基于海明距離和TOPSIS的直覺(jué)模糊數(shù)排序法

譚吉玉，朱傳喜，張小芝，朱 麗

（南昌大學(xué)理學(xué)院，南昌330031）

0 引言

Atanassov于1983年對(duì)傳統(tǒng)的模糊集進(jìn)行了拓展，提出了直覺(jué)模糊集[1,2]的概念。由于直覺(jué)模糊集同時(shí)考慮了隸屬度、非隸屬度和猶豫度三方面的信息，因此，它比傳統(tǒng)的模糊集能夠更細(xì)膩地描述和刻畫(huà)客觀世界的模糊本質(zhì)。Gau和Buehrer[3]定義了Vague集的概念。但是Bustince和Burillo[4]指出Vague集實(shí)質(zhì)上就是直覺(jué)模糊集。直覺(jué)模糊集理論自提出以來(lái)，受到了學(xué)者們的極大關(guān)注，并已廣泛應(yīng)用于決策分析、醫(yī)療診斷、模式識(shí)別等諸多領(lǐng)域。徐澤水研究了決策者對(duì)方案有偏好的直覺(jué)模糊多屬性決策問(wèn)題[5]。定義了加型一致性直覺(jué)判斷矩陣和積型一致性直覺(jué)判斷矩陣等概念,并且分別利用兩種轉(zhuǎn)換函數(shù)建立了簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃模型,給出了一種直覺(jué)模糊環(huán)境下對(duì)方案有偏好的多屬性決策途徑.Szmidt和Kacprzyk[6]基于直覺(jué)模糊集的幾何解釋提出了直覺(jué)模糊集的距離測(cè)度，結(jié)果表明在計(jì)算直覺(jué)模糊集的距離時(shí)，第三個(gè)參數(shù)即猶豫度不能省去，否則會(huì)導(dǎo)致不準(zhǔn)確的結(jié)果?；谥庇X(jué)模糊集的幾何解釋模型，Szmidt和Kacprzyk[7]還提出了非概率型直覺(jué)模糊集的熵測(cè)度公式。Li和Cheng[8]提出了直覺(jué)模糊集的相似性測(cè)度并應(yīng)用于模式識(shí)別。

在直覺(jué)模糊多屬性決策問(wèn)題中，直覺(jué)模糊數(shù)的排序起著非常重要的作用。Chen and Tan[9]提出了直覺(jué)模糊數(shù)得分函數(shù)的概念。后來(lái),Hong和Choi[10]指出得分函數(shù)有時(shí)候無(wú)法區(qū)分兩個(gè)明顯不同的直覺(jué)模糊數(shù)，如（0.6,0.3）與（0.5,0.2），它們的得分函數(shù)都是0.3，為了解決這種無(wú)法比較的問(wèn)題，他們提出了精確函數(shù)的概念。然而，基于得分函數(shù)和精確函數(shù)的比較方法，得分函數(shù)處于絕對(duì)優(yōu)先的地位，迫使得分函數(shù)小一點(diǎn)點(diǎn)，而精確函數(shù)大很多的直覺(jué)模糊數(shù)較小，如A=(0.5,0.3)和 B=(0.4,0.1999)(見(jiàn)文獻(xiàn)[11])。直覺(jué)模糊數(shù)的排序問(wèn)題引起了國(guó)內(nèi)學(xué)者的濃厚興趣，提出了各種各樣的新的得分函數(shù)。本文從完全贊成(正理想點(diǎn))和完全反對(duì)(負(fù)理想點(diǎn))兩個(gè)極端直覺(jué)模糊數(shù)進(jìn)行分析，引入傳統(tǒng)的TOPSIS思想，分別計(jì)算任意一個(gè)直覺(jué)模糊數(shù)與正理想點(diǎn)和負(fù)理想點(diǎn)的海明距離，然后計(jì)算相對(duì)于正理想點(diǎn)的相對(duì)貼近度，相對(duì)貼近度大的直覺(jué)模糊數(shù)就較大?；谛碌呐判蛑笜?biāo)，利用直覺(jué)模糊優(yōu)先加權(quán)平均算子(IFPWA)算出其關(guān)聯(lián)屬性權(quán)重向量，進(jìn)而計(jì)算各備選方案的集結(jié)結(jié)果，對(duì)最終的集結(jié)結(jié)果運(yùn)用新的排序指標(biāo)進(jìn)行排序和擇優(yōu)，最后，通過(guò)實(shí)例說(shuō)明了該方法的有效性。

