分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的修正投影同步

孫振武

(上海電機(jī)學(xué)院 數(shù)理教學(xué)部, 上海 201306)

?

分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的修正投影同步

孫振武

(上海電機(jī)學(xué)院 數(shù)理教學(xué)部, 上海 201306)

摘要：介紹了分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的微分變換數(shù)值解法；根據(jù)修正投影同步的原理以及分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制器；利用設(shè)計(jì)的控制器，實(shí)現(xiàn)了2個(gè)不同階超混沌系統(tǒng)之間的同步；用微分變換法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值仿真，仿真結(jié)果顯示兩系統(tǒng)已實(shí)現(xiàn)了投影同步，驗(yàn)證了理論結(jié)果的有效性。

關(guān)鍵詞：修正投影同步; 分?jǐn)?shù)階混沌; 微分變換法

由于混沌具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)，多年來一直是電子工程、信息處理和保密通信等多個(gè)領(lǐng)域的交叉研究熱點(diǎn)之一。20世紀(jì)90年代，Pecora等[1]首次實(shí)現(xiàn)了混沌的同步，打破了混沌不可控的傳統(tǒng)觀念，此后混沌同步問題得到了深入研究，取得了一系列成果。到目前為止，人們已經(jīng)提出了多種混沌同步方案，如反同步[2]、廣義同步[3]、相同步[4]等。其中，投影同步指驅(qū)動(dòng)與響應(yīng)混沌系統(tǒng)軌道的振幅成某種比例關(guān)系[5]。如果兩者振幅的縮放比例因子為1，則為完全同步；若為-1，則為反同步。修正投影同步方法是讓驅(qū)動(dòng)與響應(yīng)混沌系統(tǒng)軌道的振幅保持為某一常數(shù)比例矩陣[6]。在混沌保密通信中，這種同步方法可以把數(shù)的二進(jìn)制擴(kuò)展到M進(jìn)制，從而實(shí)現(xiàn)快速數(shù)字通信。

近年來，人們已將對(duì)混沌的研究延伸至對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌的研究[7-9]。分?jǐn)?shù)階混沌不但秉承了整數(shù)階混沌的幾乎所有特點(diǎn)，再加上其具有歷史記憶效果、動(dòng)力學(xué)過程與系統(tǒng)階次密切相關(guān)等特性，因此，它往往比整數(shù)階混沌具有更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)屬性，將其應(yīng)用于保密通信中具有更高的安全性，在圖像處理、信息加密等領(lǐng)域具有更廣闊的應(yīng)用前景。眾所周知，分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的精確解是很難得到的，因此人們主要通過Adomian分解法[10]、Laplace分解法[11]、Adams-Bashforth-Moulton預(yù)報(bào)——校正法[12]、Homotopy分析法[13]等數(shù)值分析方法來對(duì)該類系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。20世紀(jì)80年代，趙家奎[14]提出了對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行數(shù)值分析的一種新方法——微分變換法，雖然它也是通過迭代的方法來求解的，但與傳統(tǒng)的泰勒級(jí)數(shù)方法不同，它不需要求系統(tǒng)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)，故需要的計(jì)算量被大大縮小，有效地提高了計(jì)算效率。本文根據(jù)分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性和混沌同步理論，研究?jī)蓚€(gè)具有不同分?jǐn)?shù)階的超混沌系統(tǒng)的修正投影同步，并采用微分變換法對(duì)設(shè)計(jì)的同步方案進(jìn)行數(shù)值模擬仿真，以檢驗(yàn)理論結(jié)果的正確性。

1分?jǐn)?shù)微分變換法

考慮具有整數(shù)階初值條件、Caputo含義下的分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)

Dα(fi(t))=Ni[f(t)],fi(t0)=bi

(1)

式中，Ni[f(t)]為系統(tǒng)的線性和非線性部分，i=1,2,…,n；f(t)=(f1(t),f2(t),…,fn(t))；Dα(fi(t))為Caputo分?jǐn)?shù)階微分算子，0<α≤1；t0為初始時(shí)刻；bi為fi(t)的初始值。人們常將式(1)寫成矢量形式

