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    重構(gòu)X射線脈沖星信號的純數(shù)值模擬新算法*

    2015-04-04 01:45:52桂先洲黃森林
    國防科技大學(xué)學(xué)報 2015年2期
    關(guān)鍵詞:脈沖星數(shù)目光子

    桂先洲,黃森林,孫 晨

    (國防科技大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院,湖南長沙 410073)

    空間探測中如何實現(xiàn)深空探測器的完全自主導(dǎo)航是一個頭等難題。目前應(yīng)用的導(dǎo)航方式主要有天文導(dǎo)航、衛(wèi)星導(dǎo)航、慣性導(dǎo)航和地基導(dǎo)航。傳統(tǒng)的天文導(dǎo)航依賴近天體進(jìn)行定位,定位精度不高,且操作復(fù)雜[1-3]。近地空間航天器可以利用衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)實現(xiàn)較精確導(dǎo)航,但衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)本身需要定位,自主性較差。慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的誤差累積效應(yīng)嚴(yán)重,不能單獨(dú)進(jìn)行長時間的導(dǎo)航,一般作為組合導(dǎo)航的輔助導(dǎo)航手段[4]。地基導(dǎo)航系統(tǒng)通常使用雷達(dá)測距和光學(xué)跟蹤進(jìn)行定位,但對于深空導(dǎo)航,其定位的橫向精度差,且完全依賴地面站,地面站要進(jìn)行大量的運(yùn)算[5]。X射線脈沖星是一類高速旋轉(zhuǎn),并發(fā)射X射線的中子星,探測器接收到的X射線信號體現(xiàn)為周期性的脈沖,其周期穩(wěn)定性可以媲美現(xiàn)在精度最高的原子鐘[6]。X射線脈沖星是天然的導(dǎo)航信標(biāo),脈沖星導(dǎo)航是目前最具潛力實現(xiàn)深空自主導(dǎo)航的技術(shù)。

    目前對X射線脈沖星導(dǎo)航的研究主要集中在定位方面[7-8],關(guān)鍵之一是脈沖相位估計[9-10]。脈沖相位估計算法的仿真分析需要以X射線脈沖星光子的到達(dá)時間作為實驗數(shù)據(jù)[11]。由于觀測數(shù)據(jù)的精確相位未知,不能進(jìn)行誤差分析;而重構(gòu)的X射線脈沖星信號其相位已知,因此利用模擬算法重構(gòu)的脈沖星信號進(jìn)行相位估計算法仿真十分必要。

    X射線脈沖星信號的模擬有兩種方法,實物模擬和純數(shù)值模擬。文獻(xiàn)[12]采用實物模擬方法,該方法成本高、精度低。文獻(xiàn)[13]提出使用可見光源和單光子探測器搭建實物模擬系統(tǒng),提高系統(tǒng)的靈活性和精度。

    文獻(xiàn)[14]提出的模擬方法為純數(shù)值模擬,該方法成本低、靈活性強(qiáng),但模擬過程將非線性泊松過程的強(qiáng)度函數(shù)分段近似為恒定值,極大地降低了模擬的精度。文獻(xiàn)[15-16]都基于反函數(shù)構(gòu)建了數(shù)值模擬算法的數(shù)學(xué)模型,但前者并沒有進(jìn)一步闡述反函數(shù)如何求解,后者則是對模型進(jìn)行了近似化簡,避免了反函數(shù)的求解,這導(dǎo)致了信號模擬的精度不高。

    本文提出一種基于精確光子流量函數(shù)的純數(shù)值X射線脈沖星信號的模擬算法。該算法的數(shù)學(xué)模型基于反函數(shù)建立,脈沖輪廓通過分段線性函數(shù)擬合,從而反函數(shù)易求。然后以χ2擬合優(yōu)度檢驗作為驗證方法,對信號模擬算法的有效性進(jìn)行定量驗證。最后比較了三種信號模擬算法,并將本文提出的算法生成的觀測脈沖輪廓與標(biāo)準(zhǔn)輪廓比較,對信號模擬算法的有效性進(jìn)行驗證。

