變論域模糊自適應(yīng)滑模有限時間收斂制導(dǎo)律*

張 旭，雷虎民，李 炯，翟岱亮

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西西安 710051)

近年來，彈道導(dǎo)彈和臨近空間高超聲速飛行器等高速機(jī)動目標(biāo)威脅的不斷涌現(xiàn)，使導(dǎo)彈不再具有速度、機(jī)動性和敏捷性的優(yōu)勢，傳統(tǒng)的比例制導(dǎo)律、最優(yōu)制導(dǎo)律等已經(jīng)難以適應(yīng)新情況的需求［1-6］。在新的攔截情形下，為使導(dǎo)彈能夠?qū)δ繕?biāo)進(jìn)行直接碰撞殺傷，需研究使導(dǎo)彈-目標(biāo)的視線角速率具有有限時間收斂特性的制導(dǎo)律［7-10］，該特性可使視線角速率在有限時間內(nèi)收斂到以零為中心的鄰域內(nèi)，從而使導(dǎo)彈對目標(biāo)的攔截達(dá)到準(zhǔn)平行接近狀態(tài)，提高制導(dǎo)精度。文獻(xiàn)［10］設(shè)計了一種三維視線角速率有限時間收斂制導(dǎo)律，可保證導(dǎo)彈在末制導(dǎo)結(jié)束之前收斂到零或以零為中心的較小鄰域內(nèi)，并能夠保證其有限時間穩(wěn)定，然而，該制導(dǎo)律應(yīng)用彈目相對信息較多，如果導(dǎo)彈采用僅能獲得彈目視線角速率的紅外導(dǎo)引頭，則難以得到有效應(yīng)用。文獻(xiàn)［11］利用非線性預(yù)測控制理論設(shè)計了一種基于零化視線角速率的預(yù)測制導(dǎo)律，并提出了一種基于時間延遲控制理論的濾波算法，但是該制導(dǎo)律僅能保證視線角速率在攔截末端趨向于零，而不能保證視線角速率有限時間內(nèi)收斂到零。文獻(xiàn)［12］將目標(biāo)的機(jī)動加速度視為外界干擾，將制導(dǎo)系統(tǒng)的模糊控制規(guī)則多個輸入變量轉(zhuǎn)化為滑動曲面一個變量，設(shè)計了攔截機(jī)動目標(biāo)的自適應(yīng)模糊制導(dǎo)律，但是它不能保證視線角速率有限時間收斂。

1 導(dǎo)彈－目標(biāo)空間攔截模型

圖1中，OIXIYIZI為慣性坐標(biāo)系，OLXLYLZL為視線坐標(biāo)系，其三個方向的單位向量用［iL，jL，kL］T表示;VM和VT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度矢量;aM和aT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的加速度矢量;θL和ψL分別為導(dǎo)彈的視線傾角和視線偏角;rM和rT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的位置矢量，r為導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對位置矢量。

圖1 彈目三維相對運(yùn)動學(xué)關(guān)系Fig．1 Three-dimensional relativemotion geometry of interceptor and target

設(shè)Ω為視線坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角速度矢量，則Ω可表示為

根據(jù)彈目相對運(yùn)動學(xué)關(guān)系，可得

設(shè)aT，aM在視線坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸上的分量分別為 aTi，aTj，aTk和 aMi，aMj，aMk，則有:

式(6)即為所導(dǎo)彈與目標(biāo)的三維相對運(yùn)動學(xué)模型。

2 變論域模糊自適應(yīng)滑模有限時間收斂制導(dǎo)律設(shè)計

2．1 三維滑模制導(dǎo)律設(shè)計

令滑模切換函數(shù)為s1=x4，s2=x6，若達(dá)到比較理想的滑動模態(tài)控制，則s1=0，s2=0，即導(dǎo)彈攔截目標(biāo)達(dá)到準(zhǔn)平行接近狀態(tài)，并能夠保證導(dǎo)彈準(zhǔn)確命中目標(biāo)。

為設(shè)計三維滑模制導(dǎo)律，構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù):

為保證Lyapunov函數(shù)是漸近穩(wěn)定的，需要滿足以下條件:

