考慮摩擦?xí)r梁斜碰撞的數(shù)值計(jì)算

蒲軍平，陳　軼

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，浙江 杭州 310014；2.浙江省工程結(jié)構(gòu)與防災(zāi)減災(zāi)技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310014)

考慮摩擦?xí)r梁斜碰撞的數(shù)值計(jì)算

蒲軍平1,2，陳軼1

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，浙江 杭州 310014；2.浙江省工程結(jié)構(gòu)與防災(zāi)減災(zāi)技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310014)

摘要：基于二維動(dòng)接觸碰撞理論推導(dǎo)出細(xì)長(zhǎng)梁斜碰撞的數(shù)值遞推表達(dá)式,討論了不同初始入射角度對(duì)斜碰撞的影響,采用Bochet根據(jù)鋼軌滑動(dòng)的摩擦系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式,對(duì)其中的切向接觸模型中的摩擦力做了修正,將計(jì)算結(jié)果與采用庫(kù)倫摩擦理論的計(jì)算結(jié)果做了對(duì)比，結(jié)果表明：切向摩擦力對(duì)法向位移的影響與初始入射角度有關(guān)，采用兩種不同的摩擦力模型所得到的梁的動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果有明顯的差異.

關(guān)鍵詞：梁；斜碰撞；摩擦；數(shù)值方法

中圖分類號(hào)：O328; TU311.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1006-4303(2015)01-0062-04

Numerical calculation for frictional collision between

an oblique beam and a simply supported beam

PU Junping1,2, CHEN Yi1

(1. College of Civil Engineering and Architecture, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310014, China；

2. Zhejiang Key Laboratory of Civil Engineering Structures & Disaster Prevention and

Mitigation Technology of Zhejiang Province, Hangzhou 310014, China)

Abstract:The numerical recurrent expression for the collision between an oblique beam and a simply supported beam is presented based on the theory of two-dimensional dynamic contact in the paper. The different angle effects to the beam-beam collision is discussed, an empirical formula of the frictional coefficient, which was presented by Bochet, is accepted to improve the friction in the tangential contact model. Comparing the results between Coulomb friction theory and the improved collision theory, it is shown that the vertical displacement is related to the variable angle and the horizontal friction. Adopting two kinds of different friction models, the dynamic response of the beam is obviously different.

Keywords:beam； oblique collision； friction； numerical method

碰撞接觸問(wèn)題在動(dòng)力學(xué)中的表現(xiàn)為物體在極短時(shí)間內(nèi)的相互作用，運(yùn)動(dòng)速度將發(fā)生急劇的改變.國(guó)內(nèi)外學(xué)者一直嘗試給出各類接觸問(wèn)題的解析解，然而這些解析解的求解只能限定于極少數(shù)簡(jiǎn)單且規(guī)則的幾何體.從20世紀(jì)70—80年代初以來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究成果主要集中在含碰撞的多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)上，Dubowsky針對(duì)由于間隙引起的連桿機(jī)構(gòu)的碰撞問(wèn)題進(jìn)行了一系列的研究工作[1]，Yigit研究了做大范圍回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的柔性梁與一剛體碰撞的動(dòng)力學(xué)行為[2],到20世紀(jì)80—90年代，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在建模理論、數(shù)值算法等方面做了大量的工作，相繼解決了動(dòng)力剛化、數(shù)值病態(tài)等方面問(wèn)題.Wu SC等首次將動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)方法應(yīng)用于柔性桿和梁的碰撞問(wèn)題[3],Lim等采用有限元方法計(jì)算了圓柱體和固定表面的具有摩擦的斜碰撞問(wèn)題，得到了切向變形和法向變形不協(xié)調(diào)同步的現(xiàn)象[4].近年來(lái)，劉才山，陳濱針對(duì)做大范圍回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)柔性梁與固定斜面發(fā)生的斜碰撞，利用模態(tài)法建立了重力場(chǎng)作用下的柔性梁一致線性動(dòng)力學(xué)方程[5].H.H.Ruan等采用了不同的局部變形模型研究了圓柱體與梁橫向碰撞，得到局部變形對(duì)整體結(jié)構(gòu)變形的影響[6].沈凌杰等采用絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法結(jié)合有限元方法建立了柔性梁的動(dòng)力學(xué)方程，研究了梁點(diǎn)面斜碰撞的問(wèn)題[7].顧金紅等提出了柔性體含摩擦斜碰撞問(wèn)題的混合分析模型法[8].由上述文獻(xiàn)可知：梁作為工程中最基本的構(gòu)件，對(duì)其碰撞問(wèn)題的深入研究很有意義.筆者在采用二維動(dòng)接觸方法的基礎(chǔ)上[9]，借鑒Bochet根據(jù)鋼軌滑動(dòng)的摩擦系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式，對(duì)二維動(dòng)接觸方法中的切向接觸模型中的摩擦力做了修正，探討了當(dāng)梁的初始入射角度發(fā)生變化時(shí)對(duì)簡(jiǎn)支梁的碰撞結(jié)果的影響，并進(jìn)行了數(shù)值模擬計(jì)算.