Dα(f(t))=N[f(t)],f(t0)=b

(2)

式中，b=(b1,b2,…,bn)。

文獻(xiàn)[14]中指出，

(3)

式中，F(xiàn)(k)為f(t)的分?jǐn)?shù)階微分變換，

(4)

而

(5)

實(shí)際運(yùn)算中，系統(tǒng)(1)的數(shù)值解常被約等于有限數(shù)列的和，即

(6)

部分分?jǐn)?shù)階微分變換如表1所示[15-16]。

表1　分?jǐn)?shù)階微分變換

根據(jù)表1中第4條的變換，可得到循環(huán)等式

F(k)=

(7)

式中，R為對(duì)式(2)中N[f(t)]實(shí)施分?jǐn)?shù)階微分變換后得到的非線性算子。式(7)的解即是式(6)中的系數(shù)。實(shí)際計(jì)算中，先根據(jù)微分變換得到式(7)的解F(k)，然后代入式(6)中，即得到系統(tǒng)(1)的解。

對(duì)于微分變換法而言，計(jì)算區(qū)間t-t0越小，其解越精確。為此，常把實(shí)際計(jì)算區(qū)間[0,T]分割成M個(gè)小區(qū)間[tm-1,tm],m=1,2,…,M，每個(gè)小區(qū)間的寬度h=T/M。根據(jù)上述方法，對(duì)每個(gè)小區(qū)間[tm-1,tm]分別求解，即可得到每個(gè)小區(qū)間對(duì)應(yīng)的解

(8)

每一個(gè)小區(qū)間的初值條件可從前一個(gè)小區(qū)間的解中得到。

2分?jǐn)?shù)階混沌的修正投影同步

假設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為

Dαx=f(x)

(9)

響應(yīng)系統(tǒng)為

Dβy=g(y)+U(x,y)

(10)

式中，x,y∈Rn分別為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的n維態(tài)矢量；x=(x1,x2，x3，x4);y=(y1,y2,y3,y4)；f,g： Rn→Rn是連續(xù)的非線性矢量函數(shù)，α、β為兩個(gè)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階；U(x,y)為本文設(shè)計(jì)的同步控制器。

定義1對(duì)于式(9)和(10)，若存在一個(gè)矩陣γ=diag(γ1,γ2,…,γn)，對(duì)任意的初始條件x(0)和y(0)，使得

(11)

則兩系統(tǒng)就達(dá)到了修正投影同步。式中，γ為比例矩陣；e=(e1(t),e2(t),…,en(t))T為同步誤差；||·||為向量的范數(shù)。

(12)

則該系統(tǒng)在該平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定。

為實(shí)現(xiàn)式(9)和(10)之間同步，把兩系統(tǒng)分解為

Dαx=Ax+W(x)

(13)

Dαy=By+G(y)+U(x,y)

(14)

式中，A、B∈Rn×n分別為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)線性部分的參數(shù)矩陣；W,G： Rn→Rn分別為兩系統(tǒng)的非線性部分。

把控制器U(x,y)也分成兩部分，即

U(x,y)=U1(x,y)+U2(x,y)

為實(shí)現(xiàn)兩系統(tǒng)之間的修正投影同步，令

(15)

式中，I為單位算子；K∈Rn×n為由常數(shù)組成的控制矩陣。

根據(jù)式(15)，響應(yīng)系統(tǒng)式(14)可轉(zhuǎn)換為

Dαy=D(α-β)[Dβy]=

D(α-β)[g(y)+(D(β-α)-I)g(y)+U2(x,y)]=

g(y)+D(α-β)[U2(x,y)]=

g(y)+γ(A-B)x-G(y)+γW(x)-Ke=

By+γ(A-B)x+γW(x)-Ke

(16)

誤差系統(tǒng)為

Dαe=Dα[y-γx]=

By+γ(A-B)x+γW(x)-Ke-

γ[Ax+W(x)]=(B-K)e

(17)

