基于線性混合模型的風(fēng)險相依信度模型構(gòu)建

李政宵，謝遠濤，蔣 濤

(1.中國人民大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院,北京100872；2.對外經(jīng)濟貿(mào)易大學(xué)a.保險學(xué)院b.金融學(xué)院，北京100029)

0 引言

在許多團體保險業(yè)務(wù)中，保單之間通常具有很強的相關(guān)性，使得傳統(tǒng)信度模型在定價過程中會出現(xiàn)一定的偏差。同時傳統(tǒng)的信度模型運用非參數(shù)估計的方法估計結(jié)構(gòu)參數(shù)，使得在實際運用中誤差偏大。Frees（1999,2001）[1]認為基于縱向數(shù)據(jù)在線性混合模型下的隨機效應(yīng)的最佳線性無偏預(yù)測（BLUP）[2]可以分解出信度因子，并將B-S信度，Jewell分層信度[3]和Hachemeister回歸信度作為混合模型的特例進行實證研究[4]。至此，線性混合模型逐漸代替信度模型成為廣泛使用的經(jīng)驗費率厘定的工具。

本文從傳統(tǒng)統(tǒng)計的思路出發(fā)，擴展了Frees（1999，2001）的研究，認為隨機效應(yīng)和殘差間的相關(guān)性不再局限于特殊的形式。通過引入四種不同的協(xié)方差矩陣，解釋縱向數(shù)據(jù)之中存在的四種不同的相關(guān)結(jié)構(gòu)。本文發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)間的相關(guān)結(jié)構(gòu)會影響信度保費預(yù)測值的表達式。雖然信度預(yù)測值不再以線性形式表出，但是仍然能從理論上分解出信度因子，并滿足信度因子的特性。最后本文運用Hachemeister(1975)的縱向數(shù)據(jù)，探究不同形式協(xié)方差矩陣下隨機效應(yīng)和固定效應(yīng)的估計值以及信度因子的“收縮效應(yīng)”，分析了數(shù)據(jù)間相關(guān)性對信度表達式的影響，為信度模型擴展提供相應(yīng)的理論依據(jù)。

1 線性混合模型

在非壽險精算中經(jīng)驗費率厘定中，信度定價基本的思想是在經(jīng)驗數(shù)據(jù)和整體保單組合信息的基礎(chǔ)上，預(yù)測個體的未來賠款額度。而線性混合模型可以用來對縱向數(shù)據(jù)建模并預(yù)測，固定效應(yīng)包含了個體歷史經(jīng)驗信息，隨機效應(yīng)則用來描述同一風(fēng)險類別下保單的異質(zhì)性（隱藏的風(fēng)險特征）。因此，本文可以將線性混合模型和信度理論結(jié)合起來一起研究。

線性混合模型表示如下：

其中yit表示第i個個體在時間t的數(shù)據(jù)，i=1，2，...，n ，t=1，2，...，T（假設(shè)每個體都包含T 個觀察值），xit為固定效應(yīng)解釋變量，zit為隨機效應(yīng)解釋變量

矩陣形式表示如下：

y=Xβ+Zu+ε

其中殘差和隨機效應(yīng)滿足下述假定：

（1）E(εi)=0 Var(εi)=Ri

（2）ui為隨機變量，期望與方差表示為 E(ui)=0,Var(ui)=Di

（3）殘差與隨機效應(yīng)獨立，即 Cov(εi，ui)=0

響應(yīng)變量y的協(xié)方差矩陣由兩部分構(gòu)成：殘差的協(xié)方差矩陣R以及隨機效應(yīng)的協(xié)方差矩陣ZDZ'。固定效應(yīng)值影響y的期望值，隨機效應(yīng)只影響y的方差，衡量了數(shù)據(jù)間的離散程度。在信度理論中，固定效應(yīng)可以解釋為索賠平均值，信度預(yù)測值在均值的基礎(chǔ)上通過隨機效應(yīng)進行調(diào)整。為了研究方便，本文假設(shè) y的方差為：Var(y)=V=ZDZ'+R。因此響應(yīng)變量 y服從期望為Xβ，方差為V 的多元分布，即 y～(Xβ，V)。

2 風(fēng)險相依的信度模型

2.1 信度模型預(yù)期保費

保險數(shù)據(jù)的形式通常以縱向數(shù)據(jù)為主。下面根據(jù)線性混合模型的基本假定，建立縱向數(shù)據(jù)模型。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為平衡數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（Balanced data），即每個單位個體有相同的觀察值，將個體記為 i（i=1，2，...，n），觀察值個數(shù)記為 j（T=1，2，...，T）。

第i個單位觀察值矩陣記為：

2.2 風(fēng)險相依的信度模型

2.2.1 風(fēng)險個體i之間獨立不相關(guān)