將式(6)代入式(8)，可得

由于滑模變結(jié)構(gòu)控制具有對系統(tǒng)不確定性和干擾的魯棒性，因此可將目標(biāo)機(jī)動視為干擾項。根據(jù)式(9)，三維滑模制導(dǎo)律可選擇為

式中，kk，kj為常數(shù)，且

將式(10)代入式(9)，可得

由式(11)可知，所選擇的三維滑模制導(dǎo)律式(10)可以保證式(8)所示的Lyapunov函數(shù)漸近穩(wěn)定。

2．2 模糊自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律設(shè)計

令

則式(10)可表示為

由式(14)和式(15)可知，制導(dǎo)律的第一項主要是抑制視線角速率的轉(zhuǎn)動，而第二項是滑模切換項，通過不連續(xù)切換使系統(tǒng)狀態(tài)達(dá)到并保持在滑模面上。由于在實(shí)際作戰(zhàn)過程中，尤其是在高速目標(biāo)攔截的情況下，導(dǎo)彈往往僅安裝紅外導(dǎo)引頭，致使?fàn)顟B(tài)量f(x4，t)和g(x6，t)無法準(zhǔn)確測出。因此，可以考慮使用高斯型自適應(yīng)模糊邏輯系統(tǒng)所具有的萬能逼近特性，并利用有限時間收斂制導(dǎo)律所具有的有限時間收斂特性等專家知識，構(gòu)造萬能變論域模糊自適應(yīng)逼近系統(tǒng)，對f x4，()t和g(x6，t)進(jìn)行逼近。

假設(shè)x位于某個緊集 Mx，設(shè)和g^是對狀態(tài)量f(x，t)和g(x，t)的模糊逼46近，則狀態(tài)量f(x4，t)和g(x6，t)的最優(yōu)參數(shù)向量可定義如式(6)所示［13］。

式(16)和式(17)中，最優(yōu)參數(shù)向量θ*1和θ*2位于某個凸集內(nèi)，且滿足

式(18)～ (19)中，mθ1和 mθ2為設(shè)計參數(shù)。同時，亦可得到新的滑模制導(dǎo)律表達(dá)形式為

下面，考慮采用模糊邏輯系統(tǒng)所具有的萬能逼近特性對狀態(tài)量f x4，()t和g x6，()t進(jìn)行逼近。

首先，設(shè)計x4和x6與最優(yōu)模糊逼近器和所一一對應(yīng)的IF-THEN形式的模糊規(guī)則為

上述規(guī)則可實(shí)現(xiàn)由輸入x4和x6到和的映射。其中，A1和A2是模糊變量，B1和B2為輸出變量。然后，采用乘積推理機(jī)、單值模糊器和中心平均解模糊器，則其輸出可以表示為

設(shè)計自適應(yīng)律為:

下面，對式(24)和式(25)所描述的自適應(yīng)律的穩(wěn)定性進(jìn)行證明。

證明:

式(26)～(27)中，r1和r2為自適應(yīng)控制律參數(shù)，x'=x1cos x3。

對式(26)和式(27)兩端求導(dǎo)，可得

定義最小逼近誤差

根據(jù)式(6)、式(14)～(15)、式(28)～(31)，可得

因此，根據(jù)式(20)～(25)，所設(shè)計的模糊自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律可表示為

2．3 有限時間收斂模糊控制規(guī)則描述

根據(jù)目前關(guān)于有限時間收斂制導(dǎo)律的研究成果，可以得到有限時間收斂制導(dǎo)律的制導(dǎo)特性和規(guī)律:在末制導(dǎo)初期導(dǎo)彈的需用過載較大，甚至達(dá)到飽和狀態(tài);而在視線角速率達(dá)到有限時間收斂后，導(dǎo)彈需用過載降低到很小的數(shù)值。這種規(guī)律可以使導(dǎo)彈在末制導(dǎo)的開始階段充分利用其過載能力，完成視線角速率的有限時間收斂并達(dá)到準(zhǔn)平行接近的飛行狀態(tài)，而在末制導(dǎo)后期導(dǎo)彈需用過載很小，可以保證導(dǎo)彈在較短的攔截時間內(nèi)以較小的能量消耗完成對目標(biāo)的高精度殺傷。

