基于ESTAR模型的單位根檢驗(yàn)——Wald統(tǒng)計(jì)量的研究

胡俊娟

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院,杭州 310023)

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浙江科技學(xué)院學(xué)報(bào),第27卷第1期,2015年2月

Journal of Zhejiang University of Science and Technology

Vol.27 No.1, Feb. 2015

基于ESTAR模型的單位根檢驗(yàn)——Wald統(tǒng)計(jì)量的研究

胡俊娟

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院,杭州 310023)

摘要:已有的基于ESTAR模型的單位根檢驗(yàn)通常假設(shè)α=0,但實(shí)踐研究表明α顯著。對(duì)α≠0的情況進(jìn)行單位根檢驗(yàn),研究該情形下的Wald檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。從理論上推導(dǎo)了Wald檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布,并通過Monte Carlo隨機(jī)模擬,結(jié)果表明該統(tǒng)計(jì)量有效。

關(guān)鍵詞:單位根檢驗(yàn);Wald統(tǒng)計(jì)量;ESTAR模型

自Ter?svirta[1]提出STAR(smooth transition autoregressive)模型以來,非線性模型一直受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。STAR模型很好地描述了模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)化和結(jié)構(gòu)變化,因而被廣泛地應(yīng)用于預(yù)測(cè)工業(yè)產(chǎn)出、實(shí)際匯率、失業(yè)率等主要宏觀時(shí)間序列[2-3]。由于模型擬合前需要進(jìn)行單位根檢驗(yàn),眾多學(xué)者對(duì)指數(shù)STAR(ESTAR)模型進(jìn)行了研究。Kapetanios等[4]提出了Dickey-Fuller型t統(tǒng)計(jì)量，Kruse[5]用修正的t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行了研究，Hanck[6]對(duì)帶均值的情況進(jìn)行了研究。這些檢驗(yàn)都在假設(shè)α=0的情況下進(jìn)行,但實(shí)踐研究表明α顯著[7]。筆者在此基礎(chǔ)上放寬了條件,在α≠0的情況下進(jìn)行單位根檢驗(yàn)的研究。

1基于ESTAR模型的單位根檢驗(yàn)

ESTAR模型是STAR類模型中最常用的模型之一,首先給出ESTAR模型的具體形式:

yt=βyt-1+γyt-1G(yt-1;θ)+εt,t=1,…,T,

(1)

該過程也可以寫成:

Δyt=αyt-1+γyt-1G(yt-1;θ)+εt,

(2)

式(2)中:α=β-1,Δ—差分算子。

1.1　Dickey-Fuller型t統(tǒng)計(jì)量

Kapetanios等[4]在假設(shè)α=0的條件下,考慮θ是否為零。即對(duì)于方程:

Δyt=γyt-1G(yt-1;θ)+εt

給出了原假設(shè)H0:θ=0,備擇假設(shè)H1:θ>0來進(jìn)行單位根檢驗(yàn)?？紤]到參數(shù)γ未知,常用的做法是用一階泰勒展開來逼近非線性函數(shù)G(yt-1;θ),則檢驗(yàn)方程就變成:

從而對(duì)方程檢驗(yàn)H0:δ=0。Kapetanios等給出了Dickey-Fuller型t統(tǒng)計(jì)量:

(3)

1.2　Wald檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

考慮到ESTAR模型(式(1))中α不一定為零,則對(duì)ESTAR模型進(jìn)行一階泰勒展開后得到的輔助線性方程是:

(4)

考慮到當(dāng)α=δ=0時(shí),模型含有單位根,所以對(duì)模型檢驗(yàn):H0:α=δ=0。

Wald檢驗(yàn)是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)三大檢驗(yàn)方法之一,只要求計(jì)算無約束模型,在實(shí)證分析中得到廣泛應(yīng)用。在原假設(shè)H0:Rβ=0情況下的Wald統(tǒng)計(jì)量[8]為:

(5)

2Wald統(tǒng)計(jì)量的極限分布

為了給出統(tǒng)計(jì)量W的極限分布,先假設(shè)序列yt的六階矩存在。有關(guān)W極限分布的定理如下。

定理1考慮模型(2)在H0:α=δ=0的條件下,統(tǒng)計(jì)量W有如下的極限分布:

W?A′B-1A,

即

進(jìn)一步,有:

并且

所以,可以得到:

現(xiàn)對(duì)模型(2)進(jìn)行推廣,考慮誤差項(xiàng)εt序列相關(guān)。根據(jù)ADF檢驗(yàn),通過加入p階滯后項(xiàng)來代替誤差項(xiàng)的序列相關(guān),則模型(2)變成

(6)

式(6)中:εt～i.i.d.(0,σ2)。則相應(yīng)地可以得到輔助方程:

對(duì)于統(tǒng)計(jì)量W有如下分布:

定理2考慮模型(6)在H0:α=δ=0的條件下,統(tǒng)計(jì)量W有與定理1一樣的極限分布。

證明:設(shè)T×p的數(shù)據(jù)矩陣Z=(ΔY-1,…,ΔY-p),其中ΔY-i=(Δy-i+1,…,Δy-i+T),設(shè)T×T矩陣M=IT-Z(Z′Z)-1Z′,向量ε=ε1,…,εT′,則