1 直覺(jué)模糊集的基本理論

定義1[1,2]設(shè)X是一個(gè)非空集合，X上的直覺(jué)模糊集定義為

其中μA(x)和νA(x)分別為X中元素x屬于A隸屬度和非隸屬度，即

并且對(duì)任意的x∈X，有 0≤μA(x)+νA(x)≤1.另外πA(x)=1-μA(x)-νA(x)表示X中元素x屬于A的猶豫度。

定義2[9]設(shè)α=(μ，ν)為一個(gè)直覺(jué)模糊數(shù)，則稱：

為α的得分函數(shù)，其中s(α)∈[-1，1]。

定義3[10]設(shè)α=(μ，ν)為一個(gè)直覺(jué)模糊數(shù)，則稱：

為α的精確函數(shù),其中h(α)∈[0，1].

定義4[12]設(shè)αj=(μj，νj)(j=1，2，...，n)為一組直覺(jué)模糊數(shù)，且設(shè)IFPWA:Θn→Θ，

定義5[6]設(shè)X={x1，x2，...，xn},A和B為定義在X上的直覺(jué)模糊集，則A和B之間的標(biāo)準(zhǔn)海明距離定義為：

2 直覺(jué)模糊數(shù)的排序指標(biāo)

為了方便起見(jiàn)，稱α=(μ，ν)為直覺(jué)模糊數(shù)．記Θ為全體直覺(jué)模糊數(shù)的集合，顯然,α+=(1，0)是最大的直覺(jué)模糊數(shù),α-=(0，1)是最小的區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)。對(duì)任意一個(gè)直覺(jué)模糊數(shù)α=(μ，ν),有α-≤α≤α+。由定義1.5，我們可以計(jì)算任意一個(gè)直覺(jué)模糊數(shù)α=(μ，ν)與最大直覺(jué)模糊數(shù)α+=(1，0)和最小直覺(jué)模糊數(shù)α-=(0，1)的標(biāo)準(zhǔn)海明距離，我們分別用d+和d-來(lái)表示：

基于TOPSIS原理，我們給出任意一個(gè)直覺(jué)模糊數(shù)α相對(duì)于最大的直覺(jué)模糊數(shù)α+的相對(duì)貼近度的概念。

定義6設(shè)α=(μ，ν)為一個(gè)直覺(jué)模糊數(shù)，d+和d-分別為α與α+=(1，0)和α-=(0，1)之間的標(biāo)準(zhǔn)海明距離，則α相對(duì)于最大的直覺(jué)模糊數(shù)α+的相對(duì)貼近度為：

顯然，C(α)的值越大，直覺(jué)模糊數(shù)α就越大。

性質(zhì)1設(shè)α=(μ，ν)為一個(gè)直覺(jué)模糊數(shù)，C(α)具有如下性質(zhì)。

（1）C(α)∈[0，1]，且C(α+)=1，C(α-)=0;

（2）當(dāng)直覺(jué)模糊數(shù)α退化為普通的模糊數(shù)，即μ+v=1時(shí)，C(α)=μ；

（3）C(α)+C(αC)=1，αC為α的補(bǔ)集。

定理1直覺(jué)模糊數(shù)的貼近度C(α)隨著隸屬度μ的增加而增加，隨著非隸屬度ν的增加而減小。

定理2直覺(jué)模糊數(shù)的貼近度C(α)同時(shí)蘊(yùn)含了得分函數(shù)和精確函數(shù)的排序原理。

證明：將函數(shù)f(μ，ν)改寫(xiě)為：，將得分函數(shù)s=μ-ν代入函數(shù)中得，，則f(μ，s)關(guān)于得分函數(shù)s的增函數(shù).即直覺(jué)模糊數(shù)的得分值越大，f(μ，ν)的值也越大。

將函數(shù)f(μ，ν)改寫(xiě)為，當(dāng)?shù)梅趾瘮?shù)相等，即μ-ν是某一個(gè)常數(shù)時(shí)，將h=μ+v代入函數(shù)得，說(shuō)明當(dāng)?shù)梅趾瘮?shù)相等時(shí)，f(μ，ν)是關(guān)于精確函數(shù)h的增函數(shù)。

綜上所述，直覺(jué)模糊數(shù)的貼近度將隨著隸屬度的增加而增加，隨著非隸屬度的增加而減??；隨著得分函數(shù)的增加而增加，當(dāng)?shù)梅趾瘮?shù)一樣時(shí)，又會(huì)隨著精確函數(shù)的增加而增加.因此，直覺(jué)模糊數(shù)的新的排序指標(biāo)能蘊(yùn)含得分函數(shù)和精確函數(shù)的排序原理，克服了應(yīng)用得分函數(shù)和精確函數(shù)的排序法中得分函數(shù)處于絕對(duì)優(yōu)先地位的不足。