此外，對狀態(tài)x4和x6分別選擇7個狀態(tài)變量，它們的隸屬度函數(shù)分別為

2．4 基于新型伸縮因子的變論域模糊自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律設(shè)計

常用的變論域模糊控制伸縮因子有比例指數(shù)型伸縮因子和自然指數(shù)型伸縮因子，其通用形式如式(50)、式(51)所示［14-15］。

式(50)～(51)中，-E≤x≤E，0＜τ＜1，k＞0。

然而，比例指數(shù)型伸縮因子的非線性有限，尤其是在輸入誤差很小的情況下，伸縮因子α(x)的變化不夠明顯，此時導(dǎo)彈所采用的制導(dǎo)律便難以給出合適的制導(dǎo)指令來實(shí)現(xiàn)高精度控制;此外，自然指數(shù)型伸縮因子在誤差很大時變化比較劇烈，也會對精確制導(dǎo)構(gòu)成不利影響。因此可以將比例指數(shù)型伸縮因子與自然指數(shù)型伸縮因子結(jié)合起來，構(gòu)造下列類型的輸入伸縮因子

式(52)中，ε1為充分小的正常數(shù)，0＜ε2＜1，k1＞0。

根據(jù)伸縮因子的定義，分別對上述伸縮因子所應(yīng)具有的對偶性、近零性、單調(diào)性、協(xié)調(diào)性和正規(guī)性進(jìn)行證明。

證明:

(1)對偶性。對于?x∈X，可知 α(x)=α(-x);

(3)單調(diào)性。對α(x)求導(dǎo)，可得

(5)協(xié)調(diào)性。由于α(x)是單調(diào)遞增的，且由于ε1是充分小的正數(shù)，故當(dāng)x∈0，[]E時，可知

由于 α(x)具有對偶性，因此，當(dāng) x∈［-E，0］時，同樣滿足x≤α(x)E。

綜上，可知對于?x∈X，可知x≤α(x)E。 □

同理，選擇輸出伸縮因子為

式(53)中，-U≤y≤U，ε3為充分小的正常數(shù)，0＜ε4＜1，k2＞0。

因此，基于新型伸縮因子的變論域模糊自適應(yīng)滑模有限時間制導(dǎo)律為

式(54)～(55)中，

式(54)和式(55)所示的制導(dǎo)律中含有符號函數(shù)，由于導(dǎo)彈控制系統(tǒng)的控制量切換不可能瞬時完成，因此容易造成抖振，為消除抖振，可以對上述制導(dǎo)律的符號函數(shù)進(jìn)行光滑處理，這里用飽和函數(shù)sat(s)代替符號函數(shù)sgn(s)。satΔ(s)的表達(dá)式如式(56)所示。

3 仿真研究

導(dǎo)彈攔截目標(biāo)初始狀態(tài)參數(shù)設(shè)置為:vm=1800m/s，vt=2000m/s，xt0=50km，yt0=1km，zt0=22km，xm0=0km，ym0=0km，zm0=18km，θt0=10°，ψt0=180°，θm0=4 ．57°，ψm0=1．15°?；谛滦蜕炜s因子的變論域模糊自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律參數(shù)取值為:E=0．03，U=900，τ1=0．9，τ2=0．9，ε1=1E-6，ε2=0．1，ε3=1E-5，ε4=0．05，k1=3．512 0，k2=1．709 8。在仿真過程中，導(dǎo)彈的可用過載為20g，目標(biāo)的機(jī)動過載為1～4g?？紤]導(dǎo)彈的自動駕駛儀用二階動態(tài)特性描述:

其中，u為導(dǎo)彈的加速度;根據(jù)導(dǎo)彈的設(shè)計要求和工程實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，選取導(dǎo)彈自動駕駛儀動態(tài)參數(shù)為ξ =0．82，ωn=8．0。

