(gòu)的色散特性。慢波結(jié)構(gòu)色散關(guān)系的場(chǎng)匹配解法已經(jīng)發(fā)展得較為完善[1-4]，但是在高頻段(例如，頻率高于30GHz)大過(guò)模比情況下，采用通用方法推導(dǎo)得到的色散方程數(shù)值計(jì)算較為困難。本文針對(duì)Ka波段慢波結(jié)構(gòu)的特殊情況，推導(dǎo)了一種針對(duì)高頻段軸對(duì)稱慢波結(jié)構(gòu)快速有效的色散特性求解方法。該方法在邊界處直接積分計(jì)算，沒(méi)有通用算法中傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，在保證一定計(jì)算精度的前提下，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，提高了計(jì)算速度。

1理論推導(dǎo)

如圖1所示，本文采用的慢波結(jié)構(gòu)為具有矩形截面的軸對(duì)稱盤荷結(jié)構(gòu)。此種類型的慢波結(jié)構(gòu)常用于高頻段微波源中[5-9]，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、加工容易的優(yōu)點(diǎn)。慢波結(jié)構(gòu)的基本尺寸參數(shù)為：漂移管的半徑R，慢波結(jié)構(gòu)的周期Z0，高度h，盤荷間距d，電子束半徑rb。由于慢波結(jié)構(gòu)器件中幾何機(jī)構(gòu)和電子束的圓周對(duì)稱特性，參與束波相互作用的主要是具有圓周對(duì)稱的結(jié)構(gòu)和軸向電場(chǎng)分量的TM0n模式，這里僅討論這些模式的色散特性。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，做如下幾點(diǎn)合理假設(shè)：慢波結(jié)構(gòu)軸向無(wú)限長(zhǎng)，所分析區(qū)域內(nèi)的任意點(diǎn)可以認(rèn)為距離場(chǎng)源無(wú)限遠(yuǎn)；軸向約束磁場(chǎng)無(wú)窮大，電子束僅有沿z方向的一維速度分量；電子束的厚度忽略不計(jì)，但是具有有限大的總電流Ib；忽略各個(gè)場(chǎng)分量和電子束參量的高階擾動(dòng)量，如電子速度v=v0+v1。

TM0n模式僅有軸向電場(chǎng)Ez、徑向電場(chǎng)Er和角向磁場(chǎng)Hφ三個(gè)不為零的場(chǎng)分量。根據(jù)Floquet定理，軸向電場(chǎng)分量可以分解為級(jí)數(shù)展開(kāi)的形式[10]

(1)

式中kn=k0+nh0, h0=2π/z0, -h0/2≤k0

圖1　具有矩形截面的軸對(duì)稱慢波結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1　Diagram of axial symmetric SWS with rectangular section

求解區(qū)域的各次諧波的軸向電場(chǎng)Ezn滿足Maxwell方程組，整理可得

(2)

式中Γn2=ω2/c2-kn2。

其他場(chǎng)分量可以用軸向電場(chǎng)分量表示

(3)

(4)

式(2)的基本解形式為

(5)

其中J0(x)為零階第一類Bessel函數(shù)。在波導(dǎo)壁處需滿足切向電場(chǎng)為零的邊界條件

(6)

其中Rw(z)為z處的波導(dǎo)壁半徑。在電子束處的邊界條件為[1]

(7)

結(jié)合邊界條件式(6)和式(7)，式(5)可以整理為矩陣的形式

D·A=0

(8)

其中

det(D)=det[Dmn]=0

(9)

式(9)即是慢波結(jié)構(gòu)的色散方程。

2數(shù)值求解方法

編制了MATLAB計(jì)算程序，數(shù)值求解色散方程，求解步驟如下。

1)對(duì)基波軸向波數(shù)k0取一系列離散值，據(jù)此確定各次諧波的軸向波數(shù)kn=k0+nh0；

2)對(duì)各個(gè)k0，使用二分法[4]求解ω的值；

3)每個(gè)k0，有多個(gè)不同的ω解，將它們按從小到大的順序加注標(biāo)記ω(1),ω(2),…ω(n)，則數(shù)組(k0,ω(1))為TM01模式色散曲線上的點(diǎn)，數(shù)組(k0,ω(2))為TM02模式色散曲線上的點(diǎn)，……數(shù)組(k0,ω(n))為TM0n模式色散曲線上的點(diǎn)；

4)依次連接不同k0取值對(duì)應(yīng)的所有(k0,ω(n))，構(gòu)成TM0n模式色散曲線。

圖2　不同矩陣階數(shù)下的色散曲線(以TM01為例)Fig.2　Dispersion curves in different matrixranks (take TM01as an example)

