Weibull分布競爭失效產(chǎn)品簡單步加試驗的優(yōu)化設(shè)計*

陳漠，師義民

（西北工業(yè)大學(xué)，西安710129）

Weibull分布競爭失效產(chǎn)品簡單步加試驗的優(yōu)化設(shè)計*

陳漠，師義民

（西北工業(yè)大學(xué)，西安710129）

在逐步Type-Ⅰ混合截尾場合下，研究競爭失效產(chǎn)品簡單步進應(yīng)力加速壽命試驗的優(yōu)化設(shè)計。假定產(chǎn)品壽命服從雙參數(shù)Weibull分布，在形狀參數(shù)和尺度參數(shù)都未知的情形下，得到相應(yīng)的Fisher信息矩陣，以極大似然漸近方差最小為準(zhǔn)則結(jié)合Fisher信息矩陣，給出了步進應(yīng)力加速壽命試驗的最優(yōu)應(yīng)力轉(zhuǎn)換時間。最后利用Monte-Carlo方法進行數(shù)值模擬，并對模擬結(jié)果進行了分析。

競爭失效，步加試驗，混合截尾，Weibull分布，優(yōu)化設(shè)計

0 引言

在可靠性試驗中，人們通常采用截尾壽命試驗的方法。常見的截尾試驗（例如定時（Type-Ⅰ）截尾和定數(shù)（Type-Ⅱ）截尾）其試驗的截止時間和失效個數(shù)都是預(yù)先設(shè)定的。然而對于一種新型產(chǎn)品，在不清楚其確切壽命的情況下，如果在壽命試驗中采用定時截尾，可能無法獲得足夠多的失效數(shù)據(jù)；如果采用定數(shù)截尾，試驗總時間可能很長。逐步混合截尾是在逐步截尾的基礎(chǔ)上，將定時和定數(shù)截尾相結(jié)合的截尾方式，它能夠有效節(jié)約試驗時間和成本，因此，受到了廣泛關(guān)注。文獻［1］在逐步Type-Ⅰ混合截尾模型下，研究了兩參數(shù)指數(shù)分布統(tǒng)計分析，得到了參數(shù)極大似然估計的確切分布。文獻［2］研究了逐步Type-Ⅰ混合截尾步進應(yīng)力加速壽命試驗（步加試驗）指數(shù)分布模型參數(shù)的點估計和區(qū)間估計。文獻［3-4］基于Type-Ⅱ混合截尾數(shù)據(jù)，分別推導(dǎo)出Burr-XⅡ分布和Weibull分布參數(shù)的極大似然估計（MLE）、Bayes估計和區(qū)間估計。

然而，上述研究均假設(shè)受試產(chǎn)品僅有一個失效機理。但在工程實際中，某些大型產(chǎn)品，由于其內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其外界工作環(huán)境的復(fù)雜性，引起產(chǎn)品失效的失效機理往往有多種。文獻［5-6］分別在多個失效機理的情形下，研究了指數(shù)分布產(chǎn)品簡單步加試驗的優(yōu)化設(shè)計和統(tǒng)計推斷問題，文獻［7］在競爭失效場合下研究了對數(shù)正態(tài)分布產(chǎn)品恒定應(yīng)力加速壽命試驗的優(yōu)化方案。

在可靠性研究中，Weibull分布是一種重要的壽命分布，且有很多實用價值。與指數(shù)分布相比，該分布具有更大的靈活性，因此，對于Weibull分布產(chǎn)品加速壽命試驗的研究顯得尤為重要。本文在逐步Type-Ⅰ混合截尾模型下研究Weibull分布競爭失效產(chǎn)品步加壽命試驗的優(yōu)化設(shè)計。當(dāng)壽命分布的形狀參數(shù)m和尺度參數(shù)θ均未知時，推導(dǎo)出Fisher信息矩陣的具體形式，進而利用漸近方差最小準(zhǔn)則獲得簡單步進應(yīng)力加速壽命試驗中的最優(yōu)應(yīng)力轉(zhuǎn)換時間。式中τ表示應(yīng)力轉(zhuǎn)換時間。

1 基本假定

假設(shè)產(chǎn)品的失效機理有2個，Weibull分布場合步加壽命試驗的優(yōu)化設(shè)計基于以下幾個假設(shè)：

（1）產(chǎn)品的失效由且僅由2個失效機理之一引起，并且這2個失效機理的發(fā)生時間是統(tǒng)計獨立的。

（2）產(chǎn)品的失效時間t是2個失效機理的最小發(fā)生時間，即

其中tk表示第k個失效機理的發(fā)生時間，k=1，2。

（3）在正常應(yīng)力水平s0和加速應(yīng)力水平s1＜s2下各失效機理的發(fā)生時間都服從Weibull分布。在應(yīng)力水平si下第k個失效機理的發(fā)生時間xik的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為（KH-M模型）：

