Stolz定理應(yīng)用探討及相關(guān)問題

翟金成，蔣妍

（1.鄭州幼兒師范高等?？茖W(xué)校；2.鄭州旅游職業(yè)學(xué)院，河南鄭州450000）

Stolz定理應(yīng)用探討及相關(guān)問題

翟金成，蔣妍

（1.鄭州幼兒師范高等專科學(xué)校；2.鄭州旅游職業(yè)學(xué)院，河南鄭州450000）

本文首先給出了Stolz定理的推廣形勢及其證明，其次給出了它在證明L’Hospital法則及求待定型數(shù)列極限上的一些應(yīng)用，最后又利用它研究了具有非線性遞推關(guān)系數(shù)列的漸進性。

Stolz定理；L’Hospital法則；待定型.

引言

Stolz定理是數(shù)學(xué)分析中處理待定型數(shù)列極限一個非常有效的工具。在本文中我們將會給出推廣的Stolz定理及其證明，最后還將給出它在證明L’Hospital法則等方面的應(yīng)用。

一、推廣的Sto lz定理及其證明

為了便于比較，我們首先不加證明的給出Stolz定理.

Stolz定理2（?o型）..設(shè){an}是趨向于零的數(shù)列，{bn}是嚴格單調(diào)遞減趨于零的數(shù)列，如果

推廣的Stolz定理1.

設(shè)T為正常數(shù)，若函數(shù)g（x），g（x）,x∈［a,＋∞）滿足：

（2）Lim g（x）=＋∞，f(x),g(x)在［a,＋∞）的任意子區(qū)間上有界；

證明：不妨設(shè)g（x）＞0,x∈［a,＋∞）。由（3）及極限定義容易推知，對任意給定的∈＞0，必有正數(shù)A＞a，使對一切x∈[A,A+T]及一切自然數(shù)P有

上述各式相加有

利用(4)的右邊不等式可得

由于顯然f(x),g(x)在[A,A+T]中有界，當(dāng)P→+∞時g(x+PT)關(guān)于x∈[A,A+T]一致趨于+∞故存在正整數(shù)P。使

于是對一切y≥A0＝A+P0，恒有

于是

推廣的Stolz定理2（?o型）.

設(shè)T為正常數(shù)，若函數(shù)g（x）,f（x）,x∈［a,+∞）滿足

（1）0＜g（x＋T）＜g（x）,x∈［a,+∞）

（2）lim g(x)=0,lim f(x)=0；

證明：和上述定理中（4）式類推可得：對任意給定∈＞0，必有正數(shù)A＞a，使對一切x∈[A,A+T]自然數(shù)P都有

（注意，這里與（4）式不同的是與以及與的位置調(diào)換了。）

對任意固定的x＞A，我們在（5）式中令P→+∞，由于

lim g(x+PT)=lim f(x+PT)=0，故得

對于l=+∞,-∞的情形結(jié)論仍真。

利用推廣的Stolz定理證明L’Hospital法則

設(shè)g'(x)≠0,x∈[a,+∞)，lim g(x)=+∞，lim則

證明：只須驗證?（x）及g（x）在[a,+∞]上滿足推廣的Stolz定理1的一切條件即可。這里T=1.

首先，由于g'(x)≠0,x∈[a,+∞)，由Darboux定理我們知g'(x)≠0,在[a,+∞)內(nèi)恒不改變符號，再因為條件給出lim g(x)=+∞，所以g'(x)＞0,x∈[a,+∞)，然后驗證條件：

（1）利用Lagrange公式，對任意的x∈[a,+∞)，有θx∈(0,1)，使g'(x)≠0,x∈[a,+∞)，

（2）由于g'(x+θx)＞0，故g(x+1)-g(x)＞0，

或即g(x+1)＞g(x)，x∈[a,+∞)。

（3）由條件，?（x）在[a,+∞]上可導(dǎo)，故?（x）在[a,+∞]的任意子區(qū)間上有界，lim g(x)=+∞已由條件給出。

（4）由Cauchy公式，對任意的x∈[a,+∞)，有θx∈(0,1)，使

b)（?o型）的L’Hospital法則.

證明可仿照1的證明。

三、Stolz定理在求待定型數(shù)列極限上的應(yīng)用

例設(shè)級數(shù)∑an收斂，又{Pn}為單調(diào)增加的正數(shù)列，且Pn→+∞(n→+∞)證明

四、Stolz定理在研究數(shù)列漸進性方面的應(yīng)用

結(jié)論：設(shè)a＞0,p＞1,取x。為正數(shù)使得0＜ax0p-1＜1令 xn+1=xn-axpn，那么有換個寫法就是

證明：首先，易知limn∞→xn=0再有Stolz公式和L`Hospital法則，我們有

[1]裴禮文.數(shù)學(xué)分析問題中的典型例題和方法[M].高等教育出版社，2001.

[2]舒陽春.高等數(shù)學(xué)中的若干問題解析[M].科學(xué)出版社，2005.

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A

1674-6198（2015）03-0078-02

2015-03-12

翟金成（1981-），男，河南工業(yè)大學(xué)講師，碩士研究生，主要研究方向：數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用；蔣妍（1978-），女，鄭州旅游職業(yè)學(xué)院講師，碩士，主要從事數(shù)值優(yōu)化、圖像處理方面研究。