基于稀疏傅里葉變換的低采樣率寬帶頻譜感知*

那美麗，周志剛，李霈霈

（中國科學(xué)院 上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所，上海 200050）

基于稀疏傅里葉變換的低采樣率寬帶頻譜感知*

那美麗，周志剛，李霈霈

（中國科學(xué)院 上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所，上海 200050）

針對傳統(tǒng)頻譜感知方法應(yīng)用于寬帶頻譜感知時存在采樣率過高的現(xiàn)象，提出一種基于稀疏傅里葉變換的采用奈奎斯特采樣進行寬帶信號頻譜感知的方法。該算法在頻譜分布稀疏時具有極低的誤判率，并在頻譜占用率增加時，提出了改進的算法，最后利用MATLAB仿真驗證了稀疏傅里葉變換用于寬帶頻譜感知方案的可行性。相比傳統(tǒng)方法，本文的頻譜感知方案需要的采樣率僅為奈奎斯特采樣率的20%。

寬帶；頻譜感知；稀疏傅里葉變換；奈奎斯特采樣

0 引言

隨著通信業(yè)務(wù)的高速發(fā)展，無線電頻譜的低端頻率已趨于飽和，頻譜資源匾乏的問題日益嚴重[1]。為了解決頻譜利用率的問題，Joseph Mitola于 1999年在軟件無線電的基礎(chǔ)上提出了認知無線電的概念[2]。要實現(xiàn)動態(tài)頻譜接入，首先要解決的問題就是如何檢測頻譜空穴，也就是頻譜感知技術(shù)。傳統(tǒng)頻譜感知的解決方案主要有數(shù)字和模擬兩類，常見的模擬方式類似實驗室的掃描機制，需要可調(diào)的線路和獨立的認知無線電接收設(shè)備。數(shù)字的形式要求采樣率滿足奈奎斯特采樣定理，當工作在寬帶環(huán)境下，采樣率可能會相當大。所以寬帶信號頻譜感知的難點主要在于現(xiàn)有硬件設(shè)備的模數(shù)轉(zhuǎn)換和信號處理能力尚無法滿足對寬帶信號需求的高速增長。因此寬帶信號頻譜感知的研究將主要集中在如何利用寬帶信號的稀疏特性通過較低的采樣率獲得寬帶信號的部分信息進行頻譜感知[3]。認知無線電的廣泛應(yīng)用要建立在創(chuàng)新的頻譜感知技術(shù)上。

本文提出一種基于稀疏傅里葉變換（Sparse Fourier Transform，SFT）的頻譜感知方法，尤其適用于寬帶認知無線電。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有兩個優(yōu)點，一是模擬前端是固定的，不涉及掃描硬件；二是模數(shù)轉(zhuǎn)換器和數(shù)字信號處理采樣率都低于奈奎斯特率。稀疏快速傅里葉變換的算法最早于 2012年由 MIT的研究人員提出[4]。利用稀疏傅里葉變換的算法，數(shù)據(jù)流的處理速度會比快速傅里葉變換還要快10～100倍，用在頻譜感知這樣海量大數(shù)據(jù)處理方面更能凸顯其優(yōu)勢。

1 傳統(tǒng)頻譜感知模型

最初對于寬帶信號檢測的研究都集中在窄帶頻譜檢測方面，每個節(jié)點在一個檢測周期內(nèi)只能檢測一個窄帶信道，在完成此次檢測任務(wù)后才能進入下一個信道的檢測。這樣對于單個認知無線電用戶來說，不但需要有精確的檢測性能，而且需要很長的檢測時間才能完成寬帶范圍內(nèi)的頻譜空閑檢測。2008年11月的IEEE Signal Processing Magazine綜述了現(xiàn)有的認知無線電技術(shù)[5]。根據(jù)文獻[6]將當前的頻譜感知方法總結(jié)在表1中。

