半嚴(yán)格凸函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

李艷

（延安職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西延安716000）

半嚴(yán)格凸函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

李艷

（延安職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西延安716000）

凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，它在凸分析和數(shù)學(xué)規(guī)劃等學(xué)科中扮演著主要的角色，在不等式證明方面及其它各領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。本文在楊新民對半嚴(yán)格凸函數(shù)研究的基礎(chǔ)上，給出了半嚴(yán)格上凸函數(shù)和半嚴(yán)格下凸函數(shù)的一些性質(zhì)，研究了它們在不等式證明中的應(yīng)用，并給出了若干例子。

半嚴(yán)格凸函數(shù)；性質(zhì)；不等式；應(yīng)用

一、引言

凸函數(shù)是凸分析中研究的主要內(nèi)容，它在數(shù)理經(jīng)濟(jì)、工程、管理科學(xué)及優(yōu)化理論中有廣泛應(yīng)用，特別是在數(shù)學(xué)規(guī)劃的各個(gè)分支中經(jīng)常涉及到凸函數(shù)。文獻(xiàn)[1-5]中給出了上（下）凸函數(shù)，嚴(yán)格上（下）凸函數(shù)的定義和性質(zhì)。文獻(xiàn)[7-10]中給出了凸函數(shù)及嚴(yán)格凸函數(shù)在積分不等式中的應(yīng)用。楊新民在文獻(xiàn)[6]中給出半嚴(yán)格凸函數(shù)的定義，并討論了凸函數(shù)、半嚴(yán)格凸函數(shù)和嚴(yán)格凸函數(shù)之間的關(guān)系。

本文對半嚴(yán)格凸函數(shù)作了進(jìn)一步研究和討論。在預(yù)備知識中給出半嚴(yán)格上（下）凸函數(shù)的定義,在主要結(jié)果中給出半嚴(yán)格上（下）凸函數(shù)的一些性質(zhì),研究它們在不等式證明中的應(yīng)用,并給出若干例子。這在一定意義上推廣和完善了半嚴(yán)格凸函數(shù)。

二、預(yù)備知識

定義1[1]設(shè)函數(shù)?（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù),若對任意x1，x2∈[a,b],以及任意λ∈（0，1）,有

則稱?（x）為[a,b]上的凸函數(shù).

定義2[1]設(shè)函數(shù)?（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù),若對任意x1，x2∈[a,b],以及任意λ∈（0，1）,有

則稱為[a,b]上的嚴(yán)格凸函數(shù).

定義3[1]設(shè)函數(shù)?（x）在區(qū)間[a,b]上連續(xù),若對任意x1，x2∈[a,b],以及任意λ∈（0，1）,有

則稱?（x）為[a,b]上的半嚴(yán)格凸函數(shù).

注：定義1[1[1]中不等式符號反向,則稱?（x）為[a,b]上的半嚴(yán)格上凸函數(shù)。在下文中我們主要討論半嚴(yán)格上凸函數(shù)和半嚴(yán)格下凸函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用。

三、主要結(jié)果

現(xiàn)在我們提出半嚴(yán)格上凸函數(shù)和半嚴(yán)格下凸函數(shù)的一些性質(zhì)。

定理1設(shè)?（x）在區(qū)間[a,b]上的半嚴(yán)格上凸函數(shù),則對于任意的a∈[0,1]（或a∈[-1,0]）有,a?（x）在[a,b]上是半嚴(yán)格上(下)凸函數(shù).

直接由定義可證.

定理2設(shè)?（x）,g（x）在區(qū)間[a,b]上是半嚴(yán)格上凸函數(shù),則?（x）+g（x）在[a,b]上也是半嚴(yán)格上凸函數(shù).

證明?（x）,g（x）在區(qū)間[a,b]上是半嚴(yán)格上凸函數(shù),對任意x1，x2∈[a,b]有

從而

因此h（x）是半嚴(yán)格上凸函數(shù),即?（x）+g（x）在[a,b]上是半嚴(yán)格上凸函數(shù).

定理3 1。若?（u）是半嚴(yán)格上凸且單調(diào)增加的函數(shù),g（x）是半嚴(yán)格上凸函數(shù),則?(g（x）)也是半嚴(yán)格上凸函數(shù).

2。若?（u）是半嚴(yán)格下凸且單調(diào)減少的函數(shù),g（x）是半嚴(yán)格上凸函數(shù),則?(g（x）)是半嚴(yán)格下凸函數(shù).