選擇適當(dāng)?shù)目刂凭仃嘖，使得(B-K)的本征值滿足不等式(12)，這樣，誤差系統(tǒng)式(17)漸近穩(wěn)定，收斂于原點(diǎn)。根據(jù)定義1，式(9)、(10)實(shí)現(xiàn)了修正投影同步。

3兩個(gè)分?jǐn)?shù)階四渦卷超混沌系統(tǒng)之間的修正投影同步

最近Dadras等[18]和Cang等[19]分別發(fā)現(xiàn)了一個(gè)具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的四渦卷超混沌，本文中與其對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階混沌分別是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)?，F(xiàn)根據(jù)上文中提出的分?jǐn)?shù)階混沌修正投影同步方案，實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)不同分?jǐn)?shù)階混沌之間的修正投影同步。

α=0.8,β=0.7,則響應(yīng)系統(tǒng)為

(18)

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為

(19)

式中，u1、u2、u3、u4為要設(shè)計(jì)的控制函數(shù)。

兩系統(tǒng)的同步誤差為

e1=y1-γ1x1,e2=y2-γ2x2，

e3=y3-γ3x3,e4=y4-γ4x4。

e=(e1,e2,e3,e4)T

其中，γi∈R(i=1,2,3,4)為比例因子。選取控制矩陣K為對(duì)角矩陣，K=diag(k1,k2,k3,k4)。根據(jù)設(shè)計(jì)的控制器式(15)，可得：

(20)

選擇控制矩陣為K=diag(5,5,15,5)，則可計(jì)算出誤差系統(tǒng)為

D0.8e=(B-K)e=

(21)

為驗(yàn)證式(20)的有效性，本文利用分?jǐn)?shù)階微分變換方法對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬。其中，比例矩陣選擇γ=diag(-0.5,-0.5,-0.5,-0.5)，步長(zhǎng)為0.001，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)式(18)和響應(yīng)系統(tǒng)式(19)的初始值x(0)、y(0)均選擇為(5,5,5,0.5)。模擬結(jié)果如圖1、2所示。

由圖1可見，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)式(18)和響應(yīng)系統(tǒng)式

圖1　驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(18)和響應(yīng)系統(tǒng)(19)狀態(tài)量之間的修正投影同步Fig.1　Modified projective synchronization between the state vectors of the drive system (18) and the response system (19)

(19)按照投影系數(shù)γ=diag(-0.5，-0.5，-0.5，-0.5)已實(shí)現(xiàn)了同步，同步曲線呈反比例曲線，曲線上的“毛絮”為初始階段造成的。由圖2可見，響應(yīng)系統(tǒng)(19)的吸引子根據(jù)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(18)的吸引子同比例縮小了1/2，這直觀地驗(yàn)證了兩個(gè)分?jǐn)?shù)階混沌確實(shí)實(shí)現(xiàn)了同步。

圖2　驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(18)和響應(yīng)系統(tǒng)(19)的混沌吸引子Fig.2　Chaotic attractors of the drive system (18) and the response system (19)

4結(jié)語

本文利用混沌的修正投影同步的原理以及分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的穩(wěn)定特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了同步控制器，根據(jù)設(shè)計(jì)原理，實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)不同階分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)之間的修正投影同步；利用分?jǐn)?shù)階微分變換方法，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值仿真。仿真結(jié)果顯示，兩個(gè)分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)已實(shí)現(xiàn)投影同步，驗(yàn)證了理論結(jié)果的有效性。

參考文獻(xiàn)：

[1]Pecora L M,Carroll T L.Synchronization in chaotic systems[J].Physical Review Letter,1990,64(8)： 821-824.

[2]Li G H.Synchronization and anti-synchronization of Colpitts oscillators using active control[J].Chaos,Solitons & Fractals,2005,26(1)： 87-93.

[3]Li S Y, Ge Z M.Generalized synchronization of chaotic systems with different orders by fuzzy logic constant controller[J].Expert Systems with Applications,2011,38： 2302-2310.

