基于三角網(wǎng)格模型的復(fù)雜曲面測(cè)點(diǎn)規(guī)劃

陳岳坪，靳龍，盧海燕，陳藝

(1.廣西科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，廣西柳州545006;2.柳州市產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)所，廣西柳州 545001)

0 前言

隨著航空、航天、汽車(chē)、模具等現(xiàn)代工業(yè)的飛速發(fā)展，越來(lái)越多的零件采用復(fù)雜曲面的形式［1］。對(duì)復(fù)雜曲面零件的檢測(cè)是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜曲面零件設(shè)計(jì)制造與形狀檢測(cè)的關(guān)鍵步驟之一。評(píng)價(jià)一種曲面測(cè)量方法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，主要看該方法能否適應(yīng)曲面特征而進(jìn)行高效高精度的測(cè)量［2］。檢測(cè)系統(tǒng)中測(cè)點(diǎn)的數(shù)目和布局是否合理，將直接影響系統(tǒng)的測(cè)量精度和測(cè)量效率。

三角網(wǎng)格模型是由三角面片組成的分片線性曲面模型，通常用STL(Stereo Lithographic)文件格式進(jìn)行實(shí)體表面數(shù)據(jù)的描述，己成為CAD/CAM系統(tǒng)的一類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)接口文件格式，大多數(shù)商用CAD/CAM系統(tǒng)都具備其幾何模型的STL文件輸出。本文作者將基于曲面零件的三角網(wǎng)格模型 (STL文件格式)研究檢測(cè)過(guò)程中的測(cè)點(diǎn)規(guī)劃方法。

1 曲面測(cè)量的截面線生成

1.1 基于截面線法的測(cè)量原理

曲面測(cè)量實(shí)現(xiàn)的要求是可行、安全、高效，同時(shí)也要盡量使測(cè)點(diǎn)分布的疏密與曲面的曲率變化相適應(yīng)，并使測(cè)量結(jié)果便于后續(xù)的曲面加工精度評(píng)價(jià)。曲面測(cè)量方法可以采用基于“曲面－曲線－點(diǎn)集－測(cè)量點(diǎn)集”的遞歸分解策略一行一行地測(cè)量，即截面線法。截面線法［3］是指用一組平行平面與被測(cè)曲面相交，沿截交線對(duì)曲面進(jìn)行測(cè)量。測(cè)量原理如圖1所示。這些平行平面 (截面)與CAD模型相交，可以得到一系列的交線;然后在這些交線上按照一定的規(guī)則取點(diǎn)即可以作為測(cè)點(diǎn)，如圖2所示。

圖1 截面線法測(cè)量原理

圖2 在截面線上取點(diǎn)

1.2 網(wǎng)格模型的截面線生成

基于STL三角網(wǎng)格模型的截面線法實(shí)現(xiàn)過(guò)程是，首先給定平行截面族的空間方位，確定與目標(biāo)平面相交的一個(gè)初始三角網(wǎng)格，并利用三角形面片的拓?fù)潢P(guān)系，快速找出與其相交的所有網(wǎng)格的集合;然后通過(guò)線面截交計(jì)算得到觸測(cè)點(diǎn)。最后，通過(guò)曲線反求方法得到插值曲線，最終計(jì)算出全部觸測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)。

文中提出截面線法的具體實(shí)現(xiàn)方法是中點(diǎn)偏移拋物線法。中點(diǎn)偏移拋物線法是根據(jù)網(wǎng)格頂點(diǎn)的插值邊界曲線與檢測(cè)截面的交點(diǎn)計(jì)算精確的觸測(cè)點(diǎn)。

2 基于中點(diǎn)偏移拋物線法的觸測(cè)點(diǎn)生成

三角網(wǎng)格曲面是對(duì)原始模型的線性逼近，三角網(wǎng)格的邊線也只是逼近原始CAD模型，文中提出的中點(diǎn)偏移拋物線法原理如圖3所示。截平面M與三角網(wǎng)格模型相交，截平面不是采用與三角網(wǎng)格模型的邊線相交，而是在邊線的兩個(gè)端點(diǎn)間構(gòu)造一段拋物線(二次貝塞爾曲線)，該拋物線可進(jìn)一步逼近原始CAD模型，交點(diǎn)由拋物線與截平面相交產(chǎn)生。如圖3所示，采用截平面與拋物線線相交，分別得到3個(gè)交點(diǎn)P0、P1和P2。這3個(gè)交點(diǎn)可以近似認(rèn)為就是理想CAD模型上的點(diǎn)。然后對(duì)這些交點(diǎn)按照一定的順序(如按y坐標(biāo))進(jìn)行排序，可得到一系列的坐標(biāo)點(diǎn)，后續(xù)把這些坐標(biāo)點(diǎn)作為型值點(diǎn)，采用曲線反求方法得到插值曲線，從而最終計(jì)算出全部觸測(cè)點(diǎn)。