    1 信號模擬算法

    1.1 信號模型

    X 射線脈沖星發(fā)射X射線光子是一個隨機(jī)過程,探測器記錄的光子到達(dá)時間則服從非齊次泊松分布。設(shè)光子流量函數(shù)為λ(t),該函數(shù)表征單位時間到達(dá)探測器的光子數(shù)目,標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓函數(shù)的表達(dá)式與光子流量函數(shù)相同。觀測時段為(t0,t)內(nèi)到達(dá)的光子數(shù)目為(t,s)內(nèi)到達(dá)的光子數(shù)目,則Nts服從參數(shù)為的泊松分布,在(t,s)內(nèi)到達(dá) k 個光子的概率為:

    其期望和方差為

    其中,φ+φ0為t時刻對應(yīng)的相位,φ0為信號的初始相位和 λs分別是背景輻射密度和脈沖星輻射平均密度,單位與λ相同(ph/s,即每秒接收的光子數(shù)目),這兩個量可從天文觀測數(shù)據(jù)得知。h(φ)以1為周期,且滿足歸一化條件

    當(dāng) φ >1時,h(φ)=h(φ -n),n=floor(φ),n是不大于φ的最大整數(shù)。

    1.2 脈沖輪廓函數(shù)

    脈沖輪廓可由歷元折疊方法構(gòu)建。X射線脈沖星的信號由時間序列組成,在信號周期已知的前提下,可以將若干個周期的信號折疊到一個周期內(nèi)。時間序列可表示為{ti}m1,轉(zhuǎn)換方法如式(5)所示。

    其中,T為信號周期,floor(x)表示不大于x的最大整數(shù)。將一個周期劃分為Nb個足夠小的區(qū)間,統(tǒng)計落在每個區(qū)間的光子數(shù)目ni,每個區(qū)間長度為L=T/Nb,共有 Np個周期的數(shù)據(jù),則第 i個區(qū)間的平均光子流量函數(shù)

    當(dāng)觀測時間足夠長時Np→∞,Nb→∞每個區(qū)間的長度L→0,可以得到光滑、近似連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓。

    由式(2)可得

    其中ti為第i個時間段的中點(diǎn),故

    1.3 信號模擬算法

    X射線脈沖星信號的數(shù)值模擬算法可分為兩種,一種基于光子數(shù)分布率,一種基于分布函數(shù)的反函數(shù)。

    1.3.1 基于光子數(shù)分布率的信號模擬算法

    在(t,s)內(nèi)到達(dá)k個光子的概率P{Nts=k}可由式(1)計算,將一個周期劃分為Nb個足夠小的區(qū)間,每個區(qū)間稱為一個時間倉(bin),第i個時間倉內(nèi)的光子數(shù)記為Ni,其分布率可記為

    k 0 1 … >p P{Ni=k} P0 P1 … 1-∑p i=1 Pi

    當(dāng)時間倉足夠小時,每個時間倉中的光子數(shù)目取值基本為0或1。對于某一特定長度的時間倉,大于p個光子數(shù)的事件為小概率事件,可以將其光子數(shù)近似為p。

    根據(jù)分布律可以利用隨機(jī)數(shù)生成每個時間倉內(nèi)的光子數(shù)目,以時間倉的中點(diǎn)作為該時間倉內(nèi)光子的到達(dá)時刻。

    1.3.2 基于反函數(shù)的信號模擬算法

    X射線脈沖星信號用光子到達(dá)時間表示,因此,其模擬算法可按如下方法導(dǎo)出。

    設(shè)X射線脈沖星光子的到達(dá)時間間隔為x,則x的分布函數(shù)與具體的時刻t有關(guān),可用條件分布函數(shù)表示為

    其反函數(shù)為

    由于R是(0,1)區(qū)間上的隨機(jī)變量,故(1-R)也是(0,1)區(qū)間上的隨機(jī)變量,式(12)可簡化為

    又G為光子到達(dá)時間差,t為當(dāng)前時刻光子的到達(dá)時間,故下一個光子的到達(dá)時間為

    脈沖輪廓λ(φ)的表達(dá)式一般并不規(guī)則,故使用解析方法不易求出Λ(t)和Λ-1?;诜春瘮?shù)的信號模擬算法之間的區(qū)別就在于如何處理Λ(t)和 Λ-1。

    1)針對這一問題文獻(xiàn)[16]采用了近似模型,當(dāng)光子到達(dá)時刻間隔很小,即δt→0時,

    但是當(dāng)脈沖星光子流量較小時,并不滿足δt→0的條件,不能采用上式進(jìn)行信號模擬。

    2)本文采用分段線性函數(shù)擬合脈沖輪廓函數(shù)λ(φ)。脈沖標(biāo)準(zhǔn)輪廓也是通過歷元折疊構(gòu)建,因此由離散點(diǎn)表示。當(dāng)利用指數(shù)函數(shù)或高斯函數(shù)等擬合時[17-18],雖然可以得到平滑的輪廓曲線,但相應(yīng)的求輪廓函數(shù)積分及積分函數(shù)的反函數(shù)時十分困難。