和

所以,類似地可以得到W?A′B-1A,

3Monte Carlo模擬

上述分析表明,在單位根檢驗(yàn)下,參數(shù)約束的Wald統(tǒng)計(jì)量的極限分布都不是χ2分布。本研究采用蒙特卡羅模擬方法模擬出上述Wald統(tǒng)計(jì)量的臨界值。數(shù)據(jù)生成過程為:Δyt=εt,y0=0,εt～i.i.d.(0,1)?？疾旖y(tǒng)計(jì)量W的極限分布,樣本容量T取1 000,針對(duì)樣本容量模擬20 000次,從而得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量W常用檢驗(yàn)水平0.01、0.05、0.10的漸進(jìn)臨界值(表1)。

表1　統(tǒng)計(jì)量W的臨界值

對(duì)于小樣本而言,分別針對(duì)樣本容量T為50、100、200，考察檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)水平。數(shù)據(jù)生成過程為:Δyt=εt,εt=ρεt-1+ut,ut～i.i.d.(0,1)。為了考察更多情況,ρ取0~0.4的均勻分布。通過表2可以看出,統(tǒng)計(jì)量W的實(shí)際檢驗(yàn)水平與名義檢驗(yàn)水平一致。

表2　統(tǒng)計(jì)量W的實(shí)際檢驗(yàn)水平

考慮數(shù)據(jù)生成過程為ESTAR模型,現(xiàn)對(duì)式(3)的統(tǒng)計(jì)量KSS和統(tǒng)計(jì)量W的勢(shì)進(jìn)行對(duì)比。不妨假設(shè)數(shù)據(jù)生成過程為:

式中,α設(shè)為0.1,γ為-1.5、-1、-0.5,θ為0.001~0.01的均勻分布。給定名義水平為0.05,從表3可以看出,統(tǒng)計(jì)量W較統(tǒng)計(jì)量KSS有更高的勢(shì)。

表3　統(tǒng)計(jì)量W和統(tǒng)計(jì)量KSS的勢(shì)

4結(jié)語

本研究主要針對(duì)ESTAR模型提出用于單位根檢驗(yàn)的Wald統(tǒng)計(jì)量,通過研究得出以下結(jié)論:無論是否有p階滯后項(xiàng),含有單位根約束條件的Wald統(tǒng)計(jì)量的極限分布均不服從χ2分布,而是服從以Wiener過程泛函表示的分布;蒙特卡羅模擬結(jié)果顯示,有限樣本下Wald統(tǒng)計(jì)量W的勢(shì)比KSS的勢(shì)更高,故認(rèn)為統(tǒng)計(jì)量W更有效。

參考文獻(xiàn):

[1]Ter?svirta T. Specification, estimation and evaluation of smooth transition autoregressive models[J]. Journal of the American Statistical Association,1994,89:208-218.

[2]Lundbergh S, Ter?svirta T. Forecasting with smooth transition autoregressive models[M]. [S.L.]: Clements M P,2001.

[3]Van Dijk D, Ter?svirta T, Franses P H. Smooth transition autoregressive models: A survey of recent developments[J]. Econometric Reviews,2002,21:1-47.

[4]Kapetanios G, Shin Y, Snell A. Testing for a unit root in the nonlinear STAR framework[J]. Journal of Econometrics,2003,112:359-379.

[5]Kruse R. A new unit root test against ESTAR based on a class of modified statistics[J]. Statistical Papers,2011,52(1):71-85.

[6]Hanck C. On the asymptotic distribution of a unit root test against ESTAR alternatives[J]. Statistics and Probability Letters,2012,82:360-364.

[7]Ubilava D, Helmers C G. Forecasting ENSO with a smooth transition autoregressive model[J].Environmental Modelling and Software,2013,40:181-190.

[8]張凌翔,張曉峒.單位根檢驗(yàn)中的Wald統(tǒng)計(jì)量研究[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究,2009(7):146-158.

[9]聶巧平,張曉峒.ADF單位根檢驗(yàn)中聯(lián)合檢驗(yàn)F統(tǒng)計(jì)量研究[J].統(tǒng)計(jì)研究,2007,24(2):73-80.

Unit root test based on ESTAR process

—Study on Wald statistics

HU Junjuan

(School of Sciences, Zhejiang University of Science and Technology, Hangzhou 310023, China)

Abstract:The alternative hypothesis of exponential smooth transition autoregressive (ESTAR) nonlinearity usually assumes thatα=0, while the Existing tests of the unit root hypothesis is against that. However, empirical work indicates that the estimated value of α is always greater than zero and significant. Hence, the paper relaxes the restriction in the test regression and investigate the Wald-type test for a unit root process against ESTAR process. The asymptotic distributions of the test statistic are derived. Results show that the Wald statistic is effective via Monte Carlo simulation.

Key words:unit root test; Wald-type statistic; exponential smooth transition autoregressive

中圖分類號(hào):O212;F222

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1671-8798(2015)01-0006-05

作者簡(jiǎn)介:胡俊娟(1979—),女,浙江省蘭溪人,講師,博士研究生,主要從事時(shí)間序列分析研究。

收稿日期:2015-01-21

doi:10.3969/j.issn.1671-8798.2015.01.002