表1 頻譜檢測方法對比

單節(jié)點的窄帶頻譜檢測由于使用條件的不同，在不同的環(huán)境下檢測性能會有比較大的變化。為了適應(yīng)無線移動通信寬帶化的發(fā)展趨勢，又提出了多節(jié)點協(xié)同寬頻帶檢測機制。每個節(jié)點由多條射頻電路組成，需要多個帶通濾波器，每條窄帶鏈路采用簡單的能量檢測算法。但是節(jié)點的硬件電路一旦固定，各個濾波器的范圍就隨之固定。因此這種方法只適用于各個子頻帶預(yù)先知道并且固定的情況，即需要知道足夠的先驗信息，對于子信道分配的先驗信息未知的情況則無能為力。

2 基于稀疏傅里葉變換的頻譜感知模型

傳統(tǒng)的方法需要的采樣率過高，無法真正滿足動態(tài)檢測寬帶頻譜的要求。本文的頻譜感知模型如圖1所示。利用SFT的思想采用低于傳統(tǒng)奈奎斯特采樣率的方式直接對寬帶信號進行低速采樣，并重建原寬帶信號頻譜。

圖1 頻譜感知模型

介紹采樣算法之前，首先介紹一下傅里葉變換的基本特性：信號時域的二次抽樣引起頻域的混疊，圖2證明了這種特性。對圖2左上圖時域的二次抽樣產(chǎn)生了左下圖。在頻域，二次抽樣后信號的快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）是原信號 FFT的混疊，也就是說樣點6和1疊加，7和2疊加，以此類推。稀疏傅里葉變換的算法主要分為混疊濾波、估計和沖突檢測三步。下面重點解釋這三步。

圖2 二次抽樣和混疊的一致性

2.1 混疊濾波

為了降低采樣率，以抽樣因子p對時域進行二次抽樣，通過時域的抽樣達到頻域混疊的效果。因為頻域是稀疏的，所以混疊后只有少數(shù)頻率分量上的值非零。x是長為N的離散時間信號，X是它的頻域表示。x′是x抽樣后的信號，其中=xi×N/B，B可以整除 N。那么 X′就是抽樣后的x′的FFT：

因此，混疊是抽樣后進行 FFT的一個結(jié)果，頻率等間隔B被分配到同一個頻率單元上，例如f將會分到桶i=f mod B。另外，每一個頻率單元的值是所有映射到其中的頻率值的總和。

2.2 頻率估計

如果混疊濾波后一個非零頻率和多個零值頻率映射到同一個頻率單元，則認為不發(fā)生沖突，此時無法確定非零頻率的具體位置f。為了計算f，利用FFT的相位旋轉(zhuǎn)屬性，即時域的移位會轉(zhuǎn)換為頻域的相位旋轉(zhuǎn)。在輸入信號移位τ個采樣點后重復(fù)整個混疊的過程。由于時域的延時轉(zhuǎn)換為頻域的相位旋轉(zhuǎn)，這個頻率單元的值由 Xf變?yōu)榱?Xf·ej2πfτ/N。 相位改變?yōu)椋?/p>

因此，利用相位差即可求出非零頻率的位置f，這個過程稱為估計。對于所有不發(fā)生沖突的頻率單元，估計出原頻譜中非零頻率的位置和頻率值，也就是f和對應(yīng)的Xf。

2.3 沖突解決和檢測

如果混疊的過程中兩個及以上的非零頻率映射到同一個頻率單元則稱為沖突。同樣利用FFT的相位旋轉(zhuǎn)屬性可以檢測是否有沖突發(fā)生。如果不發(fā)生沖突，則一個頻率單元中映射進來的頻率僅僅有一個非零頻率f，在兩次延時不同的混疊過程中的頻率單元的值 b和 b(τ)的關(guān)系是 b(τ)=b·ej2πfτ/N。這個值隨著時間的延時而改變，并且其幅度是不變的。而當f和f′有沖突情況時，則在延時前這個值b可以寫作Xf+Xf′，在延時后這個值 b(τ)變作 b(τ)=Xf·ej2πfτ1/N+Xf′·ej2πf′τ2/N。 因為 τ的選擇不同，則 b和 b(τ)的幅值是不同的。通過比較延時前和延時后的幅值是否相同，可以判斷是否發(fā)生沖突。