    信號模擬主要是為了分析相位估計算法,輪廓形狀會影響相位估計的精度,因此必須針對不同的脈沖星采用其標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓。但是輪廓是否光滑并不影響結(jié)果。因此采用分段線性函數(shù)擬合脈沖輪廓是可行的,而且λ(φ)分段可積,Λ(t)的反函數(shù)也易求。

    設(shè)歷元折疊的時間倉數(shù)目為M,則標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓的離散點(diǎn)數(shù)目為M+1,為了保證離散點(diǎn)可以表示整個周期的輪廓,使第一個點(diǎn)的相位為0,最后一個點(diǎn)的相位為1。第 i個離散點(diǎn)表示為,括號中第一項為相位,第二項為光子流量。線性函數(shù)擬合的脈沖輪廓可表示為

    由于式(16)是線性的,所以Λ(t)易求,而Λ(t)是關(guān)于相位φ的二次函數(shù),故Λ-1可以通過求解二次方程得到,為了簡化計算,還可以通過內(nèi)插值得到近似解。值得一提的是,這里的近似解是利用精確模型確定光子到達(dá)時刻范圍后取近似值,基本不會影響后續(xù)信號的模擬,而式(15)則是對模型取近似,然后用近似的模型生成光子到達(dá)時刻,該時刻可能偏離精確模型計算值較遠(yuǎn),從而影響后續(xù)信號的生成。

    圖1 crab脈沖星標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓Fig.1 Standard template pulse profile of crab pulsar

    2 實驗與結(jié)果分析

    2.1 泊松過程檢驗

    本節(jié)分析1.3.2節(jié)中提出的基于分段線性函數(shù)擬合的標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓的信號模擬算法,采用χ2擬合優(yōu)度檢驗法驗證生成的信號是否服從泊松分布。以某一時間段內(nèi)的X射線光子數(shù)a={0,1,2…ai},i=1,2,3…作為樣本,記樣本中等于 ai的個數(shù)為ni并設(shè)a共有k個不同的取值,由式(18)可求得a=ai=i-1的概率pi,樣本總數(shù)為n=,則皮爾遜χ2統(tǒng)計量為

    對給定的顯著性水平α,檢驗規(guī)則為:

    2.2 整段統(tǒng)計

    生成25個周期,即1s的觀測數(shù)據(jù),即t=0,s=1。然后統(tǒng)計1s內(nèi)觀測到的光子數(shù)目。皮爾遜χ2統(tǒng)計量的計算為:

    可得

    其中,i=1,2,3,…,取 a={0,1,…,48,[49,∞)},則 k=50,i的最大值為50,記

    n50為大于光子數(shù),大于等于49的樣本數(shù)。

    根據(jù)式(17)即可計算出χ2。

    由信號模擬算法生成5000個樣本數(shù)據(jù),ni的分布如圖2所示,由圖可見,在光子數(shù)集中在期望值附近,而大于或小于期望達(dá)到某一值后,樣本數(shù)量變?yōu)?0。將 ni代入式(17)求得 χ2=24.263 8,又.338 6 故),說明在一整段時間內(nèi)產(chǎn)生的光子到達(dá)時刻服從泊松分布。

    圖2 光子數(shù)目分布圖Fig.2 Distribution of the number of photons

    2.3 分段統(tǒng)計

    生成250個周期,即10s的觀測數(shù)據(jù),然后進(jìn)行歷元折疊后,將一個周期均分為8個部分,對每部分的光子數(shù)進(jìn)行χ2擬合優(yōu)度檢驗,皮爾遜χ2統(tǒng)計量計算方法與2.1節(jié)相同。各段的光子個數(shù)期望E(Nts)值計算如表1所示??紤]到pi過小

    表1 分段統(tǒng)計各段的參數(shù)及計算結(jié)果Tab.1 Parameters and results of each section for the section-divided method

