基于ISC-Kriging響應(yīng)面法的橋梁抗震動力可靠度分析*

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(華南理工大學(xué)　土木與交通學(xué)院, 廣東 廣州 510640)

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基于ISC-Kriging響應(yīng)面法的橋梁抗震動力可靠度分析*

賈布裕余曉琳?顏全勝陳舟

(華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院, 廣東 廣州 510640)

摘要：響應(yīng)面法是解決橋梁抗震可靠度中非線性和復(fù)雜性等問題的有效方法，但其存在代理模型類型和訓(xùn)練樣本的選取問題.鑒于此，提出了基于樣本填充準(zhǔn)則(ISC)最優(yōu)化和Kriging模型的改進序貫抽樣響應(yīng)面法.其以Kriging模型作為代理模型，結(jié)合蒙特卡洛抽樣技術(shù)，利用Kriging模型優(yōu)秀的預(yù)測值估計性能及獨有的預(yù)測均方差估計能力，建立包含未知樣本預(yù)測值和預(yù)測均方差的ISC函數(shù)，在迭代階段通過求解ISC最優(yōu)化問題，進行局部和全局的平衡搜索，逐一序貫產(chǎn)生后續(xù)訓(xùn)練樣本.最后采用所提的基于ISC-Kriging改進響應(yīng)面法對隨機地震激勵下某懸索橋的動力可靠度問題進行了計算分析.結(jié)果表明，所提方法具有較高的準(zhǔn)確性、高效性.

關(guān)鍵詞：橋梁；動力可靠度;樣本填充準(zhǔn)則;序貫抽樣;響應(yīng)面;Kriging模型；蒙特卡洛抽樣

目前國內(nèi)關(guān)于結(jié)構(gòu)在地震激勵下的動力可靠度分析普遍采用的是功率譜方法，即在響應(yīng)統(tǒng)計量的基礎(chǔ)上進行交差速率以及動力可靠度的計算.但該方法只適用于那些較為簡單的線性計算系統(tǒng)，對于復(fù)雜的非線性計算系統(tǒng)則無能為力.解決這類問題的有效方法是采用響應(yīng)面的方式來替代模擬結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)，進而求得結(jié)構(gòu)動力可靠度[1].在響應(yīng)面方法中，二次多項式用得最多[2- 3]，但其并不適用于較高非線性功能函數(shù)的可靠度求解[4- 5],尤其是結(jié)構(gòu)地震高非線性響應(yīng)問題，如果采用二次多項式來求解此類問題，往往得到的是精度較低的結(jié)果，甚至是錯誤的結(jié)果，并且無法確定不同表達(dá)式或不同參數(shù)形式對可靠度計算結(jié)果的影響程度；換言之，其自適應(yīng)性差.在對多項式改進過程中，出現(xiàn)多種一定程度上優(yōu)于多項式的響應(yīng)面法，如：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6]、支持向量機[7]、Kriging[8]等，其中基于統(tǒng)計特征的Kriging響應(yīng)法具有優(yōu)良的預(yù)測值估計性能及獨有的預(yù)測均方差(MSE)估計能力，越來越受到研究者的關(guān)注.而如何充分利用Kriging的特點，并將其與可靠度分析結(jié)合以提高可靠度的計算效率和精度，是目前的一大研究熱點和難點.