在計(jì)算色散矩陣D時(shí)，我們?nèi)〉木仃囯A數(shù)為5～7階，具體階數(shù)的確定原則是：逐次增大矩陣階數(shù)，直到相鄰兩種階數(shù)下求解得到的色散曲線偏差在1%以內(nèi)。例如圖2所示為矩陣階數(shù)分別取4，5和6階時(shí)TM01模式的色散曲線示意圖，可以看出矩陣取4階時(shí)色散曲線與取5階時(shí)偏差較大，而取5階和取6階時(shí)偏差較小。綜合考慮準(zhǔn)確性和計(jì)算時(shí)間，可以取5階矩陣進(jìn)行計(jì)算。本方法由于處理波導(dǎo)壁處邊界時(shí)，沒(méi)有采用常見(jiàn)的傅里葉展開(kāi)擬合邊界形狀的方法，而是直接將邊界形狀函數(shù)代入求解，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。

3計(jì)算結(jié)果和相關(guān)討論

選取Ka波段高功率微波源[5]的一組典型尺寸參數(shù)(具體參數(shù)值見(jiàn)表1)，數(shù)值計(jì)算了其色散特性。

表1Ka波段高功率微波源的典型尺寸參數(shù)

Tab.1ParametersoftheKa-bandHPMdevice

(mm)

如圖3所示，是計(jì)算得到的TM01,TM02和TM03模式的色散曲線，通過(guò)與高頻電磁仿真軟件HFSS計(jì)算得到的同樣尺寸參數(shù)條件下的色散曲線進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)二者吻合較好，相對(duì)誤差小于2%。值得指出的一點(diǎn)是，使用高頻電磁仿真軟件計(jì)算色散曲線建模比較煩瑣，而且由于計(jì)算區(qū)域相對(duì)于微波波長(zhǎng)較大(結(jié)構(gòu)直徑約為波長(zhǎng)的4～5倍)，剖分網(wǎng)格數(shù)目巨大，計(jì)算耗時(shí)較長(zhǎng)。

(a) MATLAB數(shù)值計(jì)算得到的TM01,TM02和TM03模式的色散曲線(a) Dispersion curves of TM01, TM02and TM03(MATLAB)

(b) 模式數(shù)值計(jì)算結(jié)果與軟件計(jì)算結(jié)果的對(duì)比 (TM01)(b) Result comparison between MATLAB and softwaresimulation (TM01)

(c) 模式數(shù)值計(jì)算結(jié)果與軟件計(jì)算結(jié)果的對(duì)比 (TM02)(c) Result comparison between MATLAB andsoftware simulation (TM02)

(d) 模式數(shù)值計(jì)算結(jié)果與軟件計(jì)算結(jié)果的對(duì)比 (TM03)(d) Result comparison between MATLAB andsoftware simulation (TM03)圖3　MATLAB數(shù)值計(jì)算得到的色散曲線Fig.3　Result dispersion curves calculated by MATLAB program

4結(jié)論

本文理論推導(dǎo)了一種計(jì)算色散特性的數(shù)值方法，并據(jù)此編制MATLAB數(shù)值程序。與商業(yè)軟件計(jì)算結(jié)果相比，采用該數(shù)值算法編程得到的結(jié)果頻率相對(duì)偏差在2%以內(nèi)，且大大減少了計(jì)算時(shí)間。相關(guān)計(jì)算方法適用于Ka波段微波源結(jié)構(gòu)參數(shù)的輔助選取，具有快速、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。

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Numerical computation of dispersion curves in the Ka-band overmoded slow wave structure

WUDapeng,SHUTing,ZHANGHua

(College of Optoelectronic Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

Abstract：Backward wave oscillator with over-mode Ka-band high power microwave (HPM) generally outputs mixed TM0n modes, it has high energy conversion efficiency, but it can′t ensure the purity of output modes. However, it is necessary for high radiation efficiency that the microwave input to the radiation terminal is certain single and pure. So it is hard to put these HPM sources into application. In order to solve this problem, a design method for compact hybrid modes converter of purifying TM0n mixed modes was proposed. With this method, the TM01, TM02 and TM03 mixed modes can be converted into pure circular waveguide TM01 mode efficiently on the condition of high power capacity and wide wave band. This method also reduces the modes purification difficulty in the design of the HPM sources.

Key words：dispersion curve; Ka-band overmoded slow-wave structure; numerical computing method

中圖分類號(hào)：TN12

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-2486(2015)02-028-04

收稿日期：2015-01-05基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11075211)

作者簡(jiǎn)介：武大鵬(1988—)，男，山東沂水人，博士研究生，E-mail：vipbenjamin@163.com；舒挺(通信作者)，男，教授，博士，博士生導(dǎo)師，E-mail：mrtingshu@qq.com

doi:10.11887/j.cn.201502007

http://journal.nudt.edu.cn