圖3 中點(diǎn)偏移拋物線法原理

(1)構(gòu)造拋物線。中點(diǎn)偏移拋物線法的關(guān)鍵是構(gòu)造若干段拋物線逼近原始CAD曲面模型。如圖4所示，設(shè)V0V1為與檢測(cè)截面相交的網(wǎng)格邊，求出V0V1的中點(diǎn)Vm的偏移點(diǎn)V，以V0、V1和V為控制點(diǎn)，采用下式所表示的拋物線方程逼近網(wǎng)格邊V0V1。通過(guò)迭代計(jì)算網(wǎng)格邊界曲線與檢測(cè)截面的交點(diǎn)獲取檢測(cè)接觸點(diǎn)。

圖4 拋物線的構(gòu)造

V點(diǎn)的確定方法說(shuō)明如下:設(shè)頂點(diǎn)法矢n0和n1與向量V0V1的方向夾角分別為θ0和θ1。如圖5所示，當(dāng)θ0=θ1時(shí)，可以認(rèn)為V就在V0V1連線的中點(diǎn)Vm上。如圖6所示，當(dāng)θ0＞θ1時(shí)，可以認(rèn)為連接V0V1的這段曲線是外凸的，V是以V0V1連線的中點(diǎn)Vm為基礎(chǔ)，偏移了一個(gè)距離，其大小為:

圖5 中點(diǎn)偏置方法 (當(dāng)θ0=θ1時(shí))

圖6 中點(diǎn)偏置方法 (當(dāng)θ0＞θ1時(shí))

偏移的方向矢量為:

偏移的單位方向矢量為:

故V點(diǎn)的坐標(biāo)為

其中

當(dāng)θ0＜θ1時(shí)，可以認(rèn)為連接V0V1的這段曲線是內(nèi)凸的，上面的V點(diǎn)計(jì)算公式仍然適用。

(2)求截平面與拋物線的交點(diǎn)。如圖3所示，實(shí)際的觸測(cè)點(diǎn)不是目標(biāo)平面與網(wǎng)格邊界的交點(diǎn)，而是與網(wǎng)格邊界插值曲線 (拋物線)的交點(diǎn)。這些邊界曲線采用中點(diǎn)偏移拋物線方式給出。然后采用數(shù)值分析中的二分法，根據(jù)邊界曲線和截平面方程求出曲線與平面間的交點(diǎn)，這樣就得到了精確的觸測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算交點(diǎn)的過(guò)程說(shuō)明如下。

設(shè)截平面方程為:cx+λy+qz+g=0，同時(shí)定義符號(hào)函數(shù)為:

其中:c，λ，q，g為平面方程系數(shù)。

二分法的基本思想是，將與截平面相交的網(wǎng)格邊界的兩端點(diǎn)作為含有交點(diǎn)的區(qū)間，將此區(qū)間二分，通過(guò)判斷符號(hào)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)一步探索有根區(qū)間，將有根區(qū)間縮小到充分小，當(dāng)該區(qū)間達(dá)到規(guī)定長(zhǎng)度時(shí)，求得交點(diǎn)的參數(shù)值tc，便得到了交點(diǎn)即實(shí)際觸測(cè)點(diǎn)Pc的坐標(biāo)

為了驗(yàn)證上述中點(diǎn)偏移拋物線法的有效性，圖7給出了某三角網(wǎng)格曲面的觸測(cè)點(diǎn)生成效果。用某一截面與該三角網(wǎng)格相交，在曲面上共生成了70個(gè)觸測(cè)點(diǎn)。