由于在一定范圍內(nèi)代理模型預(yù)估精度與訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)的數(shù)量成正比，為了充分利用已有樣本和減少實模型計算次數(shù)，基于序貫抽樣思想的方法被逐漸采納.Schonlau[9]在優(yōu)化計算中提出了基于代理模型的高效全局優(yōu)化思想(EGO)，其主要就是采用序貫抽樣樣本不斷更新初始模型，直至達(dá)到計算目的.Sasena等[10]以EGO為基礎(chǔ)，采用多種ISC準(zhǔn)則(一并考慮了具有約束條件的ISC準(zhǔn)側(cè))，提出了superEGO概念和算法，同樣應(yīng)用于最優(yōu)極值求解中.將這種基于代理模型的序貫抽樣法應(yīng)用到可靠度的研究并不多見，Bichon等[11]采用全局優(yōu)化策略對隱式非線性功能函數(shù)進行了可靠度求解，其尋優(yōu)算法為DIRECT 全局優(yōu)化算法，遇到高維度變量時需要大規(guī)模的初始樣本，且對整個搜索區(qū)域進行全局精細(xì)模擬，計算成本過于昂貴.值得關(guān)注的是Echard等[12]提出的AK-MCS方法，該方法基于Kriging代理模型，以置信下限函數(shù)為樣本填充準(zhǔn)則(ISC)，結(jié)合蒙特卡洛(MC)抽樣進行了可靠度計算，其計算效果顯示良好.但經(jīng)過算例驗證發(fā)現(xiàn)，其所能得到良好結(jié)果的前提是精心設(shè)計好的變量抽樣界限以及抽樣界限內(nèi)剛好能迅速精細(xì)模擬真實功能函數(shù)的樣本點，而這些在實際計算中都是不可能事先知道的，若遇到過于寬廣的變量抽樣界限和糟糕的初始樣本，按照其算法進行后續(xù)選擇新樣本時，極有可能一開始就將搜索方向局限于MSE很大的區(qū)域，而抽樣界限過寬或者遇到質(zhì)量差的初始訓(xùn)練樣本將會導(dǎo)致那些遠(yuǎn)離插值擬合點的其他樣本點的MSE比插值擬合區(qū)域內(nèi)樣本點的MSE高出數(shù)個數(shù)量級，這些區(qū)域往往遠(yuǎn)離真實極限狀態(tài)曲線(盡管可能具有較高的聯(lián)合概率密度函數(shù)值).即使在前面幾個迭代階段能找到一些靠近真實極限狀態(tài)曲線的新訓(xùn)練點，但在后續(xù)階段中，也可能使搜索方向急劇偏離，去選擇一些毫無價值的訓(xùn)練點.換言之，其在全局和局部搜索平衡性處理方面有所欠缺，不具有一般性.

針對上述問題，文中提出了基于ISC-Kriging改進響應(yīng)面法，采用Kriging作為代理模型，結(jié)合MC抽樣，避免在隨機變量分布概率密度很小的區(qū)域選樣，充分利用優(yōu)秀的預(yù)測值估計性能及獨有的MSE估計能力，借鑒優(yōu)化算法EGO的序貫抽樣更新模型思想，分階段定義不同的ISC以確保選樣搜索方向和效率，完美地將Kriging擬合、MC抽樣、Bayesian序貫更新思想、ISC準(zhǔn)則選樣以及可靠度計算結(jié)合起來.最后還將所提的基于ISC-Kriging改進響應(yīng)面法應(yīng)用于橋梁結(jié)構(gòu)的動力可靠度求解中，其中采用線性過濾器-脈沖響應(yīng)法離散隨機地震激勵作用荷載[13]，同時根據(jù)首次超越動力可靠度問題定義相應(yīng)的極限狀態(tài)方程，完成橋梁的動力可靠度求解.

1Kriging 模型簡介

Kriging模型分為標(biāo)準(zhǔn)-Kriging和范-Kriging，這里采用范-Kriging(為方便起見，以下一律簡稱為Kriging)，Kriging模型一般表達(dá)式為

(1)

式中，f(x)、β、p分別為回歸多項式函數(shù)、回歸系數(shù)以及回歸函數(shù)項數(shù).z(x)是一個服從正態(tài)分布N(0,σ2)、協(xié)方差不為零的隨機過程，假設(shè)樣本點之間的相關(guān)函數(shù)為R，θ為R的參數(shù)，則z(x)的協(xié)方差矩陣如下:

(2)

進而可得到某個樣本x的預(yù)測值、預(yù)測均方差：

(3)

φ(x)=σ2(1+vT(FTR-1F)-1v-rTR-1r)

(4)

(5)

2序貫抽樣及ISC準(zhǔn)則定義

序貫抽樣分析是指一次取一個樣本進行觀測,每次觀測之后都通過損失函數(shù)、風(fēng)險函數(shù)計算后作出決策,或者停止抽樣(并選定了行為),或者再進行另一觀測，其實質(zhì)上是一種Bayesian理論算法.EGO算法作為其在全局優(yōu)化算法中的一個典型，以期望改進函數(shù)(EI)作為ISC準(zhǔn)則，取其值為目標(biāo)函數(shù),選擇使其最大的點作為后續(xù)樣本點并更新代理模型.