    可能會導(dǎo)致極大的計算誤差,因此將p

    i

    <10

    -3

    的光子數(shù)目按區(qū)間統(tǒng)計,a的取值集合為([0,a

    1

    ],

    ,實驗數(shù)據(jù)及結(jié)果如表 1 所示。由表中數(shù)據(jù)可知每一段的統(tǒng)計量χ

    2

    均小于

    ,說明在每一段上產(chǎn)生的光子數(shù)目也服從泊松分布。

    2.4 信號模擬算法比較

    前面介紹了兩種信號模擬算法,并提出了一種基于分段線性函數(shù)擬合脈沖輪廓函數(shù)的模擬算法,將基于光子數(shù)分布率的信號模擬算法記為方法一,將采用式(15)由反函數(shù)推導(dǎo)的信號模擬算法記為方法二,基于分段線性函數(shù)擬合脈沖輪廓函數(shù)的模擬算法也利用反函數(shù)導(dǎo)出,與方法二的區(qū)別在于計算過程不采用近似,將其記為方法三。下面分別比較三種算法生成的光子數(shù)期望和由模擬信號構(gòu)建的觀測脈沖輪廓。

    2.5 光子數(shù)目比較

    根據(jù)X射線脈沖星的光子流量分布規(guī)律,取三組不同的λs和λb,

    1)λs=15ph/s,λb=5ph/s

    2)λs=150ph/s,λb=50ph/s

    3)λs=1500ph/s,λb=500ph/s

    表2 光子數(shù)目比較Tab.2 Comparison of photon counts

    觀測時間取100s,統(tǒng)計1000次實驗的光子數(shù)均值,結(jié)果如表2所示,由表可見方法二的光子數(shù)目與理論值相差較大,特別是當(dāng)光子流量較小時尤為明顯,而方法一和方法三則趨近于理論值。

    2.6 觀測脈沖輪廓比較

    由于當(dāng)光子流量較小時,方法二不能有效模擬脈沖信號。故取 λs=1500ph/s,λb=500ph/s,觀測時間取100s,歷元折疊時間倉取128,構(gòu)建觀測脈沖輪廓。進(jìn)行1000次實驗,統(tǒng)計觀測脈沖輪廓每個離散點(diǎn)取值的均方差,并與理論值比較,結(jié)果如圖3所示。方法二模擬的脈沖信號其輪廓誤差最大,其次為方法一,而本文提出的方法三誤差趨近于理論值,說明該方法可以重構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓。

    圖3 脈沖輪廓誤差與理論值的比較Fig.3 Comparison between the error of pulse profile and analysis result

    圖4 顯示的是將模擬產(chǎn)生的 10s,100s,1000s的光子到達(dá)時刻通過歷元折疊后得到的累積脈沖輪廓,可發(fā)現(xiàn)當(dāng)時間越長時,脈沖輪廓越接近標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓函數(shù)。進(jìn)一步證明了方法三可以重構(gòu)的脈沖星信號。

    3 結(jié)論

    本文提出一種基于精確光子流量函數(shù)的純數(shù)值重構(gòu)X射線脈沖星信號的模擬算法,該算法依據(jù)X射線脈沖星信號的光子到達(dá)數(shù)目服從泊松分布性質(zhì),用概率論的相關(guān)方法模擬光子到達(dá)的隨機(jī)事件,并采用分段線性函數(shù)擬合脈沖輪廓解決了輪廓函數(shù)積分及其反函數(shù)不易求得的問題。該方法不需要借助其他硬件設(shè)備即可生成模擬的X射線脈沖星信號,成本低、靈活性高,可以作為X射線脈沖星導(dǎo)航實驗的信號源。通過擬合優(yōu)度檢驗驗證,本算法重構(gòu)的脈沖星信號服從泊松分布,符合脈沖星信號特征。

    圖4 累積脈沖輪廓與標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓的比較Fig.4 Comparison of accumulated pulse profile and standard pulse profile

    將提出的新算法與兩種已有的算法比較,結(jié)果顯示新算法在光子數(shù)和脈沖輪廓誤差上都最接近理論值,說明其最接近實際信號。

    通過歷元折疊檢驗新算法表明其有效可行。將三種時間長度的模擬信號進(jìn)行歷元折疊,獲得其累積脈沖輪廓,顯示當(dāng)累積時間足夠長時,脈沖輪廓趨近于光子流量函數(shù)(即標(biāo)準(zhǔn)脈沖輪廓)。表明該算法可有效模擬X射線脈沖星信號,為X射線脈沖星導(dǎo)航的研究提供了信號源基礎(chǔ)。

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