3。若?（u）是半嚴(yán)格下凸且單調(diào)增加的函數(shù),g（x）是半嚴(yán)格下凸函數(shù),則?(g（x）)是半嚴(yán)格下凸函數(shù).

4。若?（u）是半嚴(yán)格上凸且單調(diào)減少的函數(shù),g（x）是半嚴(yán)格下凸函數(shù),則?(g（x）)是半嚴(yán)格上凸函數(shù).

證明1。g（x）是半嚴(yán)格上凸函數(shù),則有

而?（u）是半嚴(yán)格上凸且單調(diào)增加的函數(shù),因此

故?(g（x）)是半嚴(yán)格上凸函數(shù).

同理可證性質(zhì)2。-4。.

由性質(zhì)3?？傻?/p>

1。若?（x）是半嚴(yán)格下凸函數(shù),則e?（x）也是半嚴(yán)格下凸函數(shù).

2。若?（x）是半嚴(yán)格上凸函數(shù),則In?（x）也是半嚴(yán)格上凸函數(shù).

進(jìn)一步可得

esinx在[2kπ,2kπ+2π](k=0,±1,±2…)是半嚴(yán)格下凸函數(shù)；

Insinx在[2kπ,2kπ+2π](k=0,±1,±2…)上是半嚴(yán)格上凸函數(shù).

定理4 1。設(shè)y=?（x）是半嚴(yán)格上凸且嚴(yán)格增加函數(shù),則其反函數(shù)x=?-1（y）是半嚴(yán)格下凸嚴(yán)格增加函數(shù).

2。設(shè)y=?（x）是半嚴(yán)格上凸且嚴(yán)格減少函數(shù),則其反函數(shù)x=?-1（y）是半嚴(yán)格上凸嚴(yán)格減少函數(shù).

3。設(shè)y=?（x）是半嚴(yán)格下凸且嚴(yán)格增加函數(shù),則其反函數(shù)x=?-1（y）是半嚴(yán)格上凸嚴(yán)格增加函數(shù).

4。設(shè)y=?（x）是半嚴(yán)格下凸且嚴(yán)格減少函數(shù),則其反函數(shù)x=?-1（y）是半嚴(yán)格下凸嚴(yán)格減少函數(shù).

證明1。y=?（x）是嚴(yán)格增加函數(shù),則其反函數(shù)x=?-1（y）也是嚴(yán)格增加函數(shù).由y=?（x）是半嚴(yán)格上凸函數(shù),有

即?-1(y)是半嚴(yán)格下凸且嚴(yán)格增加的函數(shù).

同理可證性質(zhì)2。-4。.

下面我們給出半嚴(yán)格凸函數(shù)的一些應(yīng)用.先介紹Jensen不等式然后考慮在證明積分不等式方面的應(yīng)用.

例1（Jensen不等式）設(shè)?（x）為[a,b]上的半嚴(yán)格上凸函數(shù).t1＞0（i=1,2,…，n）且則

證明對n采用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)n=2時(shí),有

即為半嚴(yán)格上凸函數(shù)的定義.

設(shè)結(jié)論對于n≤k-1時(shí)成立,下面證明n=k時(shí)結(jié)論也成立.

由數(shù)學(xué)歸納法知,結(jié)論成立.

例2設(shè)?（x）,g（x）在區(qū)間[a,b]上可積,且m≤?（x）≤M，g（x）≥0,及∫bg（x）dx＞0，R（t）,R(t)在[m,M]上是半嚴(yán)格上凸函數(shù),則

證明?（x）,g（x）在區(qū)間[a,b]上可積,因此無論對[a,b]作怎樣的分割,其積分和的極限存在且相等.對[a,b]作n等分,并設(shè)

考慮到R(t)為半嚴(yán)格上凸函數(shù)及

例3設(shè)?（x）,g（x）是[a,b]上的正值連續(xù)函數(shù),g（x）非常數(shù),則

證明利用例2的結(jié)論.

1。設(shè)R（t）=-et,則R（t）是半嚴(yán)格上凸函數(shù)

2。設(shè)Q（t）=-et,則Q（t）是半嚴(yán)格上凸函數(shù).仿1。之證法，即可得

O174.13

A

1674-6198（2015）03-0076-03

2015-05-12

李艷（1986－）女，陜西佳縣人，延安職業(yè)技術(shù)學(xué)院教師。