一旦建立一個初始代理模型，接下來便要確定后續(xù)訓(xùn)練樣本，這些后續(xù)訓(xùn)練樣本的選擇可通過一些簡單的輔助性準(zhǔn)則函數(shù)的最優(yōu)化來完成，這些準(zhǔn)則可被稱作ISC，而這一概念等同于Bayesian分析中的風(fēng)險函數(shù)或損失函數(shù).ISC一般根據(jù)功能應(yīng)用不同來定義(如圖1所示)，大部分以未知樣本的預(yù)測值和預(yù)測均方差這兩項為主要表達(dá)式，如ISC1、ISC2.ISC1以最小預(yù)測值為優(yōu)化目標(biāo)進行局部搜索，ISC2以最大預(yù)測均方差為優(yōu)化目標(biāo)進行全局搜索.ISC3稱為Kushner準(zhǔn)則，包含了預(yù)測值和預(yù)測均方差，具有局部和全局搜索功能.改進因子ε的主要作用是調(diào)節(jié)局部和全局搜索的平衡性，增大ε值可使搜索更偏向全局方向;fbest為前一階段的擬合函數(shù)最優(yōu)值.

圖1各種ISC表達(dá)式及示意圖

Fig.1ISC expression and its schematic diagram

3基于ISC最優(yōu)化的改進序貫抽樣響應(yīng)面法

3.1　采用MC模擬抽樣

采用MC模擬抽樣技術(shù)，主要考慮其有以下幾個技術(shù)優(yōu)勢：①利用ISC準(zhǔn)則優(yōu)化選取后續(xù)訓(xùn)練樣本點時，目前主流的尋優(yōu)算法基本采用DIRECT[14]、fmincon(Matlab工具函數(shù))等在整個區(qū)域進行全局搜索的優(yōu)化算法，由于這些算法并不具有一般性，針對不同問題時，效果時好時壞，精度無法保證.而采用以MC模擬樣本作為候選點時，只需利用擬合的代理模型在這些候選點中進行簡單的ISC函數(shù)計算，不但能得到符合實際分布的最優(yōu)點，其計算效率也將大大提高；②結(jié)合MC模擬抽樣可直接利用擬合好的代理模型進行MC可靠度模擬計算，既保證了計算效率又能保證精度；③采用MC模擬抽樣可以使后續(xù)從MC樣本中產(chǎn)生的新增訓(xùn)練樣本按照變量概率密度分布產(chǎn)生，使樣本點避免落入隨機變量分布概率密度很小的區(qū)域(那些區(qū)域?qū)煽慷扔嬎銕缀鯖]貢獻(xiàn)和影響).

3.2　ISC準(zhǔn)則改進優(yōu)化策略

(1)目前ISC準(zhǔn)則采用的往往是預(yù)測值和預(yù)測均方差組合的形式.但如前文所述，這種組合形式往往無法在局部和全局之間做到有效的平衡，其效果和抽樣搜索界限和樣本擬合質(zhì)量有很大關(guān)系，候選樣本點的搜索方向有可能偏離預(yù)定軌道，具有特定性，不能解決一般性問題.而基于MC模擬的可靠度計算中，重點關(guān)注的是失效和安全界限曲線附近區(qū)域的擬合精確性，因此在前期，初步應(yīng)盡量將抽樣搜索界限定位在極限狀態(tài)方程曲線附近區(qū)域，提高該區(qū)域的樣本擬合質(zhì)量，接著優(yōu)先考慮預(yù)測絕對值較低的樣本點，而不考慮預(yù)測不確定性較高的點(即只通過ISC1準(zhǔn)則選取樣本點)，最后再綜合考慮局部性和整體性.換言之，將序貫抽樣迭代過程分成3個大的階段：第1階段采用失效域的初始樣本點和安全域初始樣本點，以目標(biāo)函數(shù)值為0進行相互插值；第2階段采用搜索預(yù)測值較小的準(zhǔn)則；第3階段采用組合形式準(zhǔn)則.

(6)

或

(7)

示例1y(x)=-sin(x)-ex/100+1.

