非線性擴散作用下一類四階拋物方程解研究

梁 波，沈慧穎

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

非線性四階拋物方程的研究最近受到關(guān)注，形如ut+(upuxxx)x=0及=0的類型的方程可用來描述非常薄的粘性可壓縮流體沿著斜面運動的情況，其中未知函數(shù)u代表流體薄層的的厚度(可參考文獻［1-2］).Bernis等人［3］在分數(shù)次連續(xù)函數(shù)空間中證得了弱解的存在性.文獻［4-5］還對解的長時間行為等問題進行了研究.

本文主要研究一類帶有非線性二階擴散項的四階拋物方程，形式如下:

這里Ω是RN中的一個有界開區(qū)域，QT=Ω×(0，T)，Γ=?Ω × (0，T)，?Ω∈C1，p ＞ 1，m≥0.為敘述方便，下面引入兩個符號定義:

利用半離散方法可得到解的存在性如下:

定理1(存在性) 方程(1)～(3)存在弱解滿足:

(1)ut∈Lp'(0，T;W0-1，p'(Ω))，u ∈ L∞(0，T;H10(Ω))∩C([0，T];L2(Ω))，Δu∈Lp(0，T;W10，p(Ω))，Δu∈ Lm+2(QT);

(2)對任意的φ∈C∞0(QT)，有

利用檢驗函數(shù)法可獲得解的唯一性定理:

定理2(唯一性)(1)～(3)的解是唯一的.

1 定態(tài)解的存在性

本節(jié)來研究對應(yīng)的定態(tài)問題:

定義泛函

其中，φ∈C∞0(Ω)為任一檢驗函數(shù).

0 引言

由下確界定義，存在子列 { uk}∞k=1? B，使得I[ uk]→vinBf[v] ，(k → ∞).所以 ‖▽Δuk‖LP(Ω)∈≤ C ，‖Δuk‖Lm+1(Ω)≤ C .利用 Poincare不等式及二階橢圓方程的Lp-估計，可得

所以，存在 {uk}的一個子列及u∈B，使得

uk→弱u于W1，p0(Ω)∩W2，p(Ω)，

Δuk→弱Δu于W1，p0(Ω)，

Δuk→弱Δu于Lm+1(Ω).

2 拋物問題的存在性

考慮離散問題如下

為證明定理1，以(7)～(8)為基礎(chǔ)定義近似解如下

χk(t)是時間區(qū)間 ((k-1)h，kh］，k=1，2，……，n上的特征函數(shù)，為獲得逼近解的收斂性，我們需要一些一致估計.

引理2 對于近似解(9)，下面的正則估計成立證明 類似參考文獻［6］的證明思路，以Δuk為(7)～(8)的檢驗函數(shù)，并利用(9)易知因 此 ‖▽w(n)‖L∞(0，T;L2(Ω))≤ C.同 時 可 知.其余估計類似文獻［6］，得證.

定義第二類近似解如下

這里

對此近似解有如下估計.

引理3 下面的一致估計成立，

證明 由于

對任意的 φ ∈ w1，p0(Ω)及 ‖φ‖w1，p0(Ω)≤1 ，由(10)可知

其中α和β為某正指數(shù).根據(jù)u(n)的定義

定理1的證明:根據(jù)能量估計(10)，存在w(n)的一個子列及泛函v，使得當(dāng)n→∞ 時

存在足夠大的整數(shù)r＞0，使得w-1，p'(Ω)→H-r(Ω).由Aubin'sLemma［7］，嵌入H10(Ω)→緊L2(Ω)→H-r(Ω)及一致估計(12)，則u(n)存在子列使得當(dāng)n→∞時

利用u(n)和w(n)的定義可知，對于任意的φ∈C∞0(QT)，

因此ρ=u a.e于QT中.

對任意的檢驗函數(shù)φ，有

令n→∞得到

另一方面，

注意到

取ζ(n)=▽Δw(n)，ηε=▽Δ(u-εφ)(對于任意的φ及ε＞0)，由(15)～(16)知當(dāng)n→∞ 時

再由(14)得

當(dāng)ε→0時，得到

利用φ的任意性可知 ▽Δup-2▽Δu=v幾乎處處于QT.唯一性容易證明，這里省略.

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