圖7 基于三角網(wǎng)格的觸測(cè)點(diǎn)生成實(shí)例

3 基于觸測(cè)點(diǎn)反求插值法的截面線生成

通過(guò)線面求交求出一系列的觸測(cè)點(diǎn)之后，還要對(duì)這些觸測(cè)點(diǎn)按照一定的順序進(jìn)行排序。為了進(jìn)行后續(xù)測(cè)點(diǎn)的自適應(yīng)規(guī)劃，還要對(duì)這些排序后的觸測(cè)點(diǎn)進(jìn)行反求插值，目的是得到通過(guò)這些測(cè)點(diǎn)的截面線的參數(shù)表達(dá)式。文中采用曲線擬合法中的B樣條曲線來(lái)擬合這些離散測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)，這種曲線有很多優(yōu)點(diǎn)，如［4］:局部支撐性、凸組合性質(zhì)、擬合曲線的線性變換條件下的幾何不變性、節(jié)點(diǎn)處良好的連續(xù)性等。

B樣條曲線反求可以采用兩種方法［5－6］:均勻B樣條曲線和非均勻B樣條曲線。均勻B樣條曲線的節(jié)點(diǎn)矢量中節(jié)點(diǎn)為沿參數(shù)軸均勻分布或等距分布;而非均勻B樣條曲線的節(jié)點(diǎn)矢量中節(jié)點(diǎn)沿參數(shù)軸一般不是均勻分布或等距分布。

由于用平行截面對(duì)三角網(wǎng)格模型進(jìn)行線面截交得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)，往往分布不均勻，如果用均勻B樣條控制點(diǎn)反求方法反求控制點(diǎn)，將無(wú)法得到理想的結(jié)果，所以針對(duì)非均勻數(shù)據(jù)點(diǎn)，采用累加弦長(zhǎng)參數(shù)化法來(lái)構(gòu)造非均勻節(jié)點(diǎn)矢量。這種參數(shù)化方法如實(shí)反應(yīng)了數(shù)據(jù)點(diǎn)按弦長(zhǎng)分布的情況，克服了數(shù)據(jù)點(diǎn)在分布不均勻的情況下，采用均勻參數(shù)化所出現(xiàn)的問(wèn)題。

4 基于截面線曲率變化的測(cè)點(diǎn)自適應(yīng)規(guī)劃

檢測(cè)點(diǎn)數(shù)量和分布的確定是緊密聯(lián)系在一起的，復(fù)雜曲面的測(cè)點(diǎn)數(shù)可以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定。為了方便測(cè)量，更好的完成測(cè)點(diǎn)數(shù)的確定過(guò)程，可以通過(guò)輸入法確定測(cè)量點(diǎn)數(shù)，該輸入值作為測(cè)點(diǎn)自適應(yīng)分布的保留點(diǎn)數(shù)。對(duì)于已知解析式的曲線、曲面，采用弦高法來(lái)實(shí)現(xiàn)測(cè)點(diǎn)自適應(yīng)分布。

如圖8所示，曲面上有兩點(diǎn)A、B，若這兩點(diǎn)的曲率大，則兩點(diǎn)之間的弦高數(shù)值也大;若這兩點(diǎn)的曲率小，則兩點(diǎn)之間的弦高數(shù)值也小。因此可以用弦高來(lái)度量?jī)牲c(diǎn)之間的曲率，實(shí)現(xiàn)測(cè)點(diǎn)的自適應(yīng)分布。方法如下:給定點(diǎn)A(u，v)，B(u+Δu，v)，求弧長(zhǎng)與弦AB的最大距離 (弦高)d。

圖8 弦高法

(1)若d＞ε，則縮小A、B之間的距離，取ub=ub－δ，又重新計(jì)算d。其中ε為允許的弦高，δ為預(yù)先指定的任意小量。不斷進(jìn)行上述計(jì)算，直到d＜ε的條件滿足，則可把B點(diǎn)計(jì)入測(cè)點(diǎn)集并將其作為當(dāng)前點(diǎn)，在整條曲線上重復(fù)上述過(guò)程，這樣就可以實(shí)現(xiàn)當(dāng)前曲線的測(cè)點(diǎn)自適應(yīng)分布。

(2)用上述類(lèi)似的方法求出測(cè)點(diǎn)沿v向的最小進(jìn)給步長(zhǎng)，以此確定下一曲線的位置，然后按照上述的方法進(jìn)行該曲線的測(cè)點(diǎn)自適應(yīng)規(guī)劃;在整個(gè)曲面上重復(fù)上述過(guò)程，這樣就可以實(shí)現(xiàn)整個(gè)曲面上的測(cè)點(diǎn)自適應(yīng)分布。