從圖2中可知，通過上述改進方法，可有效地將新樣本點定位在函數(shù)值絕對值為0的附近區(qū)域.

(4)相應(yīng)地，在第2階段，文中對ISC1準(zhǔn)則改進后的形式如下：

(8)

在此將改進后的式(8)稱為ISCR1.在第3階段，文中采用Kushner準(zhǔn)則——ISC3，同樣對其加以改進以便更好地適用于可靠度計算：

(9)

示例2下面考慮一個具有極高非線性的問題：

G(x1,x2)=e1+x1-x2+e5-5x1-x2-1=0.

函數(shù)三維網(wǎng)格圖如圖3所示，變量x1、x2為獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.該算例的極限狀態(tài)曲線由于具有極高非線性，一般響應(yīng)面法無法收斂.

圖3　迭代過程中的ISC函數(shù)及新增樣本點示意圖

初始訓(xùn)練點數(shù)選為16.圖3給出了迭代過程中ISC準(zhǔn)則函數(shù)示意圖和新增訓(xùn)練點以及Kriging模擬的極限狀態(tài)方程曲線的變化.從圖中可知，如同文中方法設(shè)想的一樣，隨著迭代的進行，在ISC準(zhǔn)則的引導(dǎo)下，模型迅速得到改善.由于將初始變量抽樣界限設(shè)置得較為寬廣，初步試驗設(shè)計訓(xùn)練樣本點較為分散，且靠近真實極限狀態(tài)曲線附近的點不多，而通過第1主階段的插值方法，可有效將樣本點盡量往真實極限狀態(tài)曲線附近靠攏，如圖3(a)所示，和預(yù)想的一致.圖3(b)表示的是第3次迭代的第2主階段ISCR1準(zhǔn)則引導(dǎo)下的新樣本點選取，目的是先選預(yù)測絕對值最低的樣本點，即先將搜索范圍圈在極限狀態(tài)曲線附近，避免了一開始可能搜索方向出錯而導(dǎo)致浪費計算時間.圖3(c)、3(d)表示的是第8次迭代及結(jié)束時第3主階段ISCR2準(zhǔn)則引導(dǎo)下的新樣本點選取，有了前面兩個階段的鋪墊，在第3主階段通過先局部后全局的搜索，使迭代迅速得到了收斂.

4地震隨機激勵下的動力可靠度計算

4.1　平穩(wěn)激勵過程離散

為便于可靠度計算，首先需將地震隨機激勵過程按時間軸離散為一系列隨機變量，這里采用線性過濾器-脈沖響應(yīng)法[1,13]，線性過濾器-脈沖響應(yīng)法不但效率高而且有實際物理意義，能較好地應(yīng)用于地震隨機過程的離散.

假設(shè)一高斯過程f(t)(均值為μ(t))離散后的表達(dá)式為

(10)

(11)

其中，S0為白噪聲的功率譜密度，hf(t)為線性過濾器的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，主要通過建立單自由度振子在脈沖激勵的動力響應(yīng)來得到[13]：

(12)

其中,ωf、ξf為線性過濾器的自振頻率和阻尼比.

4.2　考慮非平穩(wěn)性

由于地震激勵具有典型的非平穩(wěn)特征，因此需考慮地震激勵的非平穩(wěn)性，文中通過調(diào)制函數(shù)來模擬地震激勵的非平穩(wěn)性，即將式(12)乘以調(diào)制函數(shù)gk(t)，并按照線性過濾器的數(shù)目累和：

(13)

采用的調(diào)制函數(shù)為

g(t)=b1tb2e-b3t

(14)

示例3某個白噪聲地震隨機激勵過程，假設(shè)功率譜密度S0=0.071 9 m2/s3，線性過濾器個數(shù)為2,參數(shù)為：ωf1=62.83，ωf2=31.415,ξf=0.05，相應(yīng)的調(diào)制函數(shù)參數(shù)b1、b2、b3分別為{[0.003 5,10,2.5]，[0.14,5,1.9]}.激勵持續(xù)的時間為T∈[0，10]s，離散間隔為Δt=0.1 s，調(diào)制函數(shù)及離散后得到的變量樣本值示意圖如圖4、圖5所示.