檢測出沖突后，可以對互質(zhì)采樣的混疊濾波進行解決。證明只要采用互質(zhì)的采樣間隔隨機化混疊時的頻率位置，就可以防止同一個頻率對在兩次混疊中都發(fā)生沖突。然后在兩次混疊過程間迭代就可以找到所有的非零頻率。SFT的具體流程圖如圖3所示。

圖3 稀疏傅里葉變換算法流程圖

由于稀疏傅里葉變換要求應(yīng)用在頻譜占用率不超過 10%的情況，當頻譜占用率增加到大于 10%后，不能再采用這種方法進行頻譜的稀疏恢復(fù)。但是因為一段時間內(nèi)一個地區(qū)的頻譜占用情況不會經(jīng)常發(fā)生變化，可以認為在當前觀察的時間窗和下一時間窗內(nèi)頻譜的變化是稀疏的，利用這個頻譜變化的稀疏性進行稀疏傅里葉變換。由于此時能量發(fā)生變化，不能再利用相位循環(huán)來找到變化的頻率位置，考慮在兩次混疊濾波后相減找到變化的頻率混疊后的位置，然后采用投票的方式判斷出最終狀態(tài)發(fā)生變化的頻率位置。將每次可能映射到其中的頻率位置做個投票，如果某頻率位置在兩次混疊后都獲得了投票，則認為此頻率位置為恢復(fù)后的變化頻率位置。算法原理圖如圖4所示。

圖4 頻譜占用增加后的改進算法原理圖

3 算法性能仿真

為了驗證稀疏傅里葉變換用于寬帶頻譜感知的性能，利用MATLAB平臺進行仿真分析。首先頻譜稀疏信號采用以下形式產(chǎn)生：

其中 En、Bn、fn、τn分別代表第 n個頻帶的能量系數(shù)、帶寬、載波頻率和延遲時間。為了仿真實際采樣過程，用2倍奈奎斯特率的離散信號來表示連續(xù)信號，利用抽取的方法實現(xiàn)濾波后的采樣過程。采樣5 GHz的信號至少需要10 GHz的采樣率，而使用稀疏傅里葉變換需要的采樣率為420 MHz和500 MHz(抽樣因子為21和 25，則可觀測帶寬為10.5 GHz)。圖5給出了該算法重構(gòu)前后信號的時域和頻域形式。如圖所示，時域和頻域的重構(gòu)結(jié)果均較好地再現(xiàn)了原信號的波形和頻譜，說明在信號頻譜相對稀疏的情況下，稀疏傅里葉變換可以較好地進行頻譜檢測。

圖5 基于稀疏傅里葉變換的頻譜重構(gòu)時域頻域波形比較

當頻譜的占用增加到50%時，時間窗長度為 10 μs，假設(shè)狀態(tài)發(fā)生變化的頻率分量占總數(shù)的3%，利用改進算法成功恢復(fù)出狀態(tài)發(fā)生變化的頻率位置如圖6所示。由于只關(guān)心頻譜是否被占用，而不關(guān)心具體的頻率幅度，所以認為改進的算法可以成功地找到變化的頻率位置。

圖6 基于稀疏傅里葉變換的頻譜重構(gòu)頻域波形比較

4 算法性能評估

誤判率：占有頻率被SFT判斷為空閑的百分比。對于不同稀疏性的情況下，仿真得到誤判率和稀疏性的關(guān)系如圖7所示。可以看出在稀疏度小于10%時，誤判率不超過0.5%，當稀疏度高達25%時，誤判率也不超過5%。

運算復(fù)雜度：FFT計算N點DFT時，其運算復(fù)雜度為O(Nlog2N)。而SFT只需要4次混疊的過程，即其運算復(fù)雜度僅為 O(2B1log2B1)+O(2B2log2B2)。假設(shè) B1＞B2，則復(fù)雜度為 O(B1log2B1)。當 N比較大時，SFT的效率提高更加明顯。