仿真結(jié)果如圖2～圖4，表1～表3所示，其中圖2～圖4是目標(biāo)機(jī)動過載為1g時的導(dǎo)彈和目標(biāo)的制導(dǎo)信息。

由圖2可知，在導(dǎo)彈飛行的前半段，變論域模糊自適應(yīng)滑模有限時間收斂制導(dǎo)律的彈道比比例制導(dǎo)律稍微彎曲一些，而后半段則較為平直一些，其主要原因是變論域模糊自適應(yīng)滑模有限時間收斂制導(dǎo)律在末制導(dǎo)初始段用更大的機(jī)動過載以使導(dǎo)彈-目標(biāo)視線角速率在有限時間內(nèi)收斂到零附近的較小鄰域內(nèi)，因此其彈道在此時顯得更加彎曲一些;一旦視線角速率達(dá)到有限時間收斂，其指令過載便幾乎保持在較小的水平(如圖4所示)。由圖3可知，變論域模糊自適應(yīng)滑模有限時間收斂制導(dǎo)律的視線角速率能夠在有限時間內(nèi)收斂到零附近的鄰域內(nèi)，而比例制導(dǎo)律則沒有此種特性。由圖4可知，變論域模糊自適應(yīng)滑模有限時間收斂制導(dǎo)律的這種特性可以使其在末制導(dǎo)初始階段以最大的機(jī)動能力飛向目標(biāo)，而在導(dǎo)彈-目標(biāo)視線角速率有限時間收斂后，則可以很小的過載飛行，并保證對目標(biāo)的命中精度。

圖2 攔截彈攻擊目標(biāo)曲線Fig．2 Simulation curves of interceptor attacking target

圖3 視線角速率隨時間的變化曲線Fig．3 Charging curves of the line-of-sight rate at different time

圖4 導(dǎo)彈過載隨時間的變化曲線Fig．4 Changing curves of themissile overload at different time

表1 θm0=4．57°，ψm0=1．15°時的制導(dǎo)精度Tab．1 Guidance precision when θm0=4．57°and ψm0=1．15°

表2 θm0=14．57°，ψm0=1．15°時的制導(dǎo)精度Tab．2 Guidance precision when θm0=14．57°and ψm0=1．15°

表3 θm0=4．57°，ψm0=11．91°時的制導(dǎo)精度Tab．3 Guidance precision when θm0=4．57°and ψm0=11．15°

由表1～表3可知，在不同的導(dǎo)彈初始彈道傾角和彈道偏角及不同的目標(biāo)機(jī)動過載情況下，比例制導(dǎo)律在目標(biāo)機(jī)動過載為4g時出現(xiàn)了脫靶，但是變論域模糊自適應(yīng)滑模有限時間收斂制導(dǎo)律始終能夠精確命中目標(biāo)，且比比例制導(dǎo)律具有更小的脫靶量和更短的攔截時間。同時，由表1和表2可知，在導(dǎo)彈初始彈道偏角不變的情況下，當(dāng)初始彈道傾角變大時，導(dǎo)彈攔截目標(biāo)的時間整體上變短，脫靶量變小;由表2和表3可知，在導(dǎo)彈初始彈道傾角不變的情況下，當(dāng)初始彈道偏角變大時，導(dǎo)彈攔截目標(biāo)的時間整體上變長，脫靶量變大。

4 結(jié)論

本文利用有限時間收斂制導(dǎo)律設(shè)計的專家經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)造了模糊控制規(guī)則，并運(yùn)用模糊控制的萬能逼近特性，對所設(shè)計的三維滑模制導(dǎo)律的非切換項進(jìn)行逼近，設(shè)計了模糊自適應(yīng)滑模有限時間收斂制導(dǎo)律;同時，為增加小論域情況下的控制規(guī)則、提高制導(dǎo)精度，設(shè)計了新型變論域伸縮因子，并將變論域模糊控制引入制導(dǎo)律設(shè)計當(dāng)中，最終設(shè)計了變論域模糊自適應(yīng)滑模有限時間收斂制導(dǎo)律。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計的制導(dǎo)律能夠準(zhǔn)確命中目標(biāo)，并能夠達(dá)到視線角速率有限時間收斂，且與比例制導(dǎo)律相比，具有更高的制導(dǎo)精度和更少的攔截時間。

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