圖4調(diào)制函數(shù)示意圖

Fig.4Schematic diagram of modulation functions

圖5　地震隨機激勵過程離散樣本示意圖

Fig.5Schematic diagram of discrete sample of seismic random excitation

4.3　算法流程

將前文的改進序貫抽樣響應(yīng)面法應(yīng)用到動力可靠度計算中的算法流程如下：

步驟1確定地震隨機激勵過程，并通過線性過濾器-脈沖響應(yīng)法將其離散為各個時間段的隨機變量,得到隨機變量初始訓(xùn)練樣本S0′，初始訓(xùn)練樣本點數(shù)量一般取N×d，N取5~10，d為變量數(shù)；

步驟2根據(jù)S0′，利用動力時域法計算其對應(yīng)的響應(yīng)值，由此得到具有輸入、輸出映射關(guān)系的初始訓(xùn)練樣本點，選取失效域和安全域內(nèi)的點進行內(nèi)插，得到靠近極限狀態(tài)曲線附近的新樣本點(S0″，初始樣本更新為S0=S0′+S0″)，并同時計算其對應(yīng)的真實函數(shù)值；

步驟7迭代結(jié)束，得到最終結(jié)果.

5數(shù)值算例

5.1　數(shù)值可靠度算例

結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為

變量x1、x2為獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求解結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo).該算例的MC抽樣樣本個數(shù)為5×105.初始訓(xùn)練點數(shù)選為5.圖6給出了迭代過程中新增訓(xùn)練點以及Kriging模擬的極限狀態(tài)方程曲線的變化，從圖中可知，前期迭代階段的插值策略收到了預(yù)想效果，后期迭代階段在ISC準(zhǔn)則引導(dǎo)下，選取了靠近極限狀態(tài)曲線附近區(qū)域以及預(yù)測不確定性高區(qū)域的點，同樣忽略了那些我們并不關(guān)心的隨機變量分布概率密度很小的區(qū)域(見圖7).此算例迭代了6次(見圖8)達(dá)到收斂要求，最后得到的失效概率為Pf=3.495 6×10-2，可靠指標(biāo)β= 1.812 5，總共進行了15次結(jié)構(gòu)計算.參照表1所列各種方法的結(jié)果可知，無論在精度還是效率方面，文中方法都表現(xiàn)出了非常優(yōu)異的性能.

圖6　迭代過程中新增樣本點示意圖

Fig.6Schematic diagram of new sample points during the iterative process

圖7真實和擬合極限狀態(tài)方程曲線比較

Fig.7Comparison of real and approximate curves of LSF

圖8　可靠度計算迭代過程(算例1)

5.2　實橋動力可靠度算例

以某大跨度懸索橋[15]為工程背景，該橋縱向布置為70 m+132 m+328 m+132 m+70 m，中跨、邊跨矢跨比分別為1/5、1/12.4，橫向?qū)?5 m，加勁梁為扁平閉口鋼箱梁，單箱3室，全橋采用平行雙主纜形式，主纜由37束預(yù)制索股構(gòu)成單纜，預(yù)制索股由127絲φ5.1 mm鍍鋅高強鋼絲組成，吊索型式為上銷下錨式預(yù)制平行索股，吊索間距9 m，全橋共 122對吊索.主塔采用變截面鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，塔柱的截面形式是空心箱形.兩塔柱之間通過橫梁連接，橫梁按預(yù)應(yīng)力構(gòu)件設(shè)計，其截面形式為空心矩形.總體布置見圖9.根據(jù)現(xiàn)場的抽樣數(shù)據(jù)，并結(jié)合檢驗假設(shè)統(tǒng)計方法得到全橋的隨機變量以及統(tǒng)計特性，如表2所示.