5 測(cè)點(diǎn)規(guī)劃的實(shí)現(xiàn)步驟與實(shí)例驗(yàn)證

圖9給出了復(fù)雜曲面測(cè)點(diǎn)規(guī)劃布局的詳細(xì)步驟。為了驗(yàn)證所提出的測(cè)點(diǎn)規(guī)劃方法，以Visual C++6.0為開(kāi)發(fā)工具，采用典型解析曲面的離散網(wǎng)格進(jìn)行了測(cè)點(diǎn)生成的仿真實(shí)驗(yàn)。為了便于比較，對(duì)同一個(gè)復(fù)雜曲面 (形狀如圖10所示)，分別在UG軟件中生成3種不同精度的STL網(wǎng)格模型，這3種精度分別為0.08、0.04和0.02 mm。

圖9 測(cè)點(diǎn)規(guī)劃流程圖

圖10 原始CAD模型曲面

用若干個(gè)等間距的平行截面截交三角網(wǎng)格模型，即可得到一系列的線面相交的測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)，圖11給出了對(duì)網(wǎng)格精度為0.08 mm三角網(wǎng)格曲面，采用20個(gè)平行截面截交該模型得到的測(cè)點(diǎn)情況。對(duì)這些測(cè)點(diǎn)采用非均勻B樣條曲線進(jìn)行反求，得到一系列的反求插值曲線，如圖12所示為網(wǎng)格精度為0.08 mm的反求插值曲線。

圖11 線面相交后的測(cè)點(diǎn)

圖12 對(duì)交點(diǎn)進(jìn)行曲線反求后的插值曲線

接著，按照弦高法進(jìn)行測(cè)點(diǎn)規(guī)劃，結(jié)果如圖13所示。從圖13可以看出，曲率變化大的位置測(cè)點(diǎn)分布比較密集，曲率變化小的位置測(cè)點(diǎn)分布比較稀疏。同時(shí)也可以看出，測(cè)點(diǎn)的分布密度與網(wǎng)格的分布密度是相關(guān)的，即曲率變化大的位置網(wǎng)格分布比較密集，曲率變化小的位置網(wǎng)格分布比較稀疏，實(shí)際上這是符合三角網(wǎng)格的生成原則的。因而，弦高法可以實(shí)現(xiàn)針對(duì)三角網(wǎng)格模型曲面的截面曲線上測(cè)點(diǎn)的自適應(yīng)分布。

圖13 網(wǎng)格精度0.08 mm的測(cè)點(diǎn)規(guī)劃

生成自適應(yīng)分布的測(cè)點(diǎn)后，須對(duì)曲面的測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)做誤差分析。測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)誤差用所求測(cè)點(diǎn)到理論曲面的距離來(lái)表示。經(jīng)計(jì)算后，精度分別為0.08、0.04和0.02 mm的網(wǎng)格模型，測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)誤差如表1所示。

表1 生成測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)誤差

從表1可以看出:當(dāng)三角網(wǎng)格精度為分別為0.08、0.04和0.02 mm時(shí)，則相應(yīng)的測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)誤差的平均值分別為0.003 0、0.001 7和0.000 9 mm。本文提出的中點(diǎn)偏移拋物線法，能有效計(jì)算測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo);并且測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算精度與三角網(wǎng)格本身的精度密切相關(guān)，三角網(wǎng)格本身的精度越高，則測(cè)點(diǎn)的計(jì)算精度越高，因此盡可能采用精度高的三角網(wǎng)格模型，但這將使計(jì)算效率降低。

6 結(jié)論

基于三角網(wǎng)格文件格式的曲面零件模型，探討了測(cè)量點(diǎn)分布與測(cè)量效率的關(guān)系;根據(jù)零件三角網(wǎng)格模型的幾何特性，對(duì)基于截面線法的測(cè)點(diǎn)生成技術(shù)，提出采用中點(diǎn)偏移拋物線法的具體實(shí)現(xiàn)方法，逼近原始CAD曲面;在對(duì)測(cè)點(diǎn)規(guī)劃方法進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，提出基于截面線弦高法的按曲率分布測(cè)點(diǎn)算法，可有效實(shí)現(xiàn)檢測(cè)系統(tǒng)測(cè)量點(diǎn)的合理分布。

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