1碰撞模型

在實(shí)際工程中，許多三維碰撞問(wèn)題當(dāng)在忽略平面應(yīng)變和平面應(yīng)力時(shí)并不顯著影響其結(jié)果，可以簡(jiǎn)化為二維碰撞問(wèn)題來(lái)處理.

1.1模型假定

1) 在整個(gè)碰撞接觸過(guò)程中，構(gòu)件均處于彈性小變形階段，即忽略接觸區(qū)域的彈塑性變化對(duì)碰撞結(jié)果的影響.

2) 構(gòu)件屬于細(xì)長(zhǎng)桿件,即忽略A梁角點(diǎn)先接觸到B梁表面，故可采用梁中性軸碰撞來(lái)近似梁碰撞(圖1).

圖1　斜梁碰撞模型Fig.1　Collision model of an oblique beam with a simply supported beam

1.2動(dòng)接觸公式推導(dǎo)

梁的動(dòng)力響應(yīng)方程為

(1)

其中：M,C和K分別為質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；U為位移向量；F,R,τ分別為已知的外荷載向量和界面動(dòng)接觸引起的接觸法向力和切向力向量.

對(duì)于斜向放置的梁在碰撞接觸過(guò)程中,由于A梁與x方向的夾角隨時(shí)間不斷變化,故協(xié)調(diào)質(zhì)量陣與剛度陣等也將不斷變化,則將式(1)中的各矩陣向量進(jìn)行轉(zhuǎn)置(圖2).

圖2　梁中各單元角度變化示意圖Fig.2　Angle change sketch map for each element in beam

根據(jù)文獻(xiàn)[9]針對(duì)梁的斜碰撞模型，可得p+1時(shí)刻A梁和B梁的位移、速度、碰撞力，其公式分別為

X=A，B

(2)

式中：HA=TM-1(I-(ΔtCM-1)/4)TT； T=diag[T1,T2,…,Ti,…,TN]；M=TMATT；C=TCATT；K=TKATT；F=TFA；τ=TτA；R=TRA；U=TUA.其中:MA, CA, KA, FA, τA,, RA分別為在時(shí)變局部坐標(biāo)系下的物理量；N為A梁的單元數(shù).

i=1,N

在斜碰撞過(guò)程中, A梁必將與B梁的j和j+1節(jié)點(diǎn)之間的某點(diǎn)發(fā)生點(diǎn)對(duì)面接觸，并記接觸點(diǎn)對(duì)為(i,i′)(圖3).若A梁與B梁的某一節(jié)點(diǎn)發(fā)生點(diǎn)對(duì)點(diǎn)碰撞，則屬于點(diǎn)對(duì)面碰撞的特殊情況，這里先討論點(diǎn)對(duì)面接觸這種一般的情況.

圖3　點(diǎn)對(duì)面的接觸模型Fig.3　Contact model for node to surface

將式(2)應(yīng)用于A梁和B梁，有

(3)

(4)

式中的H陣和其他各項(xiàng)參數(shù)為

HA=

HB=

其中：NA，NB分別為A梁與B梁的總體自由度數(shù)目,ξ1=x2/le,ξ2=x1/le.將式(3，4)中接觸部分的各項(xiàng)展開(kāi)，有

(5)

可得碰撞點(diǎn)i′處的切向位移和豎向位移，即

(6)

(7)

1.3關(guān)于摩擦系數(shù)的修正

當(dāng)物體間發(fā)生斜碰撞時(shí)，摩擦對(duì)碰撞過(guò)程的影響顯著，由于接觸過(guò)程中可能存在粘滑現(xiàn)象，僅采用文獻(xiàn)[9]中庫(kù)倫摩擦理論來(lái)分析接觸問(wèn)題顯然已經(jīng)不能滿足工程實(shí)際的要求，文獻(xiàn)[10]也指出了在斜碰撞過(guò)程中，摩擦系數(shù)具有隨著入射角的增大而減小的趨勢(shì).文獻(xiàn)[11]闡述了影響接觸表面摩擦系數(shù)的主要因素，給出了表面相對(duì)滑動(dòng)速度是影響動(dòng)摩擦系數(shù)的一個(gè)重要因素.筆者借鑒Bochet根據(jù)鋼軌滑動(dòng)的摩擦系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式[12]，對(duì)其中的切向接觸模型中的摩擦力做了如下修正：

(8)

將式(8)回代到式(5)可得到碰撞力R，τ,進(jìn)而得到某一時(shí)刻的位移和速度，然后利用式(2)遞推得到整個(gè)碰撞接觸過(guò)程中的位移、速度等物理量.