（4）θik與si之間的加速方程為［8］：

式中φi（s）為s的已知函數(shù)。

2 模型描述和極大似然估計（MLE）

取n個產(chǎn)品進行步進應(yīng)力加速壽命試驗，先在應(yīng)力水平s1下進行試驗，當(dāng)有n1個產(chǎn)品失效時，立即將應(yīng)力提高至s2并在未失效的產(chǎn)品中隨機選取b個移離試驗，試驗繼續(xù)進行，直到第r個產(chǎn)品失效或時間到達(dá)T時停止試驗。試驗過程中，沒有新的產(chǎn)品加入。試驗截止時間T*=min（T，tr）。假設(shè)在應(yīng)力si下有ni個產(chǎn)品失效（i=1，2）。本文只考慮ni≠0的情形（若對于某個ni=0，則表示應(yīng)力si下無產(chǎn)品失效，將無法進行θik的統(tǒng)計分析，進而尋找最優(yōu)應(yīng)力轉(zhuǎn)換時間也將變得無意義）。

試驗過程中，產(chǎn)品的失效時刻和失效機理被連續(xù)觀察，則產(chǎn)品的失效數(shù)據(jù)為

3.2 內(nèi)在品質(zhì)指標(biāo) 臨沭地瓜富含多種營養(yǎng)成分，蛋白質(zhì)1.5%～2.0%、淀粉20.0%～25.5%、總糖5.0%～7.0%、硒2.5～4.5 μg/kg。

其中tij表示在應(yīng)力水平si下第j個失效數(shù)的失效時刻；cij（i=1，2；j=1，2，…，ni）表示在應(yīng)力水平si下，引起第j個樣品失效的原因編號（cij=1，2）。

在此模型下，由文獻［9］得到式（4）在應(yīng)力s1下的似然函數(shù)的核為：

式（4）在應(yīng)力s2下的似然函數(shù)的核為：

總體似然函數(shù)為：

用極大似然法求解未知參數(shù)αk，βk，m，由于只能得到參數(shù)的非線似然方程，因此，無法求得精確解，故利用Newton-Raphson迭代法求參數(shù)的數(shù)值解，記求得的參數(shù)估計值為αk，βk，m。

3 Fisher信息矩陣

Fisher信息矩陣在試驗優(yōu)化的過程中起著至關(guān)重要的作用，它是利用似然函數(shù)對未知參數(shù)αk，βk以及m求二階混合偏導(dǎo)得到。即：

Fk（k=1，2）表示第i個失效機理的Fisher信息矩陣。

4 優(yōu)化準(zhǔn)則

在壽命試驗的優(yōu)化設(shè)計中，經(jīng)常要用到一些優(yōu)化準(zhǔn)則，例如漸近方差最小準(zhǔn)則、E最優(yōu)準(zhǔn)則、D最優(yōu)準(zhǔn)則等。本文使用漸近方差最小準(zhǔn)則得到最優(yōu)應(yīng)力轉(zhuǎn)換時間τ。漸近方差最小準(zhǔn)則是通過將正常應(yīng)力下，對數(shù)平均壽命或某一分位壽命極大似然估計的漸近方差函數(shù)最小化，從而得到最優(yōu)應(yīng)力轉(zhuǎn)換時間。由于平均壽命與可靠度壽命有如下關(guān)系：

因此，也可以通過求得可靠度函數(shù)的漸近方差，利用漸近方差最小準(zhǔn)則得到最優(yōu)應(yīng)力轉(zhuǎn)換時間。假設(shè)可靠度函數(shù)是來自Weibull分布，它在正常應(yīng)力下處于某一固定時間ζ處的MLE為：

故可靠度函數(shù)在正常應(yīng)力下處于時間ζ處的漸近方差為：

將式（19）代入式（18）中，得到關(guān)于應(yīng)力轉(zhuǎn)換時間τ的函數(shù)，求其最小值即得到最優(yōu)的τ值。

5 隨機模擬

以溫度作為應(yīng)力，s0=290，s1=305，s2=330，則應(yīng)力的函數(shù)φ（s）=1/S。設(shè)參數(shù)真值分別為α1=2，β1=610，α2=-1.5，β2=1 680，m=0.9得到兩個應(yīng)力下各失效機理的壽命為θ11=54.598 1，θ12=55.047 5，θ21=46.921 9，θ22=36.267 0，各應(yīng)力下樣品壽命為θ1·=27.410 9，θ2·=20.456 0。利用Newton-Raphson迭代法得到各參數(shù)的估計值為。取ζ=300，并將參數(shù)估計值代入式（21）～式（23）中得到漸近方差最小準(zhǔn)則下τ的函數(shù)，對此函數(shù)關(guān)于τ求最小值，可得最優(yōu)應(yīng)力轉(zhuǎn)換時間。取定總樣本數(shù)n=40，失效數(shù)r=30，試驗過程中移離試驗的樣本數(shù)b=2，通過模擬得到的最優(yōu)應(yīng)力轉(zhuǎn)換時間如下：