圖7 誤判率和稀疏度的關(guān)系

采樣率：直接對一個 5 GHz信道進行寬帶信號頻譜檢測需要10 GHz的采樣率，而使用SFT可以使用500 MHz和420 MHz的采樣率，采樣率大約降低到原來的20%，硬件上易于實現(xiàn)，且效率更高。

5 結(jié)論

本文通過分析傳統(tǒng)頻譜感知方式的不足，提出了一種基于稀疏快速傅里葉變換的寬帶頻譜感知方法。該方法能夠以若干低速ADC完成對寬帶頻譜信號的采樣，解決了寬帶頻譜感知中采樣速率過高的問題，為亞奈奎斯特采樣的寬帶頻譜感知提供了一種新的思路。

[1]Mishali Moshe，Eldar Yonina C.Wideband spectrum sensing at sub-nyquist rates[J].IEEE Signal Processing Magazine，2011，28(4)：102-135.

[2]蓋建新，付平，喬家慶，等.用于寬帶頻譜感知的全盲亞奈奎斯特采樣方法[J].電子與信息學(xué)報，2012，34(2)：361-367.

[3]Ahmad B I，Al-Ani M，Tarczynski A，et al.Compressive and non-compressive reliable wideband spectrum sensing at sub-Nyquist rates[C].Signal Processing Conference(EUSIPCO)，2013 Proceedings of the 21st European IEEE，2013：1-5.

[4]HASSANIEH H，SHI L，ABARI O，et al.GHz-wide sensing and decoding using the sparse Fourier transform[C]. INFOCOM，2014 Proceedings IEEE，2014：2256-2264.

[5]RAMOS S，F(xiàn)EIJóO C，GóMEZ-BARROSO J L.Next generation mobile network deployment strategies[J].Journal of the Institute of Telecommunications Professionals，2009，3 (1)：13-19.

[6]GOGGIN G.Adapting the mobile phone：the iPhone and its consumption[J].Continuum:Journal of Media＆Cultural Studies，2009，23(2)：231-244.

Wideband spectrum sensing at low sampling rate based on the sparse Fourier transform

Na Meili，Zhou Zhigang，Li Peipei
(Shanghai Institute of Microsystem and Information Technology,Chinese Academy of Sciences,Shanghai 200050，China)

Because the sampling rate is too high in the traditional spectrum sensing method,this paper propose a wideband signal spectrum sensing method based on the sparse Fourier transform using sub-Nyquist sampling rate.This algorithm has a very low rate of false positives when spectrum is sparse,and a modified solution is proposed even if the spectrum occupancy increases.MATLAB simulation verified the feasibility of wideband spectrum sensing scheme.Compared to the traditional method,the sampling rate that spectrum sensing based on the sparse Fourier transform required is 20%of the Nyquist sampling rate.

wideband；spectrum sensing；sparse Fourier Transform；sub-Nyquist sampling

TN911.72

A

10.16157/j.issn.0258-7998.2015.11.024

那美麗，周志剛，李霈霈.基于稀疏傅里葉變換的低采樣率寬帶頻譜感知[J].電子技術(shù)應(yīng)用，2015，41 (11)：85-88.

英文引用格式：Na Meili，Zhou Zhigang，Li Peipei.Wideband spectrum sensing at low sampling rate based on the sparse Fourier transform[J].Application of Electronic Technique，2015，41(11)：85-88.

2015-06-17)

那美麗（1993-），女，碩士研究生，主要研究方向：寬帶頻譜感知。

上海市自然科學(xué)基金（15ZR1447600）；國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(863計劃)（SS2015AA011307）

周志剛（1974-），男，博士，研究員，主要研究方向：毫米波通信。

李霈霈（1991-），女，碩士研究生，主要研究方向：LDPC編碼技術(shù)研究。