[4]Santoboni G,Pogromsky A Y,Nijmeijer H.An observer for phase synchronization of chaos[J].Physics Letters.A,2001,291(4)： 265-273.

[5]Wu Xiangjun,Lu Hongtao.Generalized projective synchronization between two different general complex dynamical networks with delayed coupling[J].Physical Letters.A,2008,374(38)： 3932-3941.

[6]Bai Jing,Yu Yongguang,Wang Sha,et al.Modified projective synchronization of uncertain fractional order hyperchaotic systems[J].Communications in Nonlinear Science Numerical Simulation,2012,17： 1921-1928.

[7]Letellier C,Aguirre L A.Dynamical analysis of fractional-order R?ssler and modified Lorenz systems[J].Physics Letters A,2013,377(28/30)： 1707-1719.

[8]Razminia,Torres D F M.Control of a novel chaotic fractional order system using a state feedback technique[J].Mechatronics,2013,23(7)： 755-763.

[9]Zhou Ping,Huang Kun.A new 4-D non-equilibrium fractional-order chaotic system and its circuit implementation[J].Communications in Nonlinear Science Numerical Simulation,2014,19(6)： 2005-2011.

[10]Momani S,Odibat Z.Analytical solution of a time-fractional Navier-Stokes equation by Adomian decomposition method[J].Applied Mathematics Computation,2006,177(2)： 488-494.

[11]Dyke P.An Introduction to Laplace Transforms and Fourier Series[M].[S.L.]: Springer,1999：1-75.

[12]Diethelm K,Ford N J.Multi-order fractional differential equations and their numerical solution[J].Applied Mathematics and Computation,2004,154(3)： 621-640.

[13]He Jihuan.Homotopy perturbation method： A new nonlinear analytical technique[J].Applied Mathematics and Computation,2003,135(1)： 73-79.

[14]趙家奎.微分變換及其在電路中的應(yīng)用[M].武漢： 華中理工大學(xué)出版社,1986： 1-156.

[15]Odibat Z M,Bertelle C,Aziz-Alaoui M A,et al.A multi-step differential transform method and application to non-chaotic or chaotic systems[J].Computers & Mathematics with Applications,2010,59(4)： 1462-1472.

[16]Caponetto R,Fazzino S.A semi-analytical method for the computation of the Lyapunov exponents of fractional-order systems[J].Communications in Nonlinear Science Numerical Simulation,2013,18： 22-27.

[17]Ahmed E,El-Sayed A M A,El-Saka H A A.Equilibrium points,stability and numerical solutions of fractional-order predator-prey and rabies models[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2007,325(1)： 542-553.

[18]Dadras S,Momeni H R.Four-scroll hyperchaos and four-scroll chaos evolved from a novel 4D nonlinear smooth autonomous system[J].Physics Letters A,2010,374(11/12)： 1368-1373.

[19]Cang Shijian,Qi Guoyuan,Chen Zengqiang.A four-wing hyper-chaotic attractor and transient chaos generated from a new 4-D quadratic autonomous system[J].Nonlinear Dynamics,2010,59(3)： 515-527.

Modified Projective Synchronization of Fractional-Order Chaotic Systems

SUNZhenwu

(Department of Mathematics and Physics Education, Shanghai Dianji University,

Shanghai 201306, China)

Abstract：Fractional differential transform method is introduced. Based on the principle of modified projective synchronization and the stable property of fractional system, a synchronization control is proposed. Synchronization of two non-identical fractional-order hyper-chaotic systems is realized by the control. The synchronization is simulated with differential transform methods. The results show that projective synchronization between the systems is indeed realized, showing effectiveness of the theoretical results.

Key words：modified projective synchronization; fractional-order chaos; differential transform method

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

中圖分類號(hào)：TP 391

文章編號(hào)2095 - 0020(2015)06 -0325 - 06

作者簡(jiǎn)介：孫振武(1967 -)，男，教授，博士，主要研究方向?yàn)榉蔷€性科學(xué)與復(fù)雜系統(tǒng)，E-mail： sunzw@sdju.edu.cn

收稿日期：2015 - 06 - 29