此時，隨機效應(yīng)相關(guān)系數(shù)滿足ρu=0。y的方差矩陣簡化為

2.2.2 個體間獨立不相關(guān)，并且單位個體在不同時間上的觀察值也不相關(guān)。

此時滿足隨機效應(yīng)之間的相關(guān)系數(shù)ρu=0，殘差的協(xié)方差矩陣滿足：

2.2.3 個體之間獨立不相關(guān)，即ρu=0。但是特定的風(fēng)險個體在不同時間上的觀察值存在相關(guān)性。

殘差的協(xié)方差矩陣表示為

綜上所述，本文考慮了以上四種數(shù)據(jù)間的相關(guān)性情況，認為如果個體間和個體歷史觀察值之間都分別不相關(guān)，用線性混合模型得到的預(yù)測值可以分解為標準的Bühlmann信度公式,見表1。歷史觀察值之間的相關(guān)性會導(dǎo)致隨機效應(yīng)的方差減??；相關(guān)性越高，個體之間的風(fēng)險同質(zhì)性越強，賦予其他個體間信息的權(quán)重越高；反之，相關(guān)性越低，個體之間風(fēng)險異質(zhì)性越強，賦予個體歷史經(jīng)驗數(shù)據(jù)的信息的權(quán)重越高。另外，不同個體之間的相關(guān)性也會影響信度預(yù)測值的表達值。雖然信度預(yù)測值不能分離出信度因子的表達式，但預(yù)測值仍然可以看作個體歷史數(shù)據(jù)信息和組合信息根據(jù)權(quán)重進行調(diào)整，該權(quán)重從廣義上仍然可以解釋為信度因子。

2.3 特例B-S信度公式

本文探討了數(shù)據(jù)在組間和組內(nèi)都不相關(guān)的假設(shè)下，估計結(jié)果可以由Bühlmann信度公式完全表示出。下面，沿著協(xié)方差矩陣形式（2）：個體間獨立不相關(guān)，不同觀察值間殘差也不相關(guān)，將索賠頻率作為殘差協(xié)方差的權(quán)重引入線性混合模型模型中，殘差協(xié)方差矩陣形式調(diào)整為：

B-S信度公式不同于傳統(tǒng)Bühlmann信度公式在于：引入索賠頻率作為殘差協(xié)方差矩陣的權(quán)重后，信度因子不再是單一的值，而是隨著個體i的不同而不同，即滿足不同個體i都存在一個信度因子zi，對該個體的經(jīng)驗數(shù)據(jù)和分類費率進行調(diào)整。

2.4 實證分析

數(shù)據(jù)集包含美國6個州、12個月的汽車索賠強度和索賠次數(shù)的縱向數(shù)據(jù)。在線性混合模型的框架下，將每個州視為一個單位個體i，每個個體的觀察值T=12。本文選擇特例的B-S信度公式作為模型，引入索賠頻率對殘差協(xié)方差矩陣調(diào)整。

運用SAS統(tǒng)計軟件進行參數(shù)和方差估計，利用SAS中協(xié)方差矩陣（UN）的設(shè)定，在受限極大似然估計（REML）的估計方法下，得到固定效應(yīng)的估計值（BLUE）和隨機效應(yīng)的預(yù)測值（BLUP）（見表2）。

Frees（2001）指出通常情況下，信度因子具有“收縮效應(yīng)”：個體經(jīng)驗信息在信度預(yù)測值計算中起決定性作用，整體信息只是通過很小的權(quán)重進行調(diào)整，使得整體信息的定價作用收縮。根據(jù)實證結(jié)果，本文將得到的實際信度預(yù)測值與個體經(jīng)驗信息（完全信度預(yù)測值）相比較，信度因子基本達到90%以上，即認為實際信度值與完全信度值存在較小差異。信度因子的“收縮效應(yīng)”（shrinkage effect）見圖1。

表1 風(fēng)險相依的信度模型

表2 估計值和信度因子

3 結(jié)論

圖1 信度因子收縮效應(yīng)

Frees（1997）通過線性混合模型模型推導(dǎo)出了4種著名的信度公式：Bühlmann信度，B-S信度，Hachemeister回歸信度和Jewell分層信度。但是其研究結(jié)果都是基于個體組間和組內(nèi)相互獨立且不相關(guān)的假設(shè)。本文的創(chuàng)新點在于引入了4種協(xié)方差矩陣的形式建立組間和組內(nèi)觀察值的相關(guān)性，探討了信度因子的不同表達形式，驗證了B-S信度下的線性混合模型模型分解出的信度因子的收縮特性。本文發(fā)現(xiàn)個體間的相關(guān)性會影響信度因子的表達式形式，即如果相互獨立，信度因子可以分離出與Bühlmann信度相似的表達式；反之，相關(guān)系數(shù)會對信度因子表達式進行調(diào)整，但仍然滿足信度因子的根本性質(zhì)。另外一方面，殘差在個體觀察值之間的相關(guān)性會增加個體風(fēng)險同質(zhì)性的假設(shè)，使得信度因子減小，而從將更多的權(quán)重賦予其他個體的信息。

以上研究都是基于線性混合模型，由于考慮數(shù)據(jù)之間的非線性關(guān)系以及存在的右尾情況，將線性混合模型擴展到廣義線性混合模型（GLMMs）并嘗試分解出信度因子中是今后的研究方向。沿著隨機效應(yīng)和殘差協(xié)方差矩陣的思路，通常認為引入copula回歸的結(jié)果比普通回歸的結(jié)果誤差更小，今后可以考慮用copula來研究個體間的相關(guān)性和個體觀察值之間的相關(guān)性，并構(gòu)建相應(yīng)的信度模型。

[1]Edward W.Frees,Virginia,Yu Luo.A Longitudinal Data Analysis Interpretation of Credibility Models[J].Insurance:Mathematics and Economics,1999,24(3).

[2]G.K.Robinson.That BLUP is a Good Thing:The Estimation of Random of effects,with Discussion[J].Statistical Science,1991,6(1).

[3]Jewell,W.S..The use of collateral data in credibility theory:a hierarchical model[J].Giornale dell'Instituto Italiano degli Attuari,1975,（38）.

[4]Edward W.Frees,Virginia,Yu Luo,Case studies using panel data models[J].North American Actuarial Journal,2001,5(4).