2算例分析

算例細(xì)長(zhǎng)梁與一簡(jiǎn)支梁發(fā)生斜向碰撞，如圖1所示，B梁表面靜摩擦系數(shù)取0.35，動(dòng)摩擦系數(shù)取0.25.A梁中點(diǎn)至B梁上表面垂直間距為0.1m，A梁沿軸向以初速v0=5m/s，初始角度α與一簡(jiǎn)支B梁發(fā)生斜向碰撞.A梁為正方形截面，長(zhǎng)為2m，截面積為0.01m2，慣性矩為8.3×10-6m4，楊氏模量為E1=6MPa，B梁為矩形截面，截面積為0.02m2，截面慣性矩為，6.67×10-5m4,楊氏模量為E1=6MPa，泊松比為0.47.將A梁劃分為4個(gè)單元 ,B梁劃分為10個(gè)單元，時(shí)間步長(zhǎng)取10-5m.

通過(guò)計(jì)算，得到不同初始入射角度的梁斜碰撞位移曲線，從圖4~6可以看出：A梁與B梁之間發(fā)生了多次的碰撞，碰撞節(jié)點(diǎn)i的最大法向位移有隨著初始入射角度逐漸增大而增大的趨勢(shì).在初始角度為60度時(shí), 分別采用變摩擦系數(shù)理論和庫(kù)倫摩擦理論所得到的碰撞節(jié)點(diǎn)的動(dòng)位移曲線有明顯的不同，當(dāng)初始入射角度逐步變化后，兩者的動(dòng)位移差將有逐步減小的趨勢(shì).

圖4　初始角度為45度Fig.4　The initial angle of 45 degrees

圖5　初始角度為60度Fig.5　The initial angle of 60 degrees

圖6　初始角度為80度Fig.6　The initial angle of 80 degrees

3結(jié)論

通過(guò)建立二維梁動(dòng)接觸碰撞動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)簡(jiǎn)化后的梁的斜碰撞模型進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，研究結(jié)果表明切向摩擦對(duì)梁碰撞的運(yùn)動(dòng)過(guò)程有顯著的影響.隨著初始入射角度不斷增大，摩擦力對(duì)法向位移的影響也逐步增大.采用庫(kù)倫摩擦理論與變摩擦系數(shù)理論對(duì)梁碰撞的過(guò)程做了詳細(xì)的分析，模擬結(jié)果顯示采用兩種不同的摩擦力模型時(shí)，隨著初始入射角度的遞增，碰撞點(diǎn)處的動(dòng)位移差有先增大后減小的趨勢(shì).

參考文獻(xiàn)：

[1]DUBOWSKYS，MARKFM.Anexperimentalandanalyticalstudyofimpactforcesinelasticmechanicalsystemswithclearance[J].OriginalResearchArticleMechanismandMachineTheory,1978,13(4):451-465.

[2]YIGITAS,UISOYAG,SCOTTRA.Spring-dashpotmodelsforthedynamicsofaradiallyrotatingbeamwithimpact[J].OriginalResearchArticleJournalofSoundandVibration,1990, 142(3):363-365.

[3]WUSC,HAUGEJ.Asubstructuretechniquefordynamicsofflexiblemechanicalsystemswithcontact-impact[J].JournalofMechanicalDesign,1990,112(3):390-398.

[4]LIMCT,STRONGWJ.Obliqueelastic-plasticimpactbetweenroughcylindersinplanestrain[J].InternationalJournalofEngineeringScience,1999,37(1):97-122.

[5]劉才山,陳濱.作大范圍回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)柔性梁斜碰撞[J].力學(xué)學(xué)報(bào)，2000，32(4):457-464.

[6]RUANHH,YUTX.Localdeformationmodelsinanalyzingbeam-on-beamcollisions[J].InternationalJournalofMechanicalSciences,2003(45):397-423.

[7]沈凌杰,劉錦陽(yáng),余征躍.柔性梁斜碰撞問(wèn)題的非線性動(dòng)力學(xué)建模和實(shí)驗(yàn)研究[J].力學(xué)季刊，2006,27(4):568-577.

[8]顧金紅.柔性體含摩擦斜碰撞問(wèn)題的混合分析模型法[D].南京：南京理工大學(xué)，2014.

[9]劉書(shū).土木工程中動(dòng)態(tài)接觸問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法及試驗(yàn)研究[D].北京：清華大學(xué)，2000.

[10]呂茂烈.關(guān)于斜碰撞時(shí)的摩擦系數(shù)[J].固體力學(xué)學(xué)報(bào)，1987,3(3):282-284.

[11]林復(fù)生,張啟浩.滑動(dòng)摩擦系數(shù)的實(shí)驗(yàn)室測(cè)定法分析[J].廣西大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1990,15(3):53-61.

[12]肖乾,林鳳濤,王成國(guó)，等.變摩擦系數(shù)條件下的輪軌滾動(dòng)接觸特性分析[J].鐵道學(xué)報(bào)，2012，34(6):24-28.

(責(zé)任編輯：劉巖)

作者簡(jiǎn)介：蒲軍平(1962—)，男，新疆烏魯木齊人，教授，博士，主要從事固體力學(xué)和結(jié)構(gòu)工程研究，E-mail:pjp@zjut.edu.cn.

收稿日期：2014-10-08