3 屬性間具有優(yōu)先級(jí)別關(guān)系的直覺(jué)模糊多屬性決策方法

對(duì)于某個(gè)屬性間具有優(yōu)先級(jí)別關(guān)系的直覺(jué)模糊多屬性決策問(wèn)題，設(shè)有m個(gè)備選方案A={A1，A2，...，Am},其中Ai表示第i個(gè)決策方案;決策方案的屬性集合為G={G1，G2，...，Gn},屬性間具有優(yōu)先序關(guān)系:G1＞G2＞...＞Gn。方案Ai(i=1，2，...，m)在屬性Gj(j=1，2，...，m)下的屬性值為直覺(jué)模糊數(shù),用αij=(μij，νij)表示,滿足0≤μij≤1,0≤νij≤1,且μij+νij≤1。其中μij表示方案Ai對(duì)屬性Gj的滿足程度。νij表示方案Ai對(duì)屬性Gj的不滿足程度。收集所有決策信息可以建立直覺(jué)模糊決策矩陣D=(αij)m×n。下面給出求解屬性間具有優(yōu)先級(jí)別關(guān)系的直覺(jué)模糊多屬性決策問(wèn)題的具體步驟：

步驟 1由式(5)計(jì)算αij(i=1，2，...，m;j=1，2，...，n)的貼近度作為αij的得分。

步驟2計(jì)算Tij的值如下：

步驟3用直覺(jué)模糊優(yōu)先加權(quán)平均(IFPWA)算子集結(jié)所有的αij(j=1，2，...，n)。

步驟4 由公式(5)計(jì)算各方案集結(jié)結(jié)果αi(i=1，2，...，m)的貼近度。

步驟5按各方案集結(jié)結(jié)果的貼近度大小對(duì)備選方案進(jìn)行排序和擇優(yōu)。

4 實(shí)例分析

考慮一個(gè)家庭欲購(gòu)買一臺(tái)冰箱，現(xiàn)有五種品牌冰箱Ai(i=1，2，3，4，5)可供選擇，用戶選取了六項(xiàng)指標(biāo)作為選擇購(gòu)買哪一款冰箱的標(biāo)準(zhǔn)。即為：G1:安全性;G2:制冷性能;G3:結(jié)構(gòu)性;G4:可靠性;G5:經(jīng)濟(jì)性;G6:美觀性。且六項(xiàng)指標(biāo)間具有優(yōu)先序關(guān)系:G1＞G2＞G3＞G4＞G5＞G6。用戶通過(guò)對(duì)五種品牌冰箱在各評(píng)價(jià)指標(biāo)下的滿意度和不滿意度得到直覺(jué)模糊決策信息矩陣D=(αij)5×6(見(jiàn)表1)。下面由本文所提出的方法確定最佳選擇。

表1 直覺(jué)模糊決策矩陣D

步驟1由式（6）計(jì)算αij(i=1，2，...，m;j=1，2，...，n)的貼近度作為αij的得分,如

表2 得分矩陣S

步驟2用式（7）和（8）計(jì)算Tij的值，結(jié)果如下:

步驟3用(9)式集結(jié)所有直覺(jué)模糊數(shù)得到各備選冰箱的綜合直覺(jué)模糊數(shù)，如：

步驟4由公式（5）計(jì)算各方案集結(jié)結(jié)果αi(i=1，2，...，m)的貼近度,如

步驟5根據(jù)第四步的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行排序,即五種品牌冰箱的綜合排名為：

A2＞A4＞A3＞A1＞A5.因此,A2為最佳選擇。

5 結(jié)論

基于直覺(jué)模糊集的海明距離,結(jié)合傳統(tǒng)的TOPSIS思想,提出了一種新的直覺(jué)模糊數(shù)的排序指標(biāo).新的排序指標(biāo)能夠蘊(yùn)含傳統(tǒng)得分函數(shù)和精確函數(shù)的排序原理,克服了傳統(tǒng)排序方法中得分函數(shù)處于絕對(duì)優(yōu)先地位的不足。基于新的排序指標(biāo),利用直覺(jué)模糊優(yōu)先加權(quán)平均算子(IFPWA),提出了一種屬性間具有優(yōu)先級(jí)別關(guān)系的直覺(jué)模糊多屬性決策方法。最后,通過(guò)實(shí)例分析驗(yàn)證了所提出方法的有效性。

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