表1 m=0.9，ζ=300，T*=100時應(yīng)力轉(zhuǎn)換時間及漸近方差的優(yōu)化值

表2 θ1·=29.617 1，θ2·=18.565 0，m=0.9，ζ=300時不同試驗時間下應(yīng)力轉(zhuǎn)換時間及漸近方差的優(yōu)化值

表3 θ1·=29.617 1，θ2·=16.703 0，m=0.9，ζ=300時不同試驗時間下應(yīng)力轉(zhuǎn)換時間及漸近方差的優(yōu)化值

表4 θ1·=29.617 1，θ2·=14.363 8，m=0.9，ζ=300時不同試驗時間下應(yīng)力轉(zhuǎn)換時間及漸近方差的優(yōu)化值

各表中τ表示在漸近方差最小準(zhǔn)則下得到的最優(yōu)應(yīng)力轉(zhuǎn)換時間，Avar為相應(yīng)的漸近方差值。

由于產(chǎn)品失效由只兩個機理中的一個導(dǎo)致，且失效機理的發(fā)生是隨機的，因此，在模擬過程中，選取那些由兩個失效機理引起失效的失效數(shù)之差小于4時的模擬結(jié)果較為合理。num（c1，c2）中，c1表示試驗中由第1個失效機理引起的失效數(shù)，c2表示由第2個失效機理引起的失效數(shù)。

由表1中數(shù)據(jù)可以看出，θ2·相差不大時，最優(yōu)應(yīng)力轉(zhuǎn)換時間隨著θ1·增大而增大；分別分析表2～表4中的數(shù)據(jù)，得到如下結(jié)論：對于相同的θ1·和θ2·，當(dāng)num（c1，c2）相同時，隨著T*的增加，應(yīng)力轉(zhuǎn)換時間增大；而對于相近的試驗截止時間T*，最優(yōu)應(yīng)力轉(zhuǎn)換時間隨的增加而增加。

6 結(jié)論

本文在逐步Ⅰ型混合截尾下，研究了產(chǎn)品失效由兩個失效機理引起且Weibull分布中形狀參數(shù)和尺度參數(shù)均未知時，簡單步進應(yīng)力加速壽命試驗的優(yōu)化設(shè)計問題。在獲得未知參數(shù)的極大似然估計后，推導(dǎo)出參數(shù)的Fisher信息矩陣，進而利用極大似然漸近方差最小準(zhǔn)則優(yōu)化，得到簡單步進應(yīng)力加速壽命試驗的最優(yōu)應(yīng)力轉(zhuǎn)換時間。最后通過隨機模擬方法給出數(shù)值例子。結(jié)果表明：最優(yōu)應(yīng)力轉(zhuǎn)換時間隨形狀參數(shù)、給定試驗時間或第1個失效機理引起失效數(shù)個數(shù)（c1）的改變而發(fā)生相應(yīng)變化。

附錄：Ni，ωi，Λi以及Ωi的推導(dǎo)過程。

首先得到單個產(chǎn)品在應(yīng)力si（i=1，2）下失效的概率p1，p2：

（1）試驗開始時，將n個完全相同且互相獨立的樣本置于s1下進行試驗，得到n1個失效數(shù)，則n1服從二項分布binomial（n，p1）

（2）應(yīng)力轉(zhuǎn)換至s2時，n-n1-b個未失效的樣品繼續(xù)進行試驗，直到達(dá)到T*時停止試驗。由于n2是應(yīng)力s2下樣本失效數(shù)，故也服從二項分布，即：

假設(shè)t的分布函數(shù)和密度函數(shù)為（2.3），令y=tm，則y服從指數(shù)分布，其分布函數(shù)為：，0＜y＜ τm及，t＞τm

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Optimum Simple Step-Stress Accelerated Life-Tests with Competing Causes of Failure for Weibull Distribution under Progressive Type-I Hybrid Censoring

CHEN Mo，SHI Yi-min
（Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China）

This paper considers the optimum design of stress change time for the Weibull distribution with competing causes of failure under progressive type-I hybrid censoring.In the case that shape parameter and scale parameter are unknown,the corresponding Fisher information matrix are derived.Then the optimum stress change time is obtained under asymptotic variance criterion.Some analysis of numerical results are performed by Monte-Carlo simulations for illustrative purposes.

competing causes of failure，step-stress accelerated life test，hybrid censoring，Weibull distribution，optimun test planning

TB114.3；O213.2

A

1002-0640（2015）02-0123-05

2013-12-09

2014-01-20

國家自然科學(xué)基金資助項目（71171164）

陳漠（1991-），女，陜西延安人，碩士研究生。研究方向：可靠性理論及應(yīng)用。