表2　全橋隨機變量統(tǒng)計參數(shù)

圖9　大橋總體布置圖(單位：mm)

文中采用前文所述的響應(yīng)面法對橋梁塔柱的關(guān)鍵部位(上塔柱根部)進行了地震動力可靠度分析.地震激勵按Ⅶ度設(shè)防進行模擬，且同時考慮水平和豎向兩個方向激勵，其中假設(shè)豎向激勵為水平方向的一半，隨機激勵離散采用前文所述的線性過濾器-脈沖響應(yīng)法，過濾器參數(shù)和調(diào)制函數(shù)參數(shù)與示例3相同，塔柱的動力破壞模式只考慮承載力首次穿越破壞類型，即：當(dāng)塔柱的內(nèi)力首次穿越極限承載力時便視為已破壞.塔柱按壓彎構(gòu)件考慮，由相關(guān)公式可得塔柱的極限狀態(tài)方程為

(15)

(0

初始訓(xùn)練樣本為180個，MC抽樣樣本個數(shù)為2×105，迭代過程如圖10所示，收斂時共進行了39次迭代，總共需要219次橋梁時域動力分析，最后得到的失效概率為3.358 2×10-3，可靠度指標(biāo)為3.400 9，將文中計算結(jié)果與其他方法進行了比較，結(jié)果見表3.MC模擬抽樣方法計算量非常大，也非常耗時，但其主要目的是為了驗證計算結(jié)果，相比所列其他方法，文中所提方法效率最高,只用了219次動力時域分析，并且精度得到了保證，文中方法是對文獻(xiàn)[1]方法的改進，從表中可知改進的效果比較明顯.綜上可知，文中方法可以有效用于對隨機地震激勵下大跨度復(fù)雜橋梁的地震動力可靠度計算分析.

圖10可靠度計算迭代過程(算例2)

Fig.10Iterative process of reliability calaclation(Case 2)

6結(jié)論

文中借鑒極值優(yōu)化算法中的Bayesian序貫更新思想，根據(jù)Kriging自身的優(yōu)點，結(jié)合MC抽樣，并對ISC準(zhǔn)則加以改進，使之能和可靠度計算完美結(jié)合，提出了基于ISC-Kriging的改進響應(yīng)面法，最后將其應(yīng)用到了大跨度復(fù)雜橋梁的地震動力可靠度計算中，結(jié)果表明：基于ISC-Kriging改進響應(yīng)面法的地震可靠度分析方法可有效模擬橋梁結(jié)構(gòu)的高非線性動力響應(yīng)，并能通過減少結(jié)構(gòu)動力計算次數(shù)大幅壓縮結(jié)構(gòu)動力可靠度計算所需的冗長過程.文中所提方法并未對Kriging模型自身進行優(yōu)化改進，若能進一步加強該方面的研究，將進一步提高計算精度.

表3　可靠度計算結(jié)果對比(算例2)

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Foundation item: Supported by the National Natural Science Foundation of China(51268013)

Seismic Dynamic Reliability Analysis of Bridges Based on

ISC-Kriging Response Surface Method

JiaBu-yuYuXiao-linYanQuan-shengChenZhou

(School of Civil Engineering and Transportation,South China University of Technology,Guangzhou 510640,Guangdong,China)

Abstract:The response surface method is regarded as an effective way to solve the nonlinearity and complexity problems of the seismic reliability of bridges,but it has problems in selecting both agent model types and training samples.In order to solve these problems,an improved sequential sampling response surface method is proposed based on the infill sampling criterion(ISC) optimization method and the Kriging model.In the proposed method,by taking the Kriging model as the agency and by drawing on the Monte Carlo sampling technique,an ISC function,which includes the predictive values of unknown samples and the corresponding MSE,is established by making use of the excellent prediction performance of the Kriging model and its unique ability to estimate the mean square error (MSE).In the iterative phase,by solving the ISC optimization problem,the local and global searches are conducted and then the subsequent training samples are generated sequentially.Finally,the proposed method is utilized to analyze the dynamic reliability of a suspension bridge under random seismic excitation.The results show that the proposed method is of high accuracy and high efficiency.

Key words:bridge;dynamic reliability;infill sampling criterion;sequential sampling;response surface;Kri-ging model;Monte Carlo sampling

文章編號：1000- 565X(2015)10- 0067- 07

作者簡介：鄭尚敏(1984-)，男，博士生，主要從事組合橋梁力學(xué)性能研究.E-mail: lanxiaowenlin@126.com

基金項目：*國家自然科學(xué)基金資助項目(51268013)；交通運輸部科研項目(2011- 318- 775- 680)

收稿日期：2014- 12- 22

中圖分類號：U 448.27

doi:10.3969/j.issn